Тема: Нестандартные способы решения

показательных и логарифмических уравнений

и неравенств.(11 класс)

Сергеева Любовь Владимировна, МБОУ СОШ №37 г. Белгорода ,учитель математики 1 категории.

Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных

способах решения, умение применять свойства функций,

правила при решении уравнений и неравенств;

2) развивать умение видеть, умение распознавать

рациональность применения того или иного способа;

3) прививать интерес к математике, воспитывать

математическую грамотность ученика, как при устной,

так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На доске:

План урока:

1. Орг. момент.

2. Устная работа.

3.Работа в группах

4. Защита решений.

5. Сам. работа.

6. Задание на дом

7. Итог урока.

Ход урока:

I. Организационный момент.

1.Знакомство с целью урока;

задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.

2.Использование при решении задач :

– монотонности функций;

– «правила знаков»;

– метода оценки;

– освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

а [pic] ) [pic] а) да;

б) [pic] б) нет, т.к. [pic]

в) [pic] в) нет, т.к. [pic] а [pic]

г) [pic] г) да;

д) [pic] д) нет, т.к. [pic]

2. Решить уравнение:

[pic]

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

[pic] [pic] / : [pic]

( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic] следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

(свойство монотонности)

III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

[pic]

– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

Решение:

– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого

разделим на [pic]

[pic]

– Можем ли мы угадать хоть один корень?

( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

– Докажем единственность.

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

[pic] точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

Ответ: х = 2.

2 группа. Решить неравенство:

[pic]

– Применим теорему для функции f(f(x)).

– Сформулируем теорему:

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение

f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ: [pic]

Решение:

– Выполним некоторые преобразования:

– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

[pic]

– приведем к общему знаменателю:

[pic]

– приведем подобные

[pic] т.к. [pic] , а [pic] , тогда

функция принимает вид [pic] , где [pic] - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

[pic]

[pic]

/ [pic] //////o o////// х

5. 10

[pic]

– Учитывая ОДЗ, получим: [pic]

Ответ: 1 ≤ x < 5, x > 10.

3 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

[pic] ;

Решение:

–Заметим, что [pic] .

[pic] ;

– Разделим обе части уравнения на положительное выражение [pic] , получим:

[pic] ;

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

[pic] [pic] [pic] ;

не меньше 1 не больше 1

– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

Ответ: х = 3.

4группа. Решить уравнение:

[pic] [pic] ;

Решение:

[pic] [pic] [pic] [pic] ;

немонотонная ф-я немонотонная ф-я

– Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;

[pic] ;

[pic] ;

Выделим полный квадрат в правой части;

[pic]

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

[pic]

[pic]

[pic]

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

Ответ: х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

[pic]

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Рассмотрим ОДЗ:

[pic] [pic]

Решение:

– Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов

освободиться по правилу знаков:

[pic]

[pic]

[pic]

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

[pic]

н [pic] айдем нули функции: [pic] нули функции [pic]

+ [pic] [pic] + +

[pic] //////o _ ο////////o////// х

½ 2 5

функция f(x) > 0 при [pic] учитывая ОДЗ, получим: [pic]

Ответ: [pic] [pic]

IV. Защита проектов.

От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

Решить уравнение:

I вариант. II вариант.

[pic] [pic]

Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

[pic]

при х=0 достигает унаим = 2

[pic] т.к. основание 0<0,1<1, то [pic] [pic]

наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.

Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.

Ответ: [pic]

Решение:

[pic]

выделим полный квадрат под знаком log:

[pic]

а [pic]

Выделим полный квадрат в правой части:

[pic]

наименьшее значение равно 1 при [pic]

Обе части одновременно будут равны 1 при [pic]

Ответ: [pic]

Оценить самостоятельно (оценка на полях).

VI. Задание на дом.

1). Решить уравнение:

[pic]

2). Решить неравенство:

а) [pic]

б) [pic]

VII. Итог урока.

– Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?

– Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.

На чем они основываются?

(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)