ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА «Решение задач» (10 класс)

Принято на педагогическом совете УТВЕРЖДАЮ

Протокол № ___ Директор школы:_____________Э.М. Бахтиозина

_______.20___ год _______20____ год

МОУ СОШ с. Чувашская Решетка МО «Барышский район»

ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА «Решение задач»

Наименование учебного предмета: МАТЕМАТИКА

Класс: 10

Уровень общего образования: среднее общее образование

Учитель: Убина И.А.

Срок реализации программы, учебный год: 1 год, 2014-2015 учебный год

Количество часов по учебному плану: всего 34 часа, 1 час в неделю

Рабочую программу составила: _________________ И.А.Убина

СОГЛАСОВАНО. Рассмотрено на заседании ШМО

Зам.директора по УВР: ____________ Н.В. Кибакина Протокол № ___ от_______20___ года

Руководитель ШМО: ________Е.П.Мурзакова

Пояснительная записка.

Статус документа

Программа спецкурса составлена в соответствии

1. Федерального компонента государственного стандарта, утверждённый приказом №1089 министерства образования от 05.03.2004г

2. Федерального базисного плана, утверждённый приказом №1312 Министерства образования Российской Федерации от 09.032004г.

3. Приказа №415 Департамента образования Ульяновской области от 20.06.2007г. «Об утверждении регионального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Ульяновской области»

4. Обязательного минимума содержательной области образования «Математика»,

Программа спецкурса рассчитана на 34 часа (1ч в неделю), в том числе на проведение практических и самостоятельных работ. Логика изложения и содержания полностью соответствует требованиям Федерального компонента государственного стандарта среднего образования.

Самостоятельных и практических работ – 10

Текстовые задачи представляют собой раздел математики, традиционно предлагаемый на государственной аттестации по математике. Они вызывают трудности у многих учащихся. Отчасти это происходит от недостаточного внимания, уделяемого такого сорта задачам в школьном курсе математики. В рамках факультативного курса попытаемся восполнить данный пробел.

        Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя.

Занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

        Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Решение текстовых задач приучает детей к первым абстракциям, позволяет воспитывать логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Такие задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы ЕГЭ, в олимпиадные задания.

Как известно, одной из центральных линий математической подготовки обучающихся является линия «Уравнения», методы их ре­шения, решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.

Решения текстовых задач – это деятельность сложная для обучаю­щихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких-то ве­личин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто труднодостижимая для учащихся задача.

Данная программа составлена для работы с обучающимися десятых, одиннадцатых классов, которые желают овладеть эффективными спо­собами решения текстовых задач на «движение», «стоимость», «со­вместную работу», «заполнение резервуара водой», «смеси и сплавы» и т. д.

Моделирование условия задачи по­зволяет ученику устанавливать различные связи и отношения меж­ду данными и искомыми величинами задачи, осознать идею реше­ния, его логику, увидеть различные способы решения задачи, обосновывать выбор величин для введения переменных.

Решение задачи становится для школьников увлекатель­ным занятием и значительно повышает интерес к изучению темы курса алгебры «Решение текстовых задач различными способами».

Деятель­ность обучающихся приобретает более целенаправленный характер и, что самое важное, появляется самостоятельность на этапе поиска путей решения задачи, который, как известно, вызывает всегда большие затруднения.

Цель

• научить детей решать текстовые задачи, входящие в КИМы ЕГЭ

Задачи:

• научить детей мыслить;

• развить математические знания, необходимые для применения в практической   деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

• сформировать представление о математике как части общечеловеческой культуры;

• научить анализировать текстовые задачи, разбивать их на составные части;

• повысить культуру решения задач.

• научить детей решать задачи различными способами и методами, что способствует развитию логического мышления у учеников, развивает сообразительность, фантазию, интуицию учащихся;

• научить обосновывать правильность решения задачи, проводить проверку, самопроверку, взаимопроверку, формировать умение пользоваться различными моделями задачи для поиска её решения;

• систематизировать и развивать знания обучающихся о методах, приемах, способах решения текстовых задач, их видах.

• научить составлять уравнение, систему уравнений по условию задачи, описывать выбор переменных уравнения; составлять и обосновывать выбор ответа.

• приобщить учащихся к работе с математической литературой.

• научить составлять математическую модель текстовой зада­чи, переходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жиз­ненную ситуацию текста задачи.

                  Требования к уровню подготовки учащихся

       После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

• уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы;

• уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

• уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса

• уметь «рисовать» словесную картину задачи;

• понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

• ставить к условию задачи вопросы;

• устанавливать взаимосвязь между величинами, данными в тексте задачи;

• составлять план решения задачи, оформлять решение задачи;

• сравнивать решения задач;

• выбирать более удобный способ, метод для решения данной задачи;

• уметь составлять задачу по заданному вопросу, по иллюстрации, по данному решению, по аналогии, составлять обратные задачи;

• уметь решать задачи по возможности разными способами и методами;

• обосновывать правильность решения задачи:

• уметь определять границы искомого ответа.

Содержание программы

                            Курс рассчитан на 34 часа

Тема 1. Введение. Текстовые задачи и способы их решения (1ч)

Тема 2. Решение текстовых задач ЕГЭ арифметическим способом( типа В1)(2ч).

      Привить навыки решения задач «от конца к началу», подсчет среднего арифметического.
Тема 3. Задачи на движение (10ч).

• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);

• задачи на движение по замкнутой трассе;

• задачи на движение по воде

• задачи на среднюю скорость;

• задачи на движение протяжённых тел.

     Дать основные соотношения, которые используются при решении задач на движение. Рекомендовать составлять рисунок с указанием расстояний, векторов скоростей и других данных задач. Привить навыки решения всех типов задач на движение.
Тема 4. Задачи на проценты (2ч).

    Дать основные соотношения, используемые при решении задач на проценты. Дать формулу «сложных процентов». Рекомендовать составлять таблицу-условие. Привить навыки решения задач на основании условия всевозможными способами.

Тема 5. Задачи, связанные с расчётами в повседневной жизни (3ч)

Привить навыки решения задач на основании условия всевозможными способами

Тема 6. Задачи, связанные с банковскими расчетами. (3ч)

Отработать навыки использования формулы при вычислении банковской ставки, суммы вклада, срока вклада, процентный прирост.

Тема 7. Задачи на смеси и сплавы (4ч).

     Преодолеть психологические трудности, связанные с нечетким пониманием химических процессов, показав, что никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит. Дать основные допущения, отношения и формулы концентрации, процентного содержания и весового отношения. Рекомендовать запись условия с помощью таблицы. Привить навыки решения таких задач.
Тема8. Задачи на совместную работу (5ч).

     Дать основные соотношения, используемые при решении задач на производительность. Рекомендовать составлять схемы-условия. Привить навыки решения таких задач при рассмотрении частей всей работы

Тема9. Задачи прикладного содержания(3 ч)

Привить навыки решения задач на основании условия и выражать одни единицы через другие

Тематическое планирование материала спецкурса.

Литература:

1. А.Л.Семёнов, И.В.Ященко Все задания группы В. ЕГЭ 3000 задач с ответами. М. «ЭКЗАМЕН»,2013

2. Д.А.Мальцев и др. Математика. Всё для ЕГЭ 2011.М. «НИИ школьных технологий», 2010

3. Мухаметзянова Ф.С., методист, ст. преподаватель кафедры ФМО УИПК ПРО

4. Б.И.Вольфсон ЕГЭ – 2013. Задача С6. М., «МЦМНО», 2013

5. А.Г.Корянов и др. Задания В4.Задания на оптимальный выбор, М. «Просвещение», 2013

6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике «Решение задач» (10 класс).

7. Шарыгин И.Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике «Решение задач» (11 класс)

Календарно-тематическое планирование

п/п

Дата

Тип ур.

Тема урока

Ученик должен знать

Ученик должен уметь

Способ орг-ции контр

Метод

обучения

Нагляд.

Лит.-ра

Введение. Текстовые задачи и способы их решения (1ч)

1

Урок повторение

Текстовые задачи и способы их решения

Правила вычислений

Решать задачи «от конца к началу», находить среднее арифметическое

С р

Част-поиск

карт

1,3,6

Решение текстовых задач арифметическим способом(2ч).

2

Урок повторение

Задачи на практический расчёт, оценки и прикидки

Правила вычислений, способы решения задач

Решать задачи

С р

Част-поиск

карт

1,3,6

3

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Решение задач арифметическим способом»

С р

Част-поиск

карт

1,3,6

Задачи на движение (10ч).

4

Урок повторение

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Составлять рисунок с указанием расстояний, векторов скоростей и других данных задач. Решать задачи данного типа задач на движение.

С р

Част-поиск

карт

1,3,6

5

Урок повторение

Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);

С.р.

Част-поиск

карт

1,3,6

6

Урок повторение

Задачи на движение по замкнутой трассе;

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Составлять рисунок с указанием расстояний, векторов скоростей и других данных задач. Решать задачи данного типа задач на движение.

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

7

Урок повторение

Задачи на движение по воде

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Составлять рисунок с указанием расстояний, векторов скоростей и других данных задач. Решать задачи данного типа задач на движение.

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

8

Задачи на движение по воде

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

9

Урок повторение

Задачи на среднюю скорость;

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Составлять рисунок с указанием расстояний, векторов скоростей и других данных задач. Решать задачи данного типа задач на движение.

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

10

Урок повторение

Задачи на движение протяжённых тел.

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Составлять рисунок с указанием расстояний, векторов скоростей и других данных задач. Решать задачи данного типа задач на движение.

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

11

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи на движение»

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Решать задачи на движение, используя презентации

С р

Част-поиск

Компьтер, проектор

1,3,6,7

12

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи на движение»

Основные соотношения, которые используются при решении задач на движение

Решать задачи на движение, используя презентации

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

Задачи на проценты (2ч).

13

Урок повторение

Задачи на проценты

Основные соотношения, используемые при решении задач на проценты, знать формулу «сложных процентов»

Решать задачи на основании условия всевозможными способами

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

14

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи на проценты»

С р

Част-поиск

карт

1,3,6,7

Задачи, связанные с расчётами в повседневной жизни (3ч)

15

Урок повторение

Задачи, связанные с расчётами в повседневной

Способы решения задач по данным исходным

По табличным данным решать задачи

С р

Част-поиск

карт

5

16

Урок повторение

Задачи, связанные с расчётами в повседневной жизни

С р

Част-поиск

карт

5

17

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи, связанные с расчётами в повседневной жизни»

С р

Част-поиск

карт

5

Задачи, связанные с банковскими расчетами (3 ч)

18

Урок повторение

Задачи, связанные с банковскими расчетами.

Формулы при вычислении банковской ставки, суммы вклада, срока вклада, процентный прирост

Вычислять банковской ставки, суммы вклада, срока вклада, процентный прирост

С р

Част- поиск

карт

19

Урок повторение

Задачи, связанные с банковскими расчетами.

С р

Част-поиск

карт

20

Урок пров зн

Самостоятельная работа по теме «Задачи, связанные с банковскими расчетами.»

Раб с тест

Част-поиск

карт

Задачи на смеси и сплавы (4ч).

21

Урок повторение

Задачи на смеси и сплавы.

Отношения и формулы концентрации, процентного содержания и весового отношения.

Записывать условия с помощью таблицы и решать с помощью таблицы

С р

Част-поиск

карт

22

Урок повторение

Задачи на смеси и сплавы.

С р

Част-поиск

карт

23

Урок повторение

Задачи на смеси и сплавы.

С р

Част-поиск

карт

24

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи на смеси и сплавы.»

С р

Част-поиск

карт

Задачи на совместную работу (5ч).

25

Урок повторение

Задачи на совместную работу

С р

Част-поиск

карт

26

Урок повторение

Задачи на совместную работу

С р

Част-поиск

карт

27

Урок повторение

Задачи на совместную работу

С р

Част-поиск

карт

28

Урок повторение

Задачи на совместную работу

С р

Част-поиск

карт

29

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи на совместную работу»

С р

Част-поиск

карт

Задачи прикладного содержания (3 ч)

30

Урок повторение

Задачи прикладного содержания (В12)

С р

Част-поиск

карт

Урок повторение

Задачи прикладного содержания (В12)

С р

Част-поиск

карт

31

Урок повторение

Самостоятельная работа по теме «Задачи прикладного содержания» (В12)

С р

Част-поиск

карт

Повторение (2 ч)

32

Урок повторение

Повторение по теме «Задачи на движение»

Тесты

34

Урок повторение

Повторение по темам, изученным за курс

тесты

Примерный дидактический материал для занятий Приложение

ТЕМА 1. Текстовые задачи и способы их решения

ТЕМА 2. Задачи на практический расчёт, оценки и прикидки

В ответе надо записывать целое число. Нужно самому подумать , в большую или меньшую сторону округлять результат.

Задача 1. Роза стоит 45 рублей. Сергей хочет подарить букет из нечётного количества цветов. Из какого наибольшего числа роз он может купить букет, если у него есть 550 рублей?

Решение:

550:45=12 (ост 10) – роз можно купить. Но букет из 12 роз не подходит.

Ответ: 11

Задача 2. Шариковая ручка стоит 40рублей. Какое наибольшее количество таких ручек можно купить на 300 рублей после повышения цены ручки на 10%.

Решение 40*0,1=4 рубля повысилась; 40+4=44 рубля стала стоить ; 300:44=6, 72… ручек можно купить

Ответ: 6 ручек

Самостоятельная работа

1. Сырок стоит 6 рублей 70 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?

2. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей после понижения цены на 20%.

3. Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35 %.

4. Сырок стоит 6 рублей 40 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?

5. Хозяин овощной лавки купил на оптовом рынке 100 кг помидоров и заплатил 4000 рублей. После продажи помидоров оказалось, что за время хранения в лавке 10% помидоров испортились, и хозяин не смог их продать. Остальные помидоры он продал по цене 50 рублей за килограмм. Какую прибыль он получил?

6. В супермаркете проходит рекламная акция: покупаешь две шоколадки, покупатель получает третью в подарок. Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее количество подарков можно получить за 200 рублей?

7. В доме, в котором живёт Аня, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Аня живёт в квартире 39. На каком этаже живёт Аня?

8. В летнем лагере 228 детей и 28 воспитателей. В автобус вмещается не более 47 человек. Сколько автобусов требуется, чтобы перевести всех детей и всех воспитателей из лагеря в город?

9. В супермаркете проходит рекламная акция: покупаешь две шоколадки, покупатель получает третью в подарок. Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее количество подарков можно получить за 200 рублей?

10. На автопарке клиент купил 28 литров бензина по цене 28 рублей 50 копеек за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить с 1000 рублей?

11. Один киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 96 копеек. Счётчик электроэнергии 1 ноября показывал 32 544 киловатт-часа, а 1 декабря 32 726 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

12. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 км пути. Один литр бензина стоит 29 рублей 50 копеек. Исходя из этих данных, рассчитайте стоимость бензина для поездки протяжённостью 350 км. Ответ дайте в рублях.

ТЕМА 3. Задачи на движение (10 ч)

Задача 1. Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Решение:

х – скорость лодки, х+5 – скорость по течению и х-5 скорость против течения

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: 13 км/ч

Задача 2

. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл вВ через 3 часа после встречи, а автомобилист в А через 45 минут после встречи. Сколько часов был в пути автомобилист?

Решение.

Пусть скорость мотоциклиста равна V1км/ч, а скорость автомобилиста равна V2 км/ч.Из условия задачи получаем, что расстояние от точки их встречи до А равно 0,75 V2 (так как 45минут - это 0,75 часа), а расстояние от точки их встречи до В равно 3 V1. Так как до момента встречи автомобилист и мотоциклист ехали одинаковое время, то можно составить уравнение: [pic] , из которого получаем соотношение [pic] , из которого имеем V2=2 V1.

Время, затраченное автомобилистом на весь путь равно [pic]

Ответ: 2,25.

Задача 3. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми равно 8 км одновременно вышли два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Лыжник который первым прибыл в B сразу же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 минут после выхода из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Решение.

Пусть скорость первого равна х км/ч, а второго — (х-4) км/ч. Пусть встреча произошла на расстоянии у от В. АВ = 8 км - по условию, ВС=у.

А___________________С_______В

Первый прошел АВ+ВС = 8+у за время (8+у) /х,

а второй прошел АВ - ВС = 8-y за время (8-у) /(х-4), что равно 45 мин = 3/4 часа.

Система: (8+у) /x = 3/4,

(8-y) / (x-4) = 3/4. Запиши в виде дробей и перемножь накрест, как в пропорциях.

Найди у.

4(8+у) = 3х 32+4у = 3х (1)

4(8-у) = 3(х-4) 32-4у = 3х-12 (2)

Из (1) в (2) подставим 32+4у вместо 3х:

(2): 32 - 4у = 32+4у - 12

8у=12 у= 1,5 CB=1,5 км

Задача 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста.Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Решение. Пусть х км/ч - скорость первого велосипедиста. Тогда скорость второго х-5 км/ч. На переезд из пункта А в пункт В первый велосипедист затратит 18/х часов. Второй велосипедист за это же время проедет (х-5)·18/х = 18-90/х км, и расстояние между ним и пунктом В будет 18-(18-90/х)=90/х км. Повернув из пункта В обратно, первый велосипедист встретится со вторым через 90/х /(х+х-5) часов. Всего, по условию, первый велосипедист затратит 1 ч 20 мин или 4/3 часа

Составляем и решаем уравнение:

18/х + 90/х /(2х-5) = 4/3

(18(2х-5)+90) / (х(2х-5)) = 4/3

36х / (х(2х-5)) = 4/3

36=4(2х-5)/3

27=2х-5

2х=32

х=16 км/ч - скорость первого велосипедиста.

Расстояние до места встречи от пункта В будет равно:

1ч20мин*16км/час -18 км = 4/3 *16 - 18 = 10/3 = 3 и 1/3 км

Задача 3. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью v(м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Прекрасное дополнение к задаче динамическая модель движения. Начинается показ с момента, когда второй сухогруз отстает от первого. На носу второго сухогруза закреплен флажок, он поможет сообразить, на какое расстояние он должен обогнать баржу.

Конечно, важно, чтобы ученик понял, что второй сухогруз пройдет не 1200 м,а значительно больше! 1200 м– это расстояние, на которое он должен обогнать баржу. А пройти он за это время может 4000 или 5000 м.

Задача 4. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно из них навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок, если скорость течения реки равно 3 км/ч.

Решение.

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки,

х - 3 км/ч - скорость одной лодки,

х + 3 км/ч - скорость другой лодки,

х - 3 + х + 3 км/ч - скорость сближения лодок,

2х * 1,5 км - расстояние, которое лодки прошли навстречу друг другу. По условию задачи расстояние равно 45 км. Следовательно, 2х * 1,5 = 45, 2х =30, х = 15.

Ответ: 15.

Задача 5 Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно из них навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок,если скорость течения реки равно 3 км/ч.

Решение.

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки,

х - 3 км/ч - скорость одной лодки,

х + 3 км/ч - скорость другой лодки,

х - 3 + х + 3 км/ч - скорость сближения лодок,

2х * 1,5 км - расстояние, которое лодки прошли навстречу друг другу. По условию задачи расстояние равно 45 км. Следовательно, 2х * 1,5 = 45, 2х =30, х = 15.

Ответ: 15.

Задача 6. Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут
следом за ним отправился мотоциклист.

Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз,
а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть х - скорость велосипедиста. Т.к. до первой встречи велосипедист ехал 30+10=40 мин,
а мотоциклист 10 мин, то скорость мотоциклиста будет в четыре раза больше, т.е. 4х.

Дальше выражаем минуты в часах.

0,5х - это расстояние, которое проехал велосипедист после первой встречи до второй встречи за полчаса.

30+0,5х - проехал мотоциклист после первой встречи до второй встречи.
Это же расстояние равно 4х*0,5 км.

Уравнение: 30 + 0,5x = 4x*0,5

30+0,5x=2x

1,5x=30

x = 20 км/ч - скорость велосипедиста

4·20 = 80 км/ч - скорость мотоциклиста.

Ответ: 20 и 80.

Задача 6. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.

За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.

Причем, второе проходит окружность + дугу 112х. Уравнение 112у - 112х =L (1)

При движении в противоположных направлениях : 16у + 16х = L (2)

40 - 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5 мин : 12(х + у) = 14 (3)

Вычтем из (1) - (2). Получим 96у -128х = 0 --> 3у = 4х -->х= 3у/4.

Подставим в (3): 1/5 *(3у/4 +у) =14 у=40, х=30- скорости тел.

Из (2) найдем L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120- длина окружности.

Задача 7 Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?

Решение. Пусть длина окружности S.

Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь S/t, аналогично второе — за минуту S/ (t+3)

за 90 минут первое - 90*S/t, второе 90*S/(t+3).

составим уравнение:

90S/t = 90S/(t+3) + S

90/t - 90/(t+3) = 1

t² +3t - 270 = 0

t=15, t=-18 (не подходит)

Ответ: 15.

Самостоятельная работа

1. Моторная лодка прошла против течения реки 247 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость лодки в неподвижной воде 16 км/ч. Ответ дайте в км/ч

2. Моторная лодка в 9:00 часов вышла из пункта А в пункт В, рассоложенный в 14 км от пункта А. Пробыв 1 ч 20 мин в пункте В, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 10: 00 того же дня. Определите скорость течения реки, если известно , что собственная скорость лодки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч

3. Теплоход проходит по течению до пункта назначения 160 км и после стоянки вернулся обратно. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч, стоянка длилась 6 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через сутки после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч

4. Турист шёл со скорость А км/ч, а точно такое же время со скоростью В км/ч. Найдите среднюю скорость туриста

5. Первые 4 часа автобус шел со скоростью 65 км/ч, следующие 3 ч – со скоростью 70 км/ч, а затем 2 час – со скорость 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути

6. Два лыжника стартовали друг за другом с интервалом в 9 минут. Второй лыжник догнал первого в 9 км от точки старта.Дойдя до отметки 27 км,второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 2 км от точки поворота.Найдите скорость второго лыжника(скорости постоянные).

7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста.Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

8. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми равно 8 км одновременно вышли два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Лыжник который первым прибыл в B сразу же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 минут после выхода из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

9. Два велосипедиста одновременно выезжают из пункта A в одном и том же направлении. Скорость первого на 2 км/ч больше скорости второго.

Через 12 мин первый велосипедист остановился на 6 мин, чтобы устранить неисправность, и возобновил движение, он догнал второго велосипедиста на расстоянии 14 км от места его остановки. Определите их скорости.

10. Два лыжника стартовали друг за другом с интервалом в 9 минут.Второй лыжник догнал первого в 9 км от точки старта.Дойдя до отметки 27 км,второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 2 км от точки поворота.Найдите скорость второго лыжника(скорости постоянные).

ТЕМА 4. Задачи на проценты

Чтобы найти р% от числа, надо умножить на 0,01

Чтобы найти числа по его р% , надо разделить на 0,01

Задача1. Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 10%

Решение:

20*0,1=2р – дороже

20+2=22 р – станет

500:22= 24(ост. 16)

Ответ 24 ручки

Задача 2.

Цена некоторого товара была сначала повышена на 10% , затем еще на 120 рублей, и, наконец,еще на 5%. Какова первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%?

Решение.

Пусть S рублей - первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной [pic] рублей,затем стала равной [pic] рублей, и, наконец, после последнего повышения стала равной

[pic]

рублей.

Составим уравнение: [pic]

Получим:

[pic]

Таким образом, первоначальная цена товара составляла 800 рублей.

Ответ: 800.

Задача 3. В понедельник акции поднялись в цене на некоторое количество процентов, а во вторник упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости. На сколько процентов подешевели акции во вторник?

Решение: Вопрос задачи: «На сколько процентов подешевели акции во вторник?» На это же количество процентов они подорожали в понедельник. Это мы и обозначим на неизвестную величину [pic] Поскольку нам не известна стоимость акций на момент открытия торгов в понедельник, примем ее за 1. Это никак не отразится на результате, ведь нам нужно определить лишь процентное изменение.

Итак, «в понедельник акции поднялись в цене на некоторое (в наших обозначениях [pic] ) количество процентов». Следовательно, после повышения их стоимость составила [pic] Заносим эту информацию в нашу таблицу.

Для тех, кому не понятно, откуда получилась такая формула, простой пример. Допустим футболка стоила 100 руб., потом ее цена увеличилась на 20%. Сколько стала стоить футболка? Каждый без труда ответит, что 120 руб. А как вы получили это значение? Умножили 100 на 1,2. А откуда вы взяли число 1,2? Из дроби [pic] где 20% — процент, на который повысилась стоимость футболки. Во вторник упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости.» Итак, во вторник цена упала на [pic] процентов. Следовательно, новая цена стала равна [pic] Кому это не понятно, прочитайте еще раз пример с футболкой, описанный выше. При этом известно, что окончательная цена оказалась на 4% меньше первоначальной, равной 1, то есть 0,96. Во вторник упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости.» Итак, во вторник цена упала на [pic] процентов. Следовательно, новая цена стала равна [pic] Кому это не понятно, прочитайте еще раз пример с футболкой, описанный выше. При этом известно, что окончательная цена оказалась на 4% меньше первоначальной, равной 1, то есть 0,96. Теперь составить уравнение для решения задачи уже легко:

[pic]

[pic]

По смыслу задачи нам подходит только положительный ответ.

Ответ: 20.

Задача 3. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на [pic] . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на [pic] . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация [pic] » и «ситуация [pic] ».

муж

жена

дочь

Общий доход

В реальности

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ситуация [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ситуация [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Осталось записать систему уравнений.

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти [pic] , [pic] и [pic] по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму [pic] . Получим:

[pic]
Это значит, что зарплата мужа составляет [pic] от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение [pic] , упростим и получим, что

[pic]
Значит, стипендия дочки составляет [pic] от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет [pic] общего дохода.

Ответ: [pic] .

Задача 4. Смешали некоторое количество [pic] -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством [pic] -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна [pic] . Масса второго — тоже [pic] . В результате получили раствор массой [pic] . Рисуем картинку.

[pic] Получаем: [pic]

Ответ: [pic] .

Виноград содержит [pic] влаги, а изюм — [pic] . Сколько килограммов винограда требуется для получения [pic] килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось [pic] воды, значит, «сухого вещества» было [pic] . В изюме [pic] воды и [pic] «сухого вещества». Пусть из [pic] кг винограда получилось [pic] кг изюма. Тогда

[pic] от [pic] от [pic]

Составим уравнение:
[pic]
и найдем [pic] .

Ответ: [pic] .

Самостоятельная работа

1. Футболка стоила 500 рублей. После снижения цены она стала стоить 390 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

2. Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?

3. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 25%?

4. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

5. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 15%?

6. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 2320 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

7. Железнодорожный билет для взрослого стоит 780 рублей. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 19 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

ТЕМА 5. Задачи, связанные с расчётами в повседневной жизни

Задача1. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобиля для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей можно заплатить за самую дешёвую перевозку?

Перевозчик

Стоимость перевозки одним автомобилем

(руб. на 100 км)

Грузоподъёмность автомобиля (тонн)

А

3 200

3,5

Б

4 100

5

В

9 500

12

Решение

А: 45:3,5= 13 рейсов потребуется; (1300:100)*3200=41 600 р за 1 рейс; 41 600*13=540 800 р всего

В: 45:5=9 рейсов; 13*4100*9=479 700 р всего

С: 45:12=4 рейса; 13*8 500*4=442 000 р всего

Ответ: 442 000 рублей

Задача2. Интернет – провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Тарифный план

Абонентская плата

Плата за трафик

План «0»

нет

2,5 руб. за 1 Мб

План «500»

550 руб. за 500 Мб трафика в месяц

2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб

План «800»

700 руб. за 500 Мб трафика в месяц

1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб

Пользователь предлагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц, и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет 600 Мб в месяц?

Решение

План «0»: 2,5*600=1 500 рублей

План «500»: (600 – 500)*2+550=750 рублей

План «800»: 700 рублей

Ответ: 700 рублей

Задача 3. Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,25 [pic] В таблице приведены цены одного стекла, а также на резку стекла и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

Фирма

Цена стекла (руб. за 1 [pic]

Резка и шлифовка (за 1 стекло)

А

420

75

Б

440

65

В

470

55

А: 420*0,25*48=5 040 рублей за стекло; 75*48=3 600 р за резку; 5 040+3 600=8 640 рублей

В: 440*0,25*48=5 280 рублей за стекло; 65*48=3 120 р за резку; 5 280+3 120=8 400 р

С: 470*0,25*48=5 640 р за стекло; 55*48=2 640 р за резку; 5 640+2 640=8 240 р всего Ответ: 8 240 рублей

Самостоятельная работа

1. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 500 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент должен оплатить топливо для автомобиля. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если клиент выберет самый дешёвый вариант?

Автомобиль

Топливо

Расход топлива

(л на 100 км)

Арендная плата

(руб. за 1 сутки)

А

Дизельное

7

3 700

Б

Бензин

10

3 200

В

Газ

14

3 200

Цена дизельного топлива – 19 руб., бензина – 22 руб., газа – 14 руб. за литр.

2. Строительной фирме нужно приобрести 30 кубометров пенобетона. У неё есть 3 поставщика. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Стоимость пенобетона (р. за м³ )

Стоимость доставки

Дополнительные условия

А

2950

4700

Б

3000

5700

При заказе на сумму больше 15000 р. доставка бесплатно

В

2980

3700

При заказе более 85 м³ доставка бесплатно

3. Для остекления веранды требуется заказать 30 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,4 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Стоимость стекла (руб. за 1 м²)

Резка стекла (руб. за одно стекло)

А

310

17

Б

320

13

В

340

8
Бесплатно, если сумма заказа превышает 2500 рублей.

4. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Абонентская плата

Плата за трафик

1. План "0"

Нет

2.5 р. за 1 Mb.

2. План "700"

600 р. за 700 Мb трафика в месяц

2 р. за 1 Mb сверх 700 Mb.

3. План "1000"

820 р. за 1000 Mb трафика в месяц

1.5 р. за 1 Mb сверх 1000 Mb.

Пользователь планирует, что его трафик составит 800 Mb и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 800 Mb?

Тема6. Задачи, связанные с банковскими расчетами

Задача 1. Банк начисляет 5% годового дохода.Первоначальный вклад равнялся 10 000 р. После начисления годового дохода вклад можно дополнить некоторой суммой. Найдите ее величину,если общий вклад через 2 года должен равняться21 000 р.

Решение.

Через один год вклад увеличится на 5%от 10 000 р., т. е. на 500 р. Поэтому после первого года вклад будет равен 10 500 р. Пусть S -дополнительный взнос. Тогда в начале второго года хранения вклад будет равен 10 500 + S рублей.После второго года он увеличится на 5% от этой суммы, т. е. на 0,05(10 500 + S) =525 + 0,05S рублей. Поэтому после второго года вклад будет равен (10 500 + S) +(525 + 0,05S) рублей. По условию этот вклад равен21 000 р. Значит,

10 500 + S + (525 + 0,05S) = 21 000,

1, 05S = 9975,

S = 9500.

Ответ: 9500

ТЕМА7. Задачи на смеси и сплавы

Задача 1. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, а второй – 25% никеля. Из этих двух получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 20% никеля. На сколько кг масса первого меньше массы второго.

Решение:

х – масса первого сплава и у – масса второго сплава,

[pic]

х+у=250 х=187,5 кг и у=300-187,5=112,5

0,05х+0,25у=250*0,2

Задача 2 Содержание меди в первом сплаве — 10%, содержание меди во втором сплаве — 40%. Второй сплав весит на 3 кг больше первого. Сплавив первые два сплава, получили третий сплав, содержание меди в котором оказалось 30%. Вычислите массу третьего сплава. Запишите ответ в килограммах.

Решение: за [pic] обозначить массу первого сплава. Тогда масса второго сплава будет [pic] А что такое «концентрация»? В данном случае под концентрацией понимается отношение массы вещества в сплаве к общей массе сплава. Следовательно, чтобы найти массу вещества (меди), нужно массу сплава умножить на соответствующую концентрацию, выраженную в виде десятичной дроби. Тогда содержание меди в первом сплаве равно [pic] а содержание меди во втором сплаве равно [pic]

Масса общего сплава, очевидно, будет равна сумме масс каждого из первоначальных сплавов, то есть [pic] Масса меди в общем сплаве тоже, очевидно, будет равна сумме масс меди в первом и во втором сплаве, то есть [pic] Вносим все эти данные в таблицу, и она принимает вид:

Еще раз, концентрация — это отношение массы вещества в сплаве к массе сплава. Следовательно, чтобы узнать концентрацию получившегося сплава, нужно общую массу меди в третьем сплаве [pic] поделить на общую массу третьего сплава [pic] При этом из условия известно, что эта концентрация равна 30%. То есть уравнение для решения данной текстовой задачи B13 на сплавы будет иметь вид:

[pic]

[pic] кг.

Это масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна [pic] кг. Читаем вопрос задачи: «Вычислите массу третьего сплава. Запишите ответ в килограммах.» Теперь мы располагаем достаточным количеством информации, чтобы дать правильный ответ. Масса третьего сплава равна [pic] кг.

Ответ: 9.

Задача 4. Смешали некоторое количество [pic] -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством [pic] -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решеение

Пусть масса первого раствора равна [pic] . Масса второго — тоже [pic] . В результате получили раствор массой [pic] . Рисуем картинку.

[pic] Получаем: [pic]

Ответ: [pic] .

Задача 5. Виноград содержит [pic] влаги, а изюм — [pic] . Сколько килограммов винограда требуется для получения [pic] килограммов изюма?

Решение Если встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось [pic] воды, значит, «сухого вещества» было [pic] . В изюме [pic] воды и [pic] «сухого вещества». Пусть из [pic] кг винограда получилось [pic] кг изюма. Тогда

[pic] от [pic] от [pic]

Составим уравнение:
[pic]
и найдем [pic] .

Ответ: [pic] .

Задача 6. Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 20 кг больше, чем цинка.Его сплавили с 24 кг меди и получили латунь, в которой 90% меди. Каков первоначальный вес куска латуни?

Решение.

Пусть х - вес цинка в сплаве. Тогда в первоначальном куске латуни было ( х + 20) кг меди, а после сплава стало х + 20 + 24 = х + 44 кг.

Значит, новый кусок состоит из ( х + 44) кг меди и х кг цинка и имеет массу ( 2х + 44) кг.

По условию (х + 44) составляет 90% от (2х + 44), т. е. х + 44 = 0,9(2х + 44),

х + 44 = 1,8х + 0,9*44,

0,8х = 44 (1- 0,9),

0,8х = 4,4 ,

х = 5,5.

Значит, первоначальный вес куска латуни равен 31кг (5,5 + 5,5 + 20).

Ответ: 31.

Самостоятельная работа

1. Первый сплав содержит 5% меди, а второй – 14% меди. Масса второго меньше массы первого на 10 кг. Из этих двух получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу первого сплава.

2. Смешали 2 кг 15%-ного водного раствора некоторого вещества с 8 кг 10%-ного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. В ёмкость, содержащую 12 кг 8-ного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько % составляет концентрация получившегося раствора?

4. Смешали 5 л 27%-ного водного раствора некоторого вещества с 8 л 40-%-ного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

5. После смешивания 4-х литров 15-процентного раствора вещества с таким же объемом 19-процентного раствора этого же вещества получили третий раствор. Вычислите концентрацию получившегося раствора

6. Имеется два сплава. Первый сплав содержит [pic] никеля, второй — [pic] никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой [pic] кг, содержащий [pic] никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

7. Смешав [pic] -процентный и [pic] -процентный растворы кислоты и добавив [pic] кг чистой воды, получили [pic] -процентный раствор кислоты. Если бы вместо [pic] кг воды добавили [pic] кг [pic] -процентного раствора той же кислоты, то получили бы [pic] -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов [pic] -процентного раствора использовали для получения смеси?

ТЕМА 8. Задачи на совместную работу (5ч).

Задача 1 Один токарь может выполнить заказ за 10 ч, второй –за 15 ч, а третий – за 12 ч. За сколько часов выполнят заказ, работая совместно

Решение

[pic]

х=4 ч

Задача 2. Писатель собрался напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы он печатал на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то смог бы завершить работу на 3 дня раньше. Какое количество страниц в день запланировал печатать писатель?

Решение Что здесь удобнее всего обозначить за [pic] то, что требуется найти, то есть скорость работы по плану. Раз скорость работы по плану равна [pic] то фактическая скорость работы равна [pic] потому что она по условию на 5 страниц в день больше.

Чтобы найти время работы, нужно общий объем работы разделить на скорость работы. То есть время работы по плану равно [pic] а фактическое время работы равно [pic] Снова занесем эти данные в таблицу, в результате чего она примет вид:

[link]

[pic]

[pic]

1. На изготовление 27 деталей рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 54 таких деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

2. На изготовление 572 деталей рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 650 таких деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

3. Первый рабочий делает 84 заготовки на 3 часа быстрее, чем второй рабочий. Сколько заготовок в час делает второй рабочий, если первый рабочий за час делает на 9 заготовок больше второго.

4. Токарь выполняет работу по изготовлению 72 деталей на 4 часа быстрее, чем его напарник. Сколько деталей в час делает напарник, если первый токарь за час делает на 3 детали больше?

5. Время наполнения резервуара одной трубой на 22 минуты больше, чем второй. Если обе трубы будут работать вместе, они наполнят резервуар за один час. Сколько времени потребуется для наполнения резервуара одной второй трубой?

ТЕМА 8. Задачи прикладного содержания

В заданиях такого типа рассматриваются реальные процессы, в которых необходимо найти нужный результат по заданной функции и начальным условиям или конкретным значениям входящих в формулу параметрам. В зависимости от условия составляется уравнение или неравенство относительно значений функций

Задача 1. Зависимость объёма спроса [pic] (единиц в месяц) на продукцию предприятия монополиста от цены [pic] (тыс. руб) задаётся формулой [pic] Выручка предприятия за месяц вычисляется по формуле [pic] . Определите наибольшую цену [pic] составит не менее 300 тыс.руб. Ответ определите в тыс. руб.

Решение: (160-р)р=300

р=2 и р=5

Ответ 5 тыс руб

Задача 2. При тем­пе­ра­ту­ре [pic] рельс имеет длину [pic] м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну [pic] , где [pic] — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния, [pic] — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 3 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния [pic] мм при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины [pic] м и ко­эф­фи­ци­ен­та теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния [pic] :

[pic]

[pic] .

Ответ: 25.

Задача 3. Не­ко­то­рая ком­па­ния про­да­ет свою про­дук­цию по цене [pic] руб. за еди­ни­цу, пе­ре­мен­ные за­тра­ты на про­из­вод­ство одной еди­ни­цы про­дук­ции со­став­ля­ют [pic] руб., по­сто­ян­ные рас­хо­ды пред­при­я­тия [pic] руб. месяц. Ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия (в руб­лях) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле [pic] . Опре­де­ли­те наи­мень­ший ме­сяч­ный объeм про­из­вод­ства [pic] (еди­ниц про­дук­ции), при ко­то­ром ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия будет не мень­ше 300000 руб.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­мень­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства [pic] руб. при за­дан­ных зна­че­ни­ях цены за еди­ни­цу [pic] руб., пе­ре­мен­ных за­трат на про­из­вод­ство одной еди­ни­цы про­дук­ции [pic] руб. и по­сто­ян­ных рас­хо­дов пред­при­я­тия [pic] [pic] руб. в месяц:

[pic]

[pic]

Ответ: 5000.

Задача 4. После дождя уро­вень воды в ко­лод­це может по­вы­сить­ся. Маль­чик из­ме­ря­ет время [pic] па­де­ния не­боль­ших ка­меш­ков в ко­ло­дец и рас­счи­ты­ва­ет рас­сто­я­ние до воды по фор­му­ле [pic] , где [pic] – рас­сто­я­ние в мет­рах, [pic] – время па­де­ния в се­кун­дах. До дождя время па­де­ния ка­меш­ков со­став­ля­ло 0,6 с. На сколь­ко дол­жен под­нять­ся уро­вень воды после дождя, чтобы из­ме­ря­е­мое время из­ме­ни­лось на 0,2 с? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пусть [pic] – рас­сто­я­ние до воды до дождя, [pic] – рас­сто­я­ние до воды после дождя. После дождя уро­вень воды в ко­лод­це по­вы­сит­ся, рас­сто­я­ние до воды умень­шит­ся, и время па­де­ния умень­шит­ся, ста­нет рав­ным [pic] с. Уро­вень воды под­ни­мет­ся на [pic] мет­ров.

[pic]

Ответ: 1.

Задача 5. Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна [pic] , где [pic] – масса воды в ки­ло­грам­мах, [pic] ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, [pic] – длина верeвки в мет­рах, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те [pic] м/с [pic] ). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства [pic] при за­дан­ной длине верёвки [pic] м:

[pic]

Ответ: 2.

Задача 6. В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну [pic] где [pic] – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана, [pic] – на­чаль­ная вы­со­та стол­ба воды, [pic] – от­но­ше­ние пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний крана и бака, а [pic] – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те [pic] м/с [pic] ). Через сколь­ко се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объeма воды?

Ре­ше­ние.

Фор­му­лой, опи­сы­ва­ю­щей умень­ше­ние вы­со­ты стол­ба воды с те­че­ни­ем вре­ме­ни, яв­ля­ет­ся

[pic]

Чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объёма воды в баке оста­нет­ся, когда вы­со­та стол­ба воды будет 5 м. Опре­де­лим тре­бу­е­мое на вы­те­ка­ние трех чет­вер­тей воды время — най­дем мень­ший ко­рень урав­не­ния [pic] :

[pic]

Таким об­ра­зом, через 50 се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объёма воды.

Ответ: 50.

1. После дождя уровень воды в колодце может повысится. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле [pic] , где [pic] расстояние в метрах, [pic] время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,6 с. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменялось на о,4 с?

2. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу 900 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной 15 метров и шириной [pic] метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой [pic] , где [pic] масса экскаватора (в тоннах), [pic] длина балок в метрах, [pic] ширина балок в метрах, [pic] 10 м/ [pic] ускорение свободного падения. Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление [pic] не должно превышать 120 кПа. Ответ выразите в метрах.

3. Скорость автомобиля [pic] , разгоняющего с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной [pic] км с постоянным ускорением [pic] км/ [pic] , вычисляется по формуле [pic] . Определите с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 0,4 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 8000 км/ [pic] . Ответ выразите в км/ч.

4. Автомобиль, масса которого равна [pic] кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течении [pic] секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь [pic] 700 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно [pic] Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила [pic] , приложенная к автомобилю, не меньше 2500 Н. Ответ выразите в секундах.

5. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью [pic] м/c, начал торможение с постоянным ускорением [pic] м/ [pic] . За [pic] секунд после начала торможения он прошёл путь [pic] (м). Определите наибольшее время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 50 метров. Ответ выразите в секундах

ТЕМА 9. Повторение