Олимпиада по математике, 8 класс
Задача 1:
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?
Решение:
Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B . Отсюда следует, что B > 0. Значит, B - положительно, а A – отрицательно.
Задача 2:
Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени.
В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город Р и прибыл туда в 13.00 того же дня по Р-скому времени.
Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени.
Сколько времени самолет находился в воздухе? Ответ обосновать.
Решение:
Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00,
при этом он находился на земле всего 7 часов с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N и с 13.00 до 15.00 местного времени в городе Р.
Следовательно, все остальное время он летел, т. е. самолет находился в воздухе 10 часов.
Задача 3:
ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.
Решение:
По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2. Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90° + 45° = 135°.
Задача 4:
Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?
Решение:
По условию: 3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,
откуда: м + с > 2в. (*)
По условию же: 3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,
откуда: 2с > м + в.
Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем:
м + 3с > м + 3в, откуда: с > в.
Ответ: от сгущенки.
Задача 5:
В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца - сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.
Решение:
В списке нет царя по имени Петр, следовательно, Павел Петрович был первый из этих царей. Других Павлов нет, следовательно, братья Александр Павлович и Николай Павлович правили сразу после Павла Петровича, сменив на троне один другого. Таким образом, последний царь был Николай Александрович (других Николаев нет). Александр Николаевич не мог править после последнего царя, значит, он унаследовал трон после Николая Павловича, который, следовательно, правил после своего брата Александра Павловича. Тогда наследником Александра Николаевича и отцом Николая Александровича мог быть только Александр Александрович.
Ответ: Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.
