Лекция 1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Предел числовой последовательности
Определение. Функция, областью определения которой является множество , а множеством значений называется числовой последовательностью. Сокращенно последовательность
(1.1)
обозначается , числа называются членами последовательности (10.1), число - номером члена последовательности, - общим членом последовательности. Последовательность считается заданной, если задан -й член последовательности, т.е. задана функция .
Примеры числовых последовательностей:
или 1, 4, 9, 16, 25,…,,… (монотонная, неограниченная);
Определение. Число называется пределом числовой последовательности (обозначение ), если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер последовательности , зависящий от , начиная с которого для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство
. (1.2)
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью, не имеющая предела – расходящейся.
Эквивалентные бесконечно малые функции эффективно используются при вычислении пределов функций в результате чего во многих случаях упрощается вычисление предела.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при :
1. при . 2. при .
3. при . 4. при .
5. при . 6. при .
7. при . 8. при .
9. при . 10. при .
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел
Вычисление пределов функций
На практике вычисляют значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, при . Если в результате получено некоторое число, то оно и является пределом (это имеет место, когда принадлежит области определения). Если же в результате подстановки вместо получается формальное выражение (неопределенность) вида , , , , , , , то говорят о неопределенности соответствующего вида. В этом случае о пределе ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел, если он существует, или установить, что он не существует. Это более трудная задача для решения которой применяются специальные приемы (включая правило Лопиталя и использование эквивалентных бесконечно малых). Некоторые из них рассмотрим ниже.
Пример 8. Найти .
Решение. Подставим в выражение вместо x =2, получим
.
Пример 9. Найти .
Решение. Подставляя в выражение приходим к неопределенности вида . Для устранения неопределенности разложим многочлены на множители, сократим на множитель, дающий неопределенность и снова перейдем к пределу, подставляя :
.
Пример 10. Найти .
Решение. Формальная подстановка в выражение дает неопределенность . Для ее раскрытия делим числитель и знаменатель дроби на в наибольшей степени входящей в знаменатель (на ) и переходим к пределу, применяя теорему 2.
.
Пример 11. Найти .
Решение. Аналогично пр. 8 получаем
.
Пример 12. Найти .
Решение. Аналогично пр. 8 получаем
.
Пример 13. Найти .
Решение. Имеем неопределенность т.к. . Избавляемся от этой неопределенности, переводя иррациональность из числителя в знаменатель (или наоборот), дополняя иррациональности до формулы разности квадратов (суммы или разности кубов) и сокращая на множитель, дающий неопределенность.
.
Пример 14. Найти .
Решение. Так как , и , то имеет место неопределенность . Для ее раскрытия используем второй замечательный предел.
.
Пример 17. Найти .
Решение. Используя эквивалентные бесконечно малые (см. лекц. 10, п.3).
.
Здесь при (см. формулу 11.4 табл. э.б.м.), при (см. формулу 5 табл.), при .
