Лекция 6. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
В приложениях математики в экономике приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых. Из теории действительных чисел известно лишь, что означает сумма любого конечного числа чисел. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых, а также задача представления функций в виде рядов решается в теории рядов.
6.1 Основные понятия. Сходимость числовых рядов. Свойства сходящихся рядов
Определение: Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:
. (6.1)
При этом слагаемые называют членами этого ряда, а — общим членом ряда. Ряд (6.1) считается заданным, если известен его общий член , выраженный как функция номера , т.е. . Например, ряд с общим членом . имеет вид
. (6.2)
Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член ряда. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное решение. Например, простейшей формой общего члена ряда
есть .
Считая, что ряд (12.1) задан, мы можем построить частичные суммы этого ряда, т.е.
;
;
;
…………………………
.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
. (6.3)
Число называют суммой этого ряда и понимают, что
.
Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Рассмотрим понятия сходимости и расходимости на примерах.
Пример 1. Исследовать сходимость геометрического ряда
, (6.4)
где .
Решение. Известно, что — сумма первых членов геометрической прогрессии выражается формулой
.
Здесь приходится рассматривать отдельно четыре случая.
Пусть . Тогда и, следовательно,
.
В этом случае ряд (12.4) сходится и его сумма равна .
Пусть . Тогда и, следовательно, неограничено возрастает. Поэтому ряд (12.4) в этом случае расходится.
Пусть . Тогда ряд (12.4) принимает такой вид
Легко видеть, что и . Следовательно, ряд (12.4) в этом случае расходится .
Пусть . В этом случае ряд (12.4) принимает вид
.
Величина будет равна нулю или в зависимости от того, будет ли четно или нечетно. Ясно, что при не стремится ни к какому пределу при неограниченном возрастании . Ряд (6.4) в этом случае расходится.
Вывод: геометрический ряд (6.4) сходится к сумме при и расходится при .
Пример 2. Исследуем по определению сходимость ряда (6.2)
.
Решение. Очевидно, что имеет место равенство . Используя его, преобразуем частичную сумму ряда
.
Тогда .
Таким образом, ряд (6.2) сходится, и сумма его равна 1.
Если ряд (6.1) сходится, то разность между суммой и частичной суммой
(6.5)
называется n-м остатком ряда. Остаток ряда представляет собой ту погрешность, которая получится, если в качестве приближенного значения суммы ряда взять сумму первых n членов этого ряда.
Так как есть предел последовательности , то
. (6.6)
Поэтому, взяв достаточно большое число членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой степенью точности.
Отсюда ясно, что первой основной задачей теории рядов является исследование сходимости ряда. Задача о нахождении суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значение, так как, после того как установлена сходимость ряда, сумма его в большинстве практически важных случаев приближенно легко может быть найдена.
Рассмотрим некоторые свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то и ряд (полученный умножением данного ряда на число ) тоже сходится и имеет сумму , причем
. (6.7)
Доказательство этого свойства вытекает из перехода к пределу при в равенстве .
Под суммой (разностью) двух рядов и понимается соответственно ряд вида .
2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд тоже сходится и его сумма равна .
Действительно, так как для любого конечного N, то при в пределе получаем требуемое утверждение.
3. Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов тоже сходится.
Пусть в сходящемся ряде отброшены n членов (в принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число). Покажем, что полученный ряд
,
имеющий частичную сумму , тоже сходится.
Очевидно, что . Отсюда следует, что при фиксированном n конечный предел существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел . А это означает, что ряд сходится.
4. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы
. (6.8)
Необходимость следует из равенства (12.6).
12.2 Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е.
. (6.9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
,
.
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем
.
Так как данный ряд сходится, то и . Отсюда
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если n-й член ряда при не стремится к нулю, то этот ряд расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, т.е. ряд сходится. Но в этом случае из приведенной выше теоремы следует, что , что противоречит условию, заданному в следствии, т.е. ряд расходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда.
Решение. Проверяем выполнение необходимого условия сходимости.
, т.е. необходимое условие сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
Замечание. Доказанный необходимый признак сходимости ряда, вообще говоря, не является достаточным. Можно привести примеры рядов, у которых (необходимое условие выполнено), а ряд тем не менее расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость гармонического ряда
. (6.10)
Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
, он выполняется, но покажем, что тем не менее ряд (12.10) расходится. Для доказательства расходимости построим вспомогательное неравенство. Для этого запишем частные суммы и и построим разность :
,
,
.
Заменяя в правой части последнего равенства каждое слагаемое наименьшим из них, равным , получим вспомогательное неравенство
, т.е. .
Предположим противное, т.е. что гармонический ряд сходится, тогда . Переходя к пределу в неравенстве, получим , или , или , т.е. получаем противоречие. Значит, сделанное предположение о сходимости гармонического ряда неверно,и гармонический ряд расходится.
Таким образом, выполнение необходимого признака сходимости, вообще говоря, не дает возможности судить о сходимости данного ряда. Рассмотрим ниже достаточные признаки сходимости, которые позволяют в ряде случаев точно ответить на вопрос о сходимости или расходимости исследуемого ряда.
12.3. Достаточные признаки сходимости числовых рядов
12.3.1. Первый признак сравнения
Теорема. Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2), причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда.
. (6.11)
Тогда: а) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); б) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть и — частичные суммы рядов (1) и (2), т.е.
.
Из неравенств (12.11) следует, что . Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел . Так как ряд знакоположителен, то и . Таким образом, последовательность частичных сумм монотонно возрастающая (с ростом увеличивается сумма положительных слагаемых) и ограничена (). Следовательно, на основании признака существования предела, последовательность имеет предел, т.е. ряд (1) сходится.
б)Применим метод доказательства от противного. Предположим, что ряд (2) сходится. Тогда согласно первой части теоремы (утверждение а)) ряд (1) тоже сходится, что противоречит предположению, т.е. ряд (2) расходится.
Замечание. Так как сходимость ряда не изменится при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие (6.11) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами . Достаточно чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера , или чтобы имело место неравенство , где .
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд
.
Это сходящийся геометрический ряд при .
Очевидно, что начиная со второго члена, имеют место оценки
Тогда по первой теореме сравнения исследуемый ряд сходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Так как , то из сравнения с гармоническим рядом, применяя первую теорему сравнения, делаем вывод, что исследуемый ряд расходится.
Очевидно, что при применении теоремы сравнения необходимо иметь набор так называемых “эталонных” рядов, используемых для сравнения. К таким рядам относятся:
геометрический ряд — сходится при , расходится при ;
гармонический ряд — расходится;
обобщенный гармонический ряд
(6.12)
сходится при , расходится при 1 (доказательство см. в пр. 10).
12.3.2. Второй признак сравнения
Теорема. Пусть даны два знакоположительных ряда и и существует конечный предел отношения их общих членов, тогда рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то по определению предела числовой последовательности для любого существует такой номер , начиная с которого для всех выполняется неравенство , или , или , или .
Если ряд сходится, то сходится ряд и в силу первого признака сравнения будет сходится ряд . Аналогично, если сходится ряд , то сходится ряд и сходится ряд . Таким образом, из сходимости одного ряда следует сходимость другого. Утверждение о расходимости рядов доказывается аналогично.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда .
Решение. В качестве ряда для сравнения выбираем сходящийся ряд (выбор такого ряда для сравнения определяется тем, что при больших многочлен эквивалентен старшему члену и ). Так как , то исследуемый ряд, как и сравниваемый ряд, сходится.
12.3.3. Признак Даламбер
Теорема. Пусть для знакоположительного ряда существует . Тогда, если, то ряд сходится; если , то ряд расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения предела последовательности следует, что для любого существует такой номер , что для всех выполняется неравенство или .
Пусть . Выбираем настолько малым, чтобы число , т.е.или .Последнее неравенство будет выполнятся для всех , т.е. для , т.е.
,
,
,
………………………………………..
.
Из этих оценок следует, что члены ряда меньше соответствующих членов геометрического ряда , сходящегося при . Тогда на основании первого признака сравнения ряд тоже сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд , отличающийся от предыдущего на первые членов.
2) Пусть . Выберем настолько малым, чтобы . Тогда из условия следует, что , а это значит, что члены ряда возрастают, начиная с номера , поэтому , т.е. не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.
Пример 8. Исследовать сходимость рядов:
а) , б) .
Решение. а) Так как и , , то по признаку Даламбера ряд сходится () .
б) Так как и , то по признаку Даламбера - ряд расходится.
Замечание 1. Если , то ряд расходится.
Замечание 2. Если , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос сходимости ряда и рекомендуется воспользоваться другим признаком сходимости.
12.3.4.Радикальный признак Коши
Теорема. Если для знакоположительного ряда , то при ряд сходится, при расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения предела последовательности следует, что для любого существует такой номер , что для всех выполняется неравенство , или .
Пусть . Выберем настолько малым, чтобы число . Тогда для всех , т.е. длябудет справедливо неравенство
По первой теореме сравнения, из сходимости геометрического ряда при , следует сходимость исследуемого ряда
Пусть . Выберем достаточно малым, чтобы . Используем неравенство или , которое справедливо при всех . Тогда имеем оценку общих членов двух рядов и . Так как геометрический ряд при расходящийся, то по первой теореме сравнения исследуемый ряд тоже расходится.
Пример 9. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Так как , то , то по радикальному признаку Коши ряд сходится.
Замечание. При признак Коши не дает ответа на вопрос сходимости - расходимости ряда и необходимо применять другой признак сходимости.
12.3.5.Интегральный признак Коши
Теорема. Пусть члены знакоположительного ряда являются значениями при некоторой положительной непрерывной, монотонно убывающей на функции , причем
.
Тогда несобственный интеграл и исследуемый ряд одновременно сходятся или расходятся (ведут себя одинаково).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим криволинейную трапецию образованную графиком положительной непрерывной, монотонно убывающей функции при .
Впишем в криволинейную трапецию и опишем около неё две ступенчатые фигуры состоящие из прямоугольников с основаниями . Высотами прямоугольников вписанной фигуры служат , а описанной . Известно, что
площадь криволинейной трапеции выражается интегралом
.
Площадь вписанной фигуры равна
.
Площадь описанной фигуры
.
Тогда имеет место неравенство или .
Из последнего неравенства получаем оценки
и , т.е.
и .
Если несобственный интеграл сходится и равен , то имеет место оценка , т. е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, поэтому существует конечный предел , значит исследуемый ряд сходится.
Если несобственный интеграл расходится, то из оценки следует, что последовательность частичных сумм неограничена, следовательно исследуемый ряд расходится. Теорема доказана.
Пример 10. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .
Решение. Функция при знакоположительная и монотонно убывающая . Поэтому исследуемый ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково. Вычислим несобственный интеграл
.
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .
Пример 11. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Для функции очевидно выполняется условие интегрального признака. Поэтому вычислим несобственный интеграл , т.е. несобственный интеграл сходится. Тогда по интегральному признаку Коши исследуемый ряд тоже сходится.
УПРАЖНЕНИЯ
Написать в простейшей форме общий член ряда:
а) ; b) .
Найти сумму ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости:
а) ; b) .
Исследовать сходимость ряда, применив необходимый признак сходимости:
а); b) ; c) .
Исследовать сходимость с помощью теорем сравнения:
а) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f);
5. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
а) ; b); c);
d) ; e); f) .
6. Исследовать сходимость с помощью признаков Коши:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
Исследовать сходимость ряда:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
Лекция 7. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
7.1. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Рассмотрим ряды, часть членов которых положительна, а часть отрицательна. Такие ряды называются знакопеременными.
Теорема. Если для знакоопределенного ряда
(7.1)
ряд, составленный из абсолютных величин его членов
(7.2)
сходится, то данный ряд (13.1) также сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательный ряд
(7.3)
Так как и ряд в силу сходимости ряда (7.2) сходится, то на основании первого признака сравнения ряд (7.3) также сходится. Тогда исследуемый ряд (7.1) можно представить в виде разности двух сходящихся рядов
и, следовательно, он есть ряд сходящийся (см. свойство 2 сходящихся рядов).
Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. если данный ряд сходится, то ряд, составленный из модулей его членов, может как сходиться так и расходиться.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится.
Например, ряд
(7.4)
есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов тоже сходится (оба ряда геометрические со знаменателями, соответственно равными и ).
Напротив, ряд
(7.5)
как мы увидим дальше, есть ряд сходящийся (см пр. 1), но он сходится условно, так как ряд, составленный из абсолютных значений его членов
,
расходится (гармонический ряд).
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.
Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Переставляя местами члены условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд
(7.6)
у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки. Например, ряды (7.4) и (7.5).
Признак Лейбница.
Если в знакочередующемся ряде (7.6):
Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине
; (7.7)
Предел общего члена ряда равен нулю при , т.е. .
Тогда: I. знакочередующийся ряд сходится;
его сумма по абсолютной величине не превосходит первого члена ;
остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим частичные суммы ряда (13.6) четных порядков и представим их в виде
(7.8)
Так как разности, стоящие в скобках в сумме (7.8), на основании условия (7.7) неотрицательны, то последовательность частичных сумм , монотонно возрастающая (с ростом увеличивается число положительных слагаемых) и ограниченная. Последнее можно увидеть, представив в виде
,
откуда следует, что
, (7.9)
т.к. содержимое всех скобок больше нуля.
На основании теоремы о существовании предела, последовательность имеет предел, т.е
.
Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм нечетного числа членов при . Очевидно, что
,
причем по условию 2) . Тогда
.
Итак, при любом (четном или нечетном) , т.е ряд сходится. Переходя к пределу в неравенстве (13.9) получаем . Остаток ряда
представляет собой ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, а это значит, что его сумма не превосходит по модулю его первого члена, т.е . Таким образом, абсолютная погрешность при замене суммы сходящегося знакопеременного ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, частичной суммы его первых членов, не превышает модуля первого отброшенного члена.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда 7.5.
Решение. Для этого ряда выполняются все условия теоремы Лейбница
По теореме Лейбница ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница, т.к. данный ряд знакочередующийся:
,
(Это можно доказать по правилу Лопиталя, считая непрерывной переменной.)
Тогда исследуемый ряд сходится по теореме Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость, исследуя ряд . Этот ряд расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, умноженного на :
.
Следовательно данный ряд условно сходится.
7.2 Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля
Определение. Функциональным рядом называется ряд, члены которого являются функциями, т.е.
(7.10)
Отметим, что изучение функциональных рядов сводится к изучению числовых. В самом деле, если , то для каждого фиксированного значения аргумента , принадлежащего области определения функции мы получаем соответствующий числовой ряд
,
который или сходится или расходится. Соответственно этому называется или точкой сходимости, или точкой расходимости данного функционального ряда, совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.
Если и функциональный ряд (7.10) сходится в каждой точке некоторого множества, то ряд называется сходящимся на этом множестве, а функция , определяемая формулой
,
называется суммой этого ряда на данном множестве.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, (7.11)
где – постоянные коэффициенты степенного ряда.
Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида
,
где . Этот ряд легко приводится к виду (7.11), если положить . Поэтому дальше будем рассматривать степенные ряды вида (7.11).
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается теоремой Абеля.
Если ряд (7.11) сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всех значениях , для которого .
Если степенной ряд (7.11) расходится при , то он расходится для всех , для которых .
Доказательство.
1. По условию ряд (7.11) сходится при , следовательно, выполняется необходимый признак сходимости . Отсюда следует, что последовательность ограниченна, т.е. существует такое число , что для всех справедливо неравенство
. (7.12)
Представим ряд (13.11) в виде
и рассмотрим ряд составленный из абсолютных членов этого ряда
(7.13)
Члены ряда (13.13) согласно неравенству (13.12) меньше соответствующих членов ряда
,
представляющего геометрический ряд, сходящийся при , т.е . Следовательно, на основании первого признака сравнения ряд (7.11) сходится абсолютно.
2. По условию ряд (7.11) расходится при . Покажем, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию предположим противное , т.е. при ряд (13.11) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке (ибо ), что противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, для всех х таких, что степенной ряд (13.11) расходится. Теорема доказана.
Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда (13.11) существует такое неотрицательное число , что при ряд сходится, а при расходится. Число называется радиусом сходимости, а интервал - интервалом сходимости степенного ряда.
На концах интервала сходимости, т.е при и , ряд может как сходиться так и расходиться (см. рис.13.1).
В простейших случаях радиус сходимости степенного ряда (13.11) может быть определен, например, с помощью признака Даламбера. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов
(7.14)
в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера , отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (13.14) сходится, если
будет меньше 1, т.е.
или .
Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (13.11), т.е.
(7.15)
Замечание 1. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. В случае, если , то степенной ряд (13.11) сходится лишь в точке , т.е интервал вырождается в точку.
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Здесь , . Используя формулу (7.15), находим
Следовательно, исследуемый ряд сходится в интервале .
Чтобы решить вопрос о сходимости ряда на концах интервала, положим сначала . Тогда исследуемый ряд имеет вид
.
Этот знакочередующийся ряд сходится в силу теоремы Лейбница. На правом конце интервала сходимости при получаем ряд
который расходится, как обобщенный гармонический ряд при . Тогда область сходимости исследуемого ряда – промежуток .
Замечание 2. Для степенного ряда
радиус сходимости вычисляется по той же формуле (13.15), но областью сходимости будет промежуток радиуса с центром в точке (см. рис.13.2).
Замечание 3. Другую формулу для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно получить из радикального признака Коши
. (7.16)
Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Вычислить радиус сходимости по формулам (13.15) или (13.16) не представляется возможным, так как в этом ряде коэффициенты и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера, полагая .
Следовательно, ряд сходится при или на интервале .
Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при ряд принимает вид , а при вид т.е оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Итак, область сходимости ряда .
Свойства степенных рядов. В курсах математического анализа доказывается, что степенной ряд в своем интервале сходимости по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования ведет себя также, как многочлен с конечным числом членов.
Теорема. Если степенной ряд
(7.17)
имеет интервал сходимости , то ряд полученный дифференцированием ряда (13.17)
(7.18)
будет иметь тот же интервал сходимости , причем его сумма .
Теорема. Степенной ряд (13.17) можно почленно интегрировать на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости , т.е.
. (7.19)
УПРАЖНЕНИЯ
Исследовать сходимость ряда с помощью признака Лейбница:
а) ; b) ; c)
Вычислить с точностью до сумму ряда:
а) ; b) ; c)
Установить какие из данных рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:
а) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
Найти область сходимости степенных рядов:
а) ; b) ; c) ;
d) ; e) ;
