1.Введение
В развитии математики софизмы сыграли большую роль Они повлияли на строгость математических рассуждений и помогли более глубокому осмыслению математических понятий и методов. В этой связи знаменитый ученый И. П. Павлов заметил, что «правильная понятая ошибка прокладывает путь к открытиям». Математическим софизмом принято называть удивительные утверждения, в доказательствах которых кроются незаметные, подчас и довольно тонкие ошибки. В математических софизмах применяются «запрещенные» действия ( например , деление на 0 ) или не учитывается невозможность применения теоремы, формулы или правила в рассматриваемом случаи. Иногда в софизмах используются неверно построенные чертежи или другие ошибки.
Софизм ( от греч, σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка»)
- ложное умозаключение, которое тем не менее при поверхностном рассмотрении кажется правильны. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении логики.
Цель работы: дать определение «софизм»,узнать как они появились, определить сферу его применения., научиться распознавать софизмы
Задачи: 1.Рассмотреть исторические сведения о «софизмах». Узнать, какие бывают софизмы.
2..Привести примеры софизмов.
3.Ознакомиться с психологическими особенностями человека применяющего софизмы, который с помощью любых приемов отстаивает свои убеждения, не считаясь верны они или нет.
Объект исследования : софизмы.
Методы исследования: наблюдения, анализ софизмов, составление собственных софизмов.
Гипотеза: изучение и разбор софизмов помогает развивать логическое мышление, развивает внимание, интуицию, наблюдательность, прививает навыки правильного мышления, умение переносить полученные знания на нестандартные жизненные ситуации и реализовывать их в процессе обучения.
«Правильная понятая ошибка прокладывает путь к открытиям». И. П. Павлов.
2.История софизмов.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической. За счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий и прочих, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах (последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных формулах») происходит нарушение правил логики.
Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.
А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни» не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни — это её 1/n часть, где n — число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n + 1)< 1/n».
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор оказался жертвой «софизма Эватла».)
По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательств.
3. Примеры софизмов.
В математике:
“Чётное и нечётное ”
1) 5 есть 2+3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное.
2) “ Два умножить на два будет пять”
2•2 = 4
4 : 4 = 5 : 5, вынесем за скобки слева 4, справа 5
4 ( 1: 1) = 5( 1 : 1 ) разделим левую и правую часть на ( 1: 1 ), получим
4 = 5, откуда следует 2•2 = 5.
3)“ Пять равно шести ”
Возьмем тождество
35 + 10 – 45 = 42+ 12 -54.
В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:
5 • (7 + 2 - 9 ) = 6 • ( 7 + 2 – 9)
Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель
( 7+ 2- 9), получим , что 5 = 6. Где ошибка?
4) Примером более тонкого математического софизма служит следующее «алгебраическое» доказательство того, что любое число a равно меньшему числу в.
Начнем с равенства
а = в + с. Умножив обе части на а – в, получим:
а2 – ав = ав + ас - в 2 – вс. Перенесем ас в левую часть:
И разложим на множители:
а ( а-в-с) = в ( а-в-с). Разделив обе части на а-в-с, найдем
а = в , что и требовалось доказать.
Теория вероятностей изобилует правдоподобными, но логически не безупречными рассуждениями. Предположим, что вы встретились со своим другом Джоном и что каждый из вас носит тот галстук, который ваша жена подарила ему на день рождения. Вы начинаете спорить о том, чей галстук дороже, и в конце концов решаете пойти в магазин, где были куплены галстуки и узнать, сколько стоит каждый из них. Тот, кто выиграет ( чей галстук окажется дороже), по условию пари должен отдать свой галстук проигравшему , чтобы смягчить горечь поражения. Вы рассуждаете так: - « Шансы выиграть и проиграть у меня одинаковые. Выиграв, я обеднею на сумму, равную стоимости моего галстука. Проиграв, я получу более дорогой галстук. Следовательно, заключив пари, я окажусь в более выгодном положении, чем мой приятель.» Разумеется, ничто не мешает Джону рассуждать точно также. Могут ли обе стороны, заключившие пари, иметь преимущество друг перед другом?
В теории множеств
В письме от 16 июня 1902 года Готтлобу Фреге, уже завершавшему свой трехтомный труд, частью изданный, "Обоснования арифметики", венчавший усилия логицистов, Бертран Артур Уильям Рассел (1872 - 1970) сообщил о том, что обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента), указывая на противоречивость исходных позиций Фреге, тем самым чуть-чуть его обломав. Парадокс имеет n-ое количество вариаций. Например, "каталог всех нормальных каталогов".
Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые входят в число перечисляемых ими каталогов.
Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет нормальным. Но такой каталог должен упомянут, а тогда это уже ненормальный каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть свой каталог.
Теперь расскажем о вариациях этого парадокса. Начнем с более простого и известного.
Парадокс парикмахера (приписывается также Бертрану Расселу)
В некой деревни (некотором взводе и т.д.), в которой живет один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя?
В литературе.
В приведенном ниже стихотворении, взятом из одного английского журнала, выходившего в свет в XIX веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем размесить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате
Их было десять чудаков , - Пусти, хозяин , ночевать,
Тех спутников усталых, Не будешь ты в убытке.
Что в дверь решили постучать Нам только ночку переспать
Таверны « Славный малый». Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад, -Восьми гостям я предложу
Да вот беда некстати:, Постели честь по чести
Лишь девять комнат у него А двум придется ночь проспать
И девять лишь кроватей В одной кровати вместе
Лишь он сказал , и сразу крик Как охладить страстей тех пыл
От гнева красны лица: Умерить те волненья?
Никто из всех десятерых Но старый плут хозяин был
Не хочет потесниться. И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока Спал третий в «Б», четвертый в «В»
Чтоб не судили строго, В «Г» спал всю ночь наш пятый
Просил пройти он в номер «А» В «Д», «Е», «Ж», «З», нашли ночлег
И подождать немного. С шестого по девятый.
Потом, вернувшись снова в «А», Хоть много лет с тех пор прошло
Где ждали его двое , Неясно никому,
Он ключ от «И» вручить был рад Как смог хозяин разместить
Десятому герою Гостей по одному.
Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что , как и почему,
Вы постарайтесь сами.
Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:
-« Сидящий встал, кто встал, тот стоит; следовательно сидящий стоит»
-« Сократ – человек; человек- не тоже самое что Сократ; значит Сократ – это нечто иное, чем Сократ»
- «Для того чтобы видеть, вовсе не обязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого других глаз
у нас нет; поэтому ясно , что глаза являются необходимыми для зрения.»
Обратите внимание, во всех примерах выводы являются ложными, причем где то их ложность очевидна, а где то совсем нет.
-«Что от нас дальше Луна или Африка?
Конечно же Африка, ведь Луну отсюда видно, а Африку нет !»
-«Один человек пожилого возраста доказывает, что сила его несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась: В юности и молодости я не мог поднять штангу весом в 200 кг и сейчас не могу,, стало быть сила моя осталась прежней.»
- «Зачем человеку уши? Чтобы видеть. Странно – это глаза для того чтобы видеть , а уши- для того , чтобы слышать. На самом деле это не так. Уши ведь держат шляпу , и если их не было, то шапка сползла бы на глаза и было бы ничего не видно. Следовательно, уши нужны для того, чтобы видеть.
Основные ошибки, «прячущиеся» в софизмах:
-деление на 0 ;
-неправильные выводы из равенства дробей;
-неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
-нарушения правил действия с именованными величинами;
-путаница с понятиями «равенства» и « эквивалентность» в отношении множеств;
-проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
-неравносильный переход от одного неравенства к другому.
4. Заключение
В своей работе я рассмотрела не все примеры «софизмов». Встречаются «софизмы» в теории чисел, есть бесконечное множество интересных задач о сравнительных достоинствах « интересных чисел». Есть логические софизмы, терминологические, психологические. Это очень обширная , интересная и познавательная тема. Софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом.
. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.
В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений. . Изучая данную тему .я расширила свой кругозор, это заставила меня внимательнее читать, распознавать софизмы, находить ложные утверждения. При решении таких задач развивается не только логическое мышление, но и интуиция. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.
5. Используемая литература
1«Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» Т.Н. Михеева
2 « История философской мысли». А,А Афанасьева.
3. Толковый словарь.
4.Материал из Википедии — свободной энциклопедии
5. «Софистика» Чернышев Б.
Коммунальное государственное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 4»
г. Жезказгана
Исследовательская работа
«Софизмы»
Выполнил: ученица 7 «Г» класса –
Здоровик В
Руководитель: Булгакова В. А.-
учитель математики.
г. Жезказган 2014 г.
Оглавление.
1. Введение.
2. Исторические сведения о софизмах
3. Примеры софизмов
4. Заключение
5. Используемая литература.
Можно бесконечно говорить о софизмах в целом и о математических софизмах в частном. Из года в год появляются новые софизмы, некоторые из них могут остаться в истории, о многих быстро забудут. Ведь софизмы - это смесь математики и логики, поэтому они помогают не только развивать логику, но и лучше понимать математику в целом. В современном мире есть много людей, так или иначе употребляющих софизмы в обычной жизни, даже не зная, что это такое. Есть же и такие люди, которые целенаправленно изучают софизмы, например политики или СМИ, чтобы вводить людей в заблуждение, или просто развить свои навыки логики и правильности рассуждений.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, например в софизме «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру» пришлось долго искать ошибку в применении теоремы. К концу работы над рефератом ошибки стали находиться быстрее. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.
Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение сканвордов или судоку.
