Урок на тему:
ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Цель: вывести формулу объема шара и его частей.
Ход урока
I. Объяснение нового материала.
1. Объем шара радиуса R равен [pic] πR3.
Доказательство см. п. 82–83.
2. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью (рис. а, в).
а)
б)
в)
Объем шарового сегмента определяется формулой V = πH2 [pic] , где H – высота шарового сегмента.
3. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. б).
4. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.
а)
б)
Объем шарового сектора определяется формулой V = [pic] πR2H, где H – высота соответствующего шарового сегмента.
II. Решение задач.
См.: Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.
Задача 1. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?
Решение
1. Под основанием сектора в задаче понимается основание соответствующего сектору сегмента. Пусть R – радиус шара, r – радиус основания сегмента.
2. Наша задача сводится к отысканию высоты этого сегмента: H = PO1. OP – радиус шара, перпендикулярный основанию сегмента.
3. Из прямоугольного треугольника OO1M ( [pic] MO1O = 90°) найдем:
OO1 = [pic] = 45, поэтому H = PO1 =
= OP – OO1 = R – OO1 = 75 – 45 = 30.
[pic] [pic]
а) б)
4. Объем шарового сектора.
V = [pic] πR2H = [pic] π 752 ∙ 30 = 112 500π см3.
5. Примечание. Поставленная задача имеет два решения:
1) Шаровой сектор, который мы рассматривали, называется выпуклым, и его высота равна R – OO, называется невыпуклым. Найдем его объем.
6. Рассмотрим второй случай, где высота сектора H = R – OO1 = 120, так что полученный объем будет в 4 раза больше, чем вычисленный: V = π 45 ∙ 104 см3.
7. Таким образом, искомый объем равен либо 112 500π см3, либо 450 000π см3.
Задача 2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом α в осевом сечении. Найдите его объем.
[pic]
Решение
1. Объем сектора V = [pic] πR2H.
2. Так как R – известная величина, то остается нам найти H = AO1.
3. Из условия [pic] C1OC = α, значит, [pic] AOC = [pic] и соответственно
[pic] AC = [pic] , тогда [pic] ACO1 = [pic] ABC = [pic] .
4. Из прямоугольного треугольника AO1C получаем AO1 = AC sin [pic] .
5. Из прямоугольного треугольника ABC находим AC = AB sin [pic] , или AC = 2R sin [pic] , следовательно, H = 2R sin2 [pic] .
6. Таким образом, [pic] .
Задача 3. В полусфере радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объем полученного шарового пояса.
[pic]
Решение
1. A1O1B1 || AOB, AO = OC = R, OO1 = O1C = [pic] .
2. Объем шарового слоя найдем из равенства V = Vполушара – Vсегм.
3. Vполушара = [pic] .
4. У сегмента H = [pic] , Vсегм = πH2 [pic] .
5. Следовательно, V = [pic] πR3 – [pic] .
Задача 4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объем тела вращения.
Решение
1. Дано: AO = R, [pic] AB = 120°, [pic] BOD = 30°.
2. [pic] AB = 120°, [pic] AOB = 120°, тогда [pic] AOO1 = 180° – (120° + 30°) =
= 30°. Следовательно, объемы двух полученных секторов будут равны. Тогда
[pic]
Vт. в. = Vшара – 2Vсект.
3. Из прямоугольного треугольника OO2B найдем:
OO2 = R cos 30° = [pic] .
4. Vт. в. = [pic] =
= [pic] , Vт. в. = [pic] .
Задача 5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела (рис.).
[pic]
Решение
1. По условию [pic] BOA = 30°, значит, [pic] BOC = 60°, OB = OC = R, поэтому треугольник BOC правильный, причем его сторона BC отсекает от радиуса OA отрезок DA, равный высоте H соответствующего шаровому сектору сегмента.
2. H = AD = AO – OD = R – R [pic] = R [pic] .
3. Объем сектора [pic] .
Задача 6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?
Решение
1. Радиус шара [pic] = 6.
2. Высота меньшего сегмента H = 3, объем его
V1 = πH2 [pic] = 45π см3.
3. Объем всего шара V3 = [pic] πR3 = 288π см3.
4. Объем второго сегмента V1 = V3 – V1 = 288π – 45π = 243π см3.
Задача 7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?
Решение
1. Из условия вытекает, что высота цилиндра H = 2R, подставим значение H в формулу объема цилиндра: V4 = πR2H = 2πR3.
2. Объем шара Vш = [pic] πR3.
3. Найдем, сколько сточено материала: V4 – Vш = 2πR3 – [pic] πR3.
4. Найдем, сколько процентов составляет сточенный материал: [pic] .
Домашнее задание: теория (п. 82–83), №№ 710, 711, 717.
