Задача №1
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 60º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение.
[pic]
Пусть дан цилиндр, прямоугольник АВСД – его осевое сечение, АД и ВС – диаметры оснований. Точка О – центр нижнего основания, точка [pic] - центр верхнего основания. О [pic] [pic] (АВС), О [pic] - высота цилиндра.
АВ [pic] АД, АД проекция ВД на плоскость нижнего основания цилиндра, тогда [pic] ВДА – угол между диагональю ВД и плоскостью нижнего основания.
По условию ВД = 12 см, [pic] ВДА = 60º. Из ∆ВАД ( [pic] ВАД = 90º), [pic] АВД = 90º-60º = 30º. АД = [pic] ВД, АД = [pic] 12 = 6 (см), по свойству катета, лежащего против [pic] АВД = 30º.
Используя теорему Пифагора АВ = [pic] , АВ = [pic] = [pic] (см).
Площадь боковой поверхности цилиндра [pic] , где C – длина окружности, H – высота цилиндра. Н = АВ = [pic] см, [pic] , d = AД, [pic] , [pic]
Ответ: [pic]
Задача №2.
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24 [pic] см и наклонена к плоскости его основания под углом 30º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение.
[pic]
Пусть дан цилиндр, прямоугольник АВСД – его осевое сечение, АД и ВС – диаметры соответственно нижнего и верхнего оснований. Точка О – центр нижнего основания, точка [pic] - центр верхнего основания. О [pic] [pic] (АВС), О [pic] - ось цилиндра, высота цилиндра.
АВ [pic] АД, АД проекция ВД на плоскость нижнего основания цилиндра, тогда [pic] ВДА – угол между диагональю ВД и плоскостью нижнего основания. По условию ВД = 24 [pic] см, [pic] ВДА = 30º. Из ∆ВАД ( [pic] ВАД = 90º),АВ = [pic] ВД, АВ = [pic] 24 [pic] =12 [pic] (см) – по свойству катета, лежащего против угла 30º.
Используя теорему Пифагора АД = [pic] , АД = [pic] = 36(см).
Площадь боковой поверхности цилиндра [pic] , где C – длина окружности, H – высота цилиндра. Н = АВ = [pic] см, [pic] , d = AД, [pic] , [pic]
Ответ: [pic]
Задача №3.
Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 6 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60º. Найдите площадь осевого сечения.
Решение.
[pic]
Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, РО - высота конуса. Построим осевое сечение конуса - равнобедренный ∆АРВ, АВ – диаметр основания конуса, РА=РВ – образующие. Точка М – середина РА, ОМ – расстояние от центра основания конуса до середины образующей РА. По условию ОМ = 6 см. РО [pic] АВ, ОА – проекция наклонной РА на плоскость основания конуса, тогда [pic] РАО – угол между образующей и плоскостью основания конуса, [pic] РАО = 60º.
Из ∆АРВ, [pic] РВА = [pic] РАВ = 60º, как углы при основании равнобедренного треугольника АРВ, значит ∆АРВ равносторонний, РА = РВ = АВ.
Рассмотрим ∆РОА ( [pic] РОА = 90º), точка М – середина гипотенузы РА, значит это центр окружности, описанной около ∆РОА, ОМ = АМ = МВ = R, где R – радиус описанной окружности. Тогда РА = 2ОМ, РА = 2·6 = 12 (см).
Площадь осевого сечения [pic] , [pic] (см²).
Ответ: [pic]
Задача №4.
Расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Решение.
[pic]
Пусть дан конус, точка О – центр его основания, SО – ось конуса, SО - высота конуса. Построим осевое сечение конуса – равнобедренный ∆МSК, МК – диаметр основания конуса, SМ=SК – образующие конуса, SО [pic] МК. Опустим из точки О перпендикуляр на образующую SК, ОР [pic] SК, тогда ОР – расстояние от центра основания конуса до образующей SК, ОР = 3 см.
По условию [pic] МSК = 120º - угол при вершине осевого сечения. В равнобедренном ∆MSK высота SО – биссектриса, медиана. [pic] МSО = [pic] КSО = 120º:2 = 60º. Тогда [pic] SМК = [pic] SКМ = (180º - 120º):2 = 30º - как углы при основании равнобедренного треугольника.
Из ∆SРО ( [pic] SРО = 90º) SО = [pic] , SО = [pic] = [pic]
Из ∆SОК ( [pic] SОК = 90º) ОК = SО· tg [pic] КSО, ОК = [pic] (см), тогда МК = 6·2 = 12 (см). Площадь осевого сечения конуса [pic] , [pic]
Ответ: [pic]
Задача №5. В основании прямой призмы лежит ромб с большей диагональю, равной 6 [pic] см. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30º, меньшая - угол 45º. Найдите объем призмы.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, [pic] А – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. [pic] , АС – проекция [pic] на плоскость основания, [pic] , ВД – проекция [pic] на плоскость основания. Так как АС > ВД, то [pic] > [pic] по свойству наклонных и их проекций, т.е. [pic] - большая диагональ призмы. [pic] [pic] - угол, образованный большей диагональю призмы с плоскостью основания, [pic] [pic] - угол, образованный меньшей диагональю призмы с плоскостью основания. По условию [pic] [pic] =30º, [pic] [pic] = 45º.
Из ∆ [pic] , ( [pic] [pic] =90º) АС = 6 [pic] см, [pic] , [pic] , [pic] .
В ∆ [pic] , ( [pic] [pic] =90º), [pic] [pic] = 90º- 45º = 45º, значит ∆ [pic] - равнобедренный, ВД = [pic] = 6 см.
Объем призмы V = [pic] , где [pic] - площадь основания призмы, [pic] = [pic] - высота призмы. [pic] , [pic] . V = [pic] .
Ответ: [pic] .
Задача №6.
В основании прямой призмы лежит ромб. Большая диагональ призмы равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30º, а меньшая образует с боковым ребром угол 45º. Найдите объем призмы.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, [pic] А – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. [pic] , АС – проекция [pic] на плоскость основания, [pic] , ВД – проекция [pic] на плоскость основания. Так как АС > ВД, то [pic] > [pic] по свойству наклонных и их проекций, значит [pic] - большая диагональ призмы, [pic] [pic] - угол, образованный большей диагональю призмы и плоскостью основания. [pic] [pic] - угол, образованный меньшей диагональю призмы и плоскостью основания. По условию [pic] [pic] =30º, [pic] [pic] = 45º. Из ∆ [pic] , ( [pic] [pic] =90º) А [pic] С = 12 см, [pic] = [pic] , [pic] = [pic] - по свойству катета, лежащего против угла 30º. [pic] = А А [pic] = 6 см.
Используя теорему Пифагора АС = [pic] , АС = [pic]
Из ∆ [pic] , ( [pic] [pic] =90º), [pic] [pic] , Δ [pic] - равнобедренный, ВД = [pic] = 6 см.
Объем призмы V = [pic] , где [pic] - площадь основания призмы, [pic] = [pic] - высота призмы. [pic] , [pic] . V = [pic] .
Ответ: [pic] .
Задача №7.
Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 5 см.
Решение.
[pic]
Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса. Построим сечение конуса – прямоугольный равнобедренный ∆АРВ, [pic] АРВ = 90º, АВ – диаметр основания конуса, РА=РВ – образующие. ОА = ОВ = 5 см (по условию) – радиусы основания конуса, АВ = 2·ОА, АВ = 2·5 = 10 (см).
Так как ∆АРВ – равнобедренный, [pic] PАB = [pic] PВA = 45º, как углы при основании равнобедренного треугольника. РА = АВ· cos [pic] PAB, PA = 10· cos45º = 10· [pic] = [pic]
Площадь боковой поверхности конуса [pic] , где R=ОА = 5 см, l = РА = [pic] см.
[pic] (см²).
Ответ: [pic] см².
Задача №8.
Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите объем конуса.
Решение.
[pic]
Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса. Построим сечение конуса – равносторонний ∆АРВ, РА=РВ=АВ = 10 см (по условию). РА, РВ – образующие конуса, РО [pic] (АРВ), АВ – диаметр конуса. АО=ОВ – радиусы основания, АО=ОВ = [pic] (см).
Из ΔРОА ( [pic] РОА=90º), используя теорему Пифагора РО= [pic] ,
РО = [pic] (см).
Объем конуса [pic] , где [pic] - площадь основания конуса. [pic] = [pic] , [pic] 25 [pic] см². Тогда [pic] .
Ответ: [pic]
Задача №9.
Площадь боковой поверхности конуса равна 136 [pic] см², а его образующая равна 17 см. Найдите объем конуса.
Решение.
[pic]
Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса, РА – образующая, ОА – радиус основания конуса.
По условию РА = 17 см, [pic] [pic] , где R = OA, l = РА, [pic] , отсюда ОА = [pic] , ОА = [pic] .
Из ∆РОА, ( [pic] РОА=90º), используя теорему Пифагора РО= [pic] ,
РО = [pic] (см).
Объем конуса [pic] , где [pic] - площадь основания конуса. [pic] = [pic] , [pic] 64 [pic] см². Тогда [pic] .
Ответ: [pic]
Задача №10.
Площадь боковой поверхности конуса равна 65 [pic] см², а его образующая равна 13см. Найдите объем конуса.
Решение.
[pic]
Пусть дан конус, точка О – центр его основания, РО – ось конуса, высота конуса, РА – образующая, ОА – радиус основания конуса.
По условию РА = 13 см, [pic] [pic] , где R = OA, l = РА, [pic] , отсюда ОА = [pic] , ОА = [pic] .
Из ∆РОА, ( [pic] РОА=90º), используя теорему Пифагора РО= [pic] ,
РО = [pic] (см).
Объем конуса [pic] , где [pic] - площадь основания конуса. [pic] = [pic] , [pic] 25 [pic] см². Тогда [pic] .
Ответ: [pic]
