Исследовательская работа по математике (11 класс) на тему: Жесткость и изгибаемость выпуклых многогранников

_____________________________________

МОУ «Краснооктябрьская средняя

общеобразовательная школа

им. А.Ф. Пономарева

Белгородского района

Белгородской области»

Можара Ю.А.

Завгородняя Л.В.

4

2. Простые многогранники…………………….….……………..……

5

3. Изгибаемость многогранников…….………….……………..…….

6

4. Теорема Коши о единственности………………………….………

9

5. Гипотеза Эйлера………………………………………………….…

9

6. Лемма Коши о выпуклых многоугольниках……..……………….

10

7. Основная лемма Коши…………………………………………..….

12

8. Теорема Александрова о достаточности……………………..……

15

Заключение……………………………………………………………………..

18

Библиографический список……………………………………………………

19

Приложения

20

Введение.

Каждый, кто клеил или просто держал в руках картонную модель многогранника, замечал ее жесткость и, возможно, задумывался над этим. Интуиция скорее всего подсказывала, что жесткость модели не случайна, что обусловлена она какими-то пусть запутанными и неясными, но очевидно существующими связями между гранями многогранника. Вопрос о жесткости многогранника – это старый геометрический вопрос и, как оказалось, очень не простой. Прояснился он лишь в наше время, но первый важный шаг в его решении был сделан 175 лет тому назад двадцатитрехлетним математиком Огюстеном Луи Коши (рис.1), питомцем знаменитой парижской Политехнической школы.

[pic]

Рис.1.

Выпускника Политехнической школы 1807 года Огюстена Луи Коши «по его блестящим достижениям во всех областях математики можно поставить почти рядом с Гауссом». Французского математика «почти рядом» с Карлом Фридрихом Гауссом поставил немецкий математик Феликс Клейн. Это придает высокой оценке творчества Коши особое значение, если учесть, что взаимоотношения между французскими и немецкими математиками, как правило, развивались в атмосфере острой конкуренции, а признание заслуг соперников никогда не отличалось щедростью [2].

Результаты Коши, принесшие автору славу величайшего математика, относятся в основном к математическому анализу и алгебре, к математической физике и механике. В огромном научном наследии Коши, занимающем 25 внушительных томов (всего у Коши, по данным его биографа, 789 работ), его исследования по геометрии могли бы остаться незамеченными, если бы не его работа «О многоугольниках и многогранниках», опубликованная в «Журнале Политехнической школы» в 1813 году.

[link]

Перепишем формулу Эйлера в виде

4В–8=4Р—4Г. (4)

Подставим в (4) соотношения (3) и (1):

4В–8=2(ЗГ3+5Г5+...)–2(2Г3+2Г4+2Г5+...)=2Г3+4Г4+6Г5... (5)

В соотношении (5) коэффициент при Гn равен 2(n—2) и, следовательно, если n≥3, он не меньше ближайшего к n снизу числа, которое как раз и есть коэффициент при Гn в правой части неравенства (2). Поэтому из (2) и (5) следует требуемое неравенство

N≤4В–8.

Доказательство леммы 2 в общем виде, когда, вообще говоря, не все ребра отмечены знаком, усложняется дополнительными техническими деталями, которые мы опускаем.

Заметим, что условие выпуклости многогранника при доказательстве леммы 2 не используется: она верна для произвольных простых замкнутых многогранников. Выпуклость многогранника в теореме Коши существенна лишь для применения леммы 1.

Подведем итог. Если бы теорема Коши была неверна, то по лемме 1 на ребрах должна была бы возникнуть расстановка знаков, которая по лемме 2 невозможна. Доказательство теоремы Коши, точнее, изложение основной идеи этого доказательства, завершено.

8. Теорема Александрова о достаточности.

Когда работа Коши увидела свет, научные интересы ее автора были уже далеки от этой области. В дальнейшем глубокие результаты по теории многогранников были получены представителями геометрической школы академика А. Д. Александрова (рис.16). В 1939 году А. Д. Александров доказал теорему об условиях, при которых из данной развертки можно склеить выпуклый многогранник.

[pic]

Рис.16.

Посмотрим на рисунок 17, на котором нетрудно узнать хорошо известную развертку куба. Гораздо труднее увидеть, что развертка, представленная на рисунке 18, также является разверткой куба – одинаково отмеченные на рисунке вершины задают отождествление вершин и пар склеиваемых сторон (рис.19).

[pic]

Рис.17.

[pic]

Рис.18

[pic]

Рис.19.

Обратим внимание на то, что многоугольники развертки не обязательно совпадают с гранями получающегося из него многогранника. Грань многогранника при этом может составляться из одного или нескольких кусков разных многоугольников развертки. Заметим также, что не всякая вершина многоугольника развертки обязана быть вершиной многогранника, она может быть «спрятана» внутри ребра или внутри грани многогранника.

Возьмем произвольную развертку, т. е. возьмем несколько вырезанных из бумаги выпуклых многоугольников и укажем, какую сторону каждого из них будем склеивать с какой стороной другого многоугольника. Склеиваемые стороны, разумеется, должны быть одинаковой длины. Будем склеивать многоугольники в соответствии с указаниями о порядке склеивания (при этом разрешается сгибать многоугольники развертки). Возникает вопрос: из каких разверток можно таким образом получить выпуклый многогранник? Для этого необходимо выполнение двух условий:

1. для развертки имеет место формула Эйлера (В–Р+Г=2);

2. сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, не превышает 360°.

Смысл теоремы Александрова поражает своей простотой: условия 1 и 2 являются необходимыми и достаточными для того, чтобы из многоугольников развертки можно было склеить выпуклый многогранник (возможно, дополнительно сгибая многоугольники развертки).

Развивая идеи, лежащие в основе этой теоремы, А. Д. Александров построил внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей – одну из важнейших теорий в современной геометрии [2].

Вернемся к развертке на рисунке 18. Даже не глядя на рисунок 19, проверив для нее выполнимость условий Александрова, можно утверждать, что из этой развертки склеивается некоторый выпуклый многогранник. Сколько разных выпуклых многогранников можно склеить из одной развертки? Из-за того, что грани многогранника не фиксированы, теорема Коши на этот вопрос ответа не дает. А. Д. Александров доказывает теорему, которая, с одной стороны, усиливает теорему Коши, с другой, – прекрасно дополняет его собственную теорему о достаточности: если из развертки можно склеить выпуклый многогранник, то только один.

Более того, из этой развертки нельзя получить вообще никакой другой выпуклой поверхности, не только многогранной, но и кривой. Это усиление теоремы Александрова было получено в 1941 году его молодым учеником С. П. Оловянишниковым. (Сергей Оловяшников является победителем первой математической олимпиады (1934 г.). Тридцатые годы наложили свой отпечаток на нелёгкую судьбу талантливого юноши. В 1941 году ему удалось закончить Ленинградский университет и поступить в аспирантуру к А. Д. Александрову. Но вскоре он ушел на фронт, осенью 1941 года был ранен. В госпитале он и написал работу об обобщении теоремы Коши. Вернувшись на фронт, С. П. Оловянишников погиб в декабре 1941 года на «Невском пятачке» – известном кровопролитными боями плацдарме).

Что касается наиболее полного обобщения теоремы Коши на случай произвольных, а не только многогранных поверхностей, то этот вопрос долгое время оставался нерешенным. Пусть произвольная замкнутая выпуклая поверхность выполнена из тонкого, гибкого, но нерастяжимого материала. Можно ли, сохраняя выпуклость, получить из нее поверхность другой геометрической формы? Если исходная поверхность – выпуклый многогранник, то нельзя – это случай теоремы Коши–Александрова–Оловянишникова о единственности.

Окончательное обобщение теоремы Коши на случай произвольных поверхностей было получено в 1949 году также представителем школы Александрова, советским геометром, академиком А. В. Погореловым. Погорелов доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизгибаема с условием сохранения ее выпуклости. Теорема Погорелова о единственности, как и теорема Александрова о достаточности, принадлежит к числу выдающихся достижений в области геометрии.

Заключение.

В геометрии есть немало интересных нерешенных задач, которые ждут своих будущих исследователей. Некоторые из проблем формулируются совсем элементарно, взять хотя бы упоминавшуюся нами гипотезу о сохранении объема при изгибании невыпуклых многогранников. Если думать в этом направлении, то полезно было бы начать с попытки построить новые, еще неизвестные примеры изгибаемых многогранников. Не исключено, что среди вновь открытых могут оказаться многогранники, опровергающие эту гипотезу.

Заметим, что все результаты, о которых мы узнали в результате выполненной исследовательской работы, были получены математиками в возрасте до тридцати лет. Математика двигается вперед усилиями молодых. Как сказал один известный математик, новые идеи рождаются в головах молодых геометров, но старые при этом полезны в роли «повивальной бабки».

Чтобы убедиться на практике в жесткости и изгибаемости выпуклых многогранников и в их изгибаемости была выполнена следующая практическая работа. На рисунке 11 изображен, наиболее простой известный изгибаемый многогранник – флексор, который предложил Клаус Штеффен, и зеркальный образ этого флексора. Развертка этого флексора (приложения 1,2) состоит из двух равных оснований и крышки. В качестве значений a,b,c,d,e хорошо подходят a=12, b=10, c=5, d=11, e=17. После того как мы вырезали основание, мы склеили попарно ребра с так, чтобы в одной вершине (отмеченной светлым кружком) основание было выпуклым в одну сторону, а в другой вершине (отмеченной темным кружком) – в противоположную, так что в целом основание не является выпуклым. Второе основание склеили точно так же, поэтому оба основания совместились друг c другом. После этого мы склеили основания так, что у каждого из них осталось по два свободных ребра, эти четыре ребра мы заклеили крышкой. Полученный многогранник – флексор непрерывно изгибаем: его можно немного сжимать и разжимать, изменяя двугранные углы при ребрах [2].

Библиографический список.

1. Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник // Квант. – 1978. – №9. – С. 13-19.

2. Долбилин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников // Квант. – 1988. – №5. – С. 6-14.

Приложение 1

[pic]

Приложение 2

[pic]