Урок 16. Корень n-й степени
Цель: рассмотреть понятие корня натуральной степени п.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
1. Дана функция f(x) = 2(х - 1)4. Вычислите 2f(0) – 3f(1) + 4f(2).
2. Сравните числа.
а) (-7,2)6 и (6,1)6;
б) (-4,8)3 и 2,73.
3. Постройте график функции у = (х + 1)4 - 2.
Вариант 2
1. Дана функция f(x) = -2(х + 1)3. Вычислите 6f(-1) + 4f(0) – 3f(1).
2. Сравните числа.
а) (-9,3)4 и (7,3)4;
б) (-7,8)5 и 4,75.
3. Постройте график функции у = (х + 1)3 - 2.
III. Изучение нового материала
Вы уже знаете, что понятие квадратного корня возникло при решении простейшего квадратного уравнения х2 = а. При этом квадратным корнем из числа а называют такое число, квадрат которого равен а. Разумеется, кроме уравнения х2 = а необходимо решать уравнения х3 = а, х4 = а, ..., хn = а. Поэтому надо ввести понятие корня любой натуральной степени n(аналогичное понятию квадратного корня).
Корнем n-й степени из числа а называют такое число, n-я степень которого равна а. Этот корень обозначают символом [pic] Причем n называют показателем корня, а - подкоренным выражением.
Пример 1
[pic] т. к. 05 = 0.
Принято корень второй степени называть квадратным корнем, корень третьей степени - кубическим корнем.
Теперь необходимо уточнить понятие корня. Сначала рассмотрим степенную функцию у = хn с нечетным показателем n. Из рис. а видно, что для любого значения а уравнение хn = а имеет единственное решение [pic] Обратимся теперь к степенной функции у = хn с четным показателем n (рис. б).
Тогда уравнение хn = а при а < 0 решений не имеет, при а = 0 имеет единственное решение х = 0, при а > 0 имеет два противоположных по знаку решения. В этом случае положительное решение обозначают символом [pic]
[pic]
Пример 2
Рассмотрим уравнение х4 = 81. Очевидно, что такое уравнение имеет два решения: x1 = -3 и х2 = 3, т. к. при подстановке этих чисел в уравнение получаем верное равенство. Учитывая, что [pic] такие решения можно записать в виде [pic] и [pic]
Таким образом, выражение [pic] при а ≥ 0 имеет смысл при четном и нечетном и, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем n-й степени из а. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, n-я степень которого равна а.
Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень из положительного числа.
Пример 3
Получаем [pic]
Ранее изученные свойства квадратного корня можно обобщить на случай корня n-й степени:
[pic]
В равенствах 1-5 числа m и n - натуральные, в равенствах 1-4 числа а, b ≥ 0 и в равенстве 4 число b ≠ 0.
Пример 4
Используя приведенные свойства, вычислим.
[pic]
[pic]
В заключение приведем графики функций [pic] для нечетных (рис. а) и четных (рис. б) значений n.
[pic]
IV. Контрольные вопросы
1. Определение корня n-й степени.
2. Основные свойства корня n-й степени.
3. Графики функции [pic] для нечетных и четных значений n.
V. Задание на уроке
№ 159 (а, г, ж); 160 (д); 162; 164; 168 (д); 171 (в); 173; 177 (а); 178 (б); 179.
VI. Задание на дом
№ 159 (б, в, з); 160 (е); 163; 165; 168 (е); 171 (г); 174; 177 (в); 178(a).
VII. Подведение итогов урока
