29
Применение производной при решении задач с практическим содержанием
В сборнике представлены задачи, связанные с различными сферами деятельности человека. Ко всем задачам даны решения.
Составитель Шумилова М.В., учитель математики
Содержание
Предисловие…………………………….….……….3
§1. Производная в химии…………………………..4
§2. Производная в биологии………………..……...4
§3. Производная в физике……………………..…...4
§4. Производная в технике …..…………………….5
§5. Производная в строительстве…..……………...6
§6. Производная в экономике……..…………….....7
§7. Производная в медицине………..…………….10
§8. Производная в быту…..……………………….10
Ответы……………………………………………...13
Источники информации и иллюстраций…….......29
Предисловие
В школьном курсе математики изучается множество правил, определений, доказываются теоремы. Многие школьники задают вопрос: зачем все это нужно? И это естественный вопрос, т.к. школьные учебники не всегда дают на него полный ответ.
Предлагаемые в сборнике задачи помогут учителю в иллюстрации применения школьных знаний по теме «Производная» при решении задач, взятых из смежных с математикой учебных предметов – физики, химии; задач экономического содержания и др.
Решение задач с практическим содержанием будет способствовать развитию интереса школьников к математическим знаниям.
§1. Производная в химии
Задача № 1
Газовая смесь состоит из оксида азота (NO) и кислорода (О2). Требуется найти концентрацию О2, при которой, содержащийся в смеси оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.
§2. Производная в биологии
Задача № 1
[pic]
В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + [pic] , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.
§3. Производная в физике
Задача № 1
Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно R.
Задача № 2
П [pic] ри извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с.
Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?
Задача № 3
Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону [pic] . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.
§4. Производная в технике
Задача № 1
Известно, что прочность на горизонтальный изгиб балки прямоугольного горизонтально сечения пропорциональна произведению ширины балки на квадрат высоты. Найти отношение ширины к высоте поперечного сечения наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром d см
§5. Производная в строительстве
З [pic] адача №1
Чтобы уменьшить трение жидкости о стенки и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти
размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.
Задача № 2
Д [pic] ля конструкторского бюро строится зал в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из граней, которая должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота зала должна быть 4м, а площадь, 80м². Известно, что 1м² стеклянной стены стоит 75 руб., а обычной 50 руб.
Какими должны быть размеры зала, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?
Задача № 3
О [pic] пределить размер такого открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32см³, чтобы на облицовку его стен и дна было истрачено наименьшее
количество материала.
Задача № 4
[pic]
Под каким углом надо
сделать въезд на мост,
если его высота 10 м, а
пролёт составляет
120 м ?
§6. Производная в экономике
З [pic] адача№1
Предприятию поручается погрузка 100 стаканов и выделяется на это 1000 рублей. Но из этой суммы вычитается 40 рублей за каждый час погрузки. Предприятие заключает договор с бригадой грузчиков, по которому они получают премию в 10 v рублей, [pic] –скорость погрузки. При какой скорости предприятие получит максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли?
З [pic] адача № 2
Цементный завод производит
х т цемента в день. По договору
он должен ежедневно поставлять
строительной фирме не менее
20 т цемента. Производственные
мощности завода таковы, что
выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=-х3+98х2+200х.
Задача № 3
П [pic] редприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x-1000.
Задача № 4
Рассмотрим применение производной к решению следующей экономической задачи: в математической модели экономического роста хозяйства производящего, например, цветы для потребления. [pic]
Р - ежегодное потребление продукта на душу занятых в производстве;
Х - число занятых в производстве рабочих. [pic] , где M, b - постоянные, характеризующие производственные возможности хозяйства. При M=250, b=8464 определить число рабочих, соответствующее наибольшему значению Р в хозяйствах с 80,90,120 и 150 рабочими местами.
З [pic] адача № 5 Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию
U(t)=0,15t² – 2t² +200, где t – месяцы, U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия.
§7. Производная в медицине
Задача № 1
Р [pic] еакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции описывается функцией у=R(x)=x2(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?
§8. Производная в быту
Задача № 1
Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?
Задача № 2
Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы F, приложенной к центру тяжести. Какой угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.
[pic]
Задача № 3
Р [pic] асход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км.) в зависимости от скорости Х км/ч при движении на 4-й передаче приблизительно описывается функцией: F(x)=0,007х-0,18х+10,2, х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьшим?
Задача № 4
У [pic] часток, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
Задача № 5
У [pic] часток прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Найти длины сторон участка.
Ответы
§1.
№1.
Решение:
Напишем уравнение реакции окисления оксида кислородом
2NO + O2 [pic] 2NO2
Пусть х – концентрация оксида азота, у – концентрация кислорода, тогда vпрямой=Кх2у, где К – константа скорости реакции, зависящая только от температуры и не зависящая от концентрации реагирующих веществ.
Концентрацию газов выразим в объемных процентах.
Весь объем газовой смеси возьмем за 100%.
В этом случае у=100-х и v=Кх2(100-х), где х принадлежит [0;100].
Найдем наибольшую скорость
D(v) = R
v’(x)=200K – 3Kx2
200K – 3Kx2=0
x=0
x=66,7%
Ответ: при концентрации О2, равной 33,3% оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.
§2.
№ 1.
Решение.
D(P)=R
P’(t)= [pic] = [pic] = [pic]
P’(t)=0
100-t2=0
t= [pic]
P(10)=1000+ [pic] =1005
Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.
§3.
№ 1.
Решение:
Пусть сопротивление одного х, другого – у. Сопротивление всей цепи при параллельном соединении r, тогда
[pic]
При последовательном х + у = R
y= R-x
Имеем
[pic]
Сопротивление r - является функцией от х, х принадлежит [0;R]; F(x)= [pic]
D(f)=R
f’(x)= [pic]
f’(x)=0, x= [pic]
f(0)=0, f(R)=0, f( [pic] )= [pic]
при х= [pic] сопротивление всей цепи при параллельном соединении будет наибольшим.
Ответ: сопротивления должны быть одинаковыми.
№ 2.
Решение:
Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени [pic] . Откуда следует: [pic] . Следовательно, 0 = 120 - 9,8t и t≈13 сек. Тогда h = 745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.
Ответ: 720 м.
№ 3.
Решение: E(t)= [pic] , [pic] ,
[pic]
Если [pic] то Е(2) [pic] Ответ: 40 Дж
§4.
№ 1.
Решение:
Пусть x см - ширина, y см - высота сечения балки. По теореме Пифагора d²=x²+y².
[pic]
Прочность σ балки определяется соотношением σ= kxy², где k-коэффициент прочности, зависящий от материала. σ=kxy²=kx(d²-x²) = kd²-kx³
Исследуем функцию σ(х)=kd²x-kx³ на максимум и минимум.
1)σ`(х)=kd²-3kx²=k(d²-3x²)
2)σ`(x)=0;
k(d²-3x²)=0
k≠0 d²=3x²; [pic] [pic]
3) x= - [pic] не удовлетворяет условию задачи.
[pic] σ`(х) + - x
σ (x) [pic]
max
Знак производной меняется с «+» на «-», значит, при х= [pic] функция имеет максимум и балка имеет максимальную прочность.
x= [pic] [pic] >0
x= [pic] [pic] <0
y= [pic] = [pic] = [pic]
[pic]
Ответ: [pic]
§5.
№1.
Решение:
Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет [pic] м, Р(х)=2х+ [pic] ;
Р/(х)=2- [pic] ; Р/(х)=0;2х2=4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи, т.е. х [pic] (0; [pic] ). Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая [pic] =3м.
Ответ: глубина – 1,5 м, ширина – 3 м.
№2.
Решение:
Пусть стеклянная стена представляет собой прямоугольный, одно измерение, которого рано 4 м, а другое примем за x м. Тогда площадь стеклянной стены равна
4хм². Суммарная площадь остальных стен равна [pic] м², а их стоимость [pic] руб. Общая стоимость всех стен K=K₁+K₂. То получим функцию
[pic]
Минимум которой требуется найти.
[pic]
[pic] [pic] [pic] и [pic]
Следовательно, [pic] м. Поскольку [pic] при [pic] и [pic] при [pic] , то [pic] . Тогда наименьшее значение функции [pic] руб.min
При этом размеры зала 8x10x4.
Ответ: 4 м, 8 м, 10 м.
№ 3.
Решение:
Обозначим длину стороны квадрата x м,
а высоту бассейна y м. Тогда [pic] м3.
Площадь боковой поверхности бассейна с площадью дна равна [pic] Найдем [pic] м2, тогда [pic] .
Найдем производную этой функции:
[pic] [pic] [pic]
[pic] ; [pic] ; [pic] [pic]
Поскольку [pic] при [pic] , а [pic] при [pic] , то [pic] – точка минимума (наименьшего знания функции). Значит наименьше размеры бассейна, заданного объема V=32м³ такие [pic] ; y= [pic] м.
Ответ: 2м; 2м и 4м
№ 4.
Решение: необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции [pic] графиком является парабола, ветви направлены вниз;
b = 10; [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] ; [pic] .
Ответ : [pic]
§6.
№1.
Решение:
Заметим, что скорость ѵ погрузки, станков предполагается постоянной. За час погружается 100/ѵ станков. Поэтому прибыль Ρ предприятия такова:
[pic]
[pic] отсюда
- [pic]
По смыслу задачи видно, что [pic] – точка наибольшего значения для функции [pic] При этом [pic] руб.
Ответ: 20 [pic] ; 600руб.
№ 2.
Решение:
Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х2+98х+200.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
№3.
Решение:
Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.
№4.
Решение:
[pic] (раскроем скобки и представим дробь в виде разности трёх дробей). Исследуем функцию на наибольшее значение при х>0. Для этого найдём производную и прировняем её к нулю:
[pic]
[pic]
Так как х>0, то [pic] .
[pic] Исследуя знак производной, легко убедиться в том, что [pic] функция монотонно
возрастает, а при х >92- монотонно убывает =>
[pic] .
Следовательно на отрезке от 1 до 80 функция возрастает и её наибольшее значение достигается на правом конце х=80. и др
А на отрезках от 1 до 120 и от 1до 150 функция меняет характер монотонности, => наибольшее значение достигает в точке х = 92. Производная помогла определить, что хозяйству нет смысла набирать 120 и 150 человек для достижения наибольшей прибыли.
Ответ: 92 рабочих
№5.
Решение:
Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t2 - 4t, U''(t)=0,9t - 4, U'''(t)=0,9. Момент наименьшего оборота при U(t)=0, т.е. при t=8,9. Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4. Так как U'''(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.
Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.
Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:
В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота;
Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.
Ответ: На пятом месяце (точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.
§7.
№1.
Решение: 0<x<а. R(x)=x2(a-x)=ax2 –x3
D(x)=R
R’(x)=2ax-3x2
2ax-3x2=0; x=0; x= [pic] .
Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.
Ответ: при х= [pic] максимальную реакция организма на введенное лекарство максимальна.
§8.
№ 1.
Решение:
Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке.
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
r
φ
[pic] [pic]
h
Иными словами, E=k [pic] , где E- освещенность на краю стола, [pic] , h- расстояние от лампы до стола.
Вместо функции E=k [pic] рассмотрим функцию T= [pic]
При этом вместо h можно взять переменную z= [pic] и найти критические точки T как функции от z:
T= [pic] , [pic] = [pic] ;
T’=0, [pic] -2 [pic] , [pic] , т.е. [pic] и [pic] .
Итак, освещенность максимальна, если [pic] , т.е. если [pic] .
Ответ: [pic]
№2.
Решение:
Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы F:N=P-F sinα, поэтому сила трения F тр = kN = k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:
Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα). Далее находим силу как функцию угла α:
F(α)= kP/(ksinα+cosα).
F′(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα)2. Тогда F′(α)=0 при k=tgα. Определим знак второй производной в этой точке.
Из решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент трения мал, веревка должна быть длинной.
№3.
Решение:
Исследуем расход горючего с помощью производной:
F`(х)=0,007х-0,18х+10,2
F(х)=0,0034х-0,18
0,007х-0,18=0
Х=53
Определим знак 2-й производной в критической точке: F`(х)=0,0034х>0, следовательно, расход горючего при скорости 53км/ч будет наименьшим. F(53)=5,43(л.)
Ответ: 53км/ч
№4.
Решение:
Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет [pic] м, длина изгороди Р(х)=3х+ [pic] Р/(х)= 3- [pic] ; Р/(х)=0; 3х2=4800; х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи, т.е. х [pic] (0; [pic] ). Найдем знак производной на промежутке (0;40). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая [pic] =60м.
Ответ: 40 м и 60 м.
№5.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь
S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;
S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = [pic] =5;
По условию задачи х [pic] (0; 10)
Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м.
Ответ: 5 м, 5 м, 10 м.
Источники информации:
Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. – М.: Просвещение, 1987.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1993.
Приложение к газете «Первое сентября», « Производная в физике и технике», 2008.
Источники иллюстраций:
1. [link]
