Олимпиадные задания по математике 10 класс
Задача 1.
Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны:
а) A делится на 5,
б) A делится на 23,
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)
Задача 2.
Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)
Задача 3.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)
Задача 4.
При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)
Задача 5.
Решите в целых числах уравнение: . (7 баллов)
Олимпиадные задания по математике с решениями 10 класс
Задача 1.
Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны:
а) A делится на 5,
б) A делится на 23,
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)
Ответ: 35 и 74.
Решение. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б;
2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б, г; 6) в, г. Верны только 3) и 6).
1б, если выбраны числа, соответствующие, хотя бы трем признакам.
Задача 2.
Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)
Ответ: 5.
Решение. См. рисунок. , где .
Откуда получаем
.
Значит, .
Задача 3.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)
Ответ: 0.
Решение. Обозначим через - первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .
Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.
Задача 4.
При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)
Ответ: При .
Решение. Если уравнения имеют общий корень, то имеет решение система уравнений . Вычитая из первого уравнения системы второе, получим , или . Если , то x – любое действительное число. Но при уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, не подходит. Если , то . Подставляя найденное значение в любое из уравнений, найдем .
Комментарий. Приведен ответ - 1 балл. Если выписываются корни квадратичных уравнений и рассмотрены все возможные варианты равенства корней с верным полученным ответом – 7 баллов, рассмотрены не все возможные равенства корней, но получен верный ответ -3 балла, в остальных случаях – 1 балл.
Задача 5.
Решите в целых числах уравнение: .(7 баллов)
Ответ: (0; 1); (6; −1); (0; −1); (−6; 1).
Решение. Разложим на множители левую часть уравнения
. Так как число 5 – это 5⋅1, 1⋅5, −5⋅(−1), −1⋅(−5) , то мы получаем совокупность четырех систем:
или
Решая системы, получаем, x1 = 0, y1 = 1; x2 = 6, y2 = −1; x3 = 0, y3 = −1;
x4 = −6, y4 = 1.
