МКОУСОШ № 2 г.Беслан

Программа элективного курса

по математике

«Подготовка к новой форме итоговой аттестации»

для 9 классов в рамках предпрофильной подготовки.

Учитель математики Дзанаева Н.В.

2014 год

Содержание

1. Аннотация программы.

2. Пояснительная записка.

3. Учебно-тематический план.

4. Содержание программы.

5. Литература для учителя.

6. Литература для обучающихся.

7. Приложение.

Аннотация программы

Данная программа элективного курса своим содержанием может привлечь внимание учащихся 9 классов. В девятом классе, дети начинают чувствовать тревожность  перед  экзаменами, пытаются как-то готовиться к ним, но самостоятельно повторять и систематизировать весь материал, пройденный за последние года обучения, не каждому девятикласснику под силу. На занятиях этого курса  есть возможность устранить пробелы ученика по тем или иным темам. Ученик более осознанно подходит  к материалу, который изучался  в предыдущих классах, т.к. у него уже более большой опыт и богаче багаж знаний. Учитель помогает выявить  слабые места ученика, оказывает помощь при систематизации материала, готовит правильно оформлять экзаменационную работу.

Стоит отметить, что навыки решения математических задач совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться и успешно сдать экзамены по алгебре, добиться значимых результатов при участии в математических конкурсах и олимпиадах.

Не исключено, что данный курс поможет ученику найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей использования точных наук или, по крайней мере, приобрести внепрофессиональное увлечение, пусть и не на всю оставшуюся жизнь. Поэтому его можно использовать как в рамках предпрофильной подготовки учащихся, так и для профильных классов различного направления.

Пояснительная записка.

Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации. Структура экзаменационной работы и организация проведения экзамена отличаются от традиционной системы аттестации, поэтому и подготовка к экзамену должна быть другой. В школах подготовка к экзаменам осуществляется на уроках, а также во внеурочное время: на факультативных и индивидуальных занятиях.
Оптимальной формой подготовки к экзаменам являются элективные курсы, которые позволяют расширить и углубить изучаемый материал по школьному курсу.
Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке учащихся 8-9 классов к новой форме итоговой аттестации. В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

Данный элективный курс для предпрофильной подготовки адресован ученикам 8-9-х классов, тем, кто интересуется математикой и хочет узнать о ней больше, чем можно прочитать в учебнике или услышать на уроке. Возможно, он окажется полезным и тем, кто безразличен к математике. Ведь, чтобы узнать вкус яблока, надо его попробовать. На уроках учитель разжевывает «математическое яблоко».

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе. В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Подготовка к новой форме итоговой аттестации».

В курсе заложена возможность дифференцируемого обучения, предполагает разнообразные виды деятельности такие как: семинарская, практическая, самостоятельная, групповая. Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов проводится на каждом занятии благодаря наблюдению учителя за работой учеников, использованию практикумов, самостоятельных работ, консультаций. Домашние контрольные работы включают в себя задания различной сложности, каждое задание оценивается определенным количеством баллов. Проверка этих работ производится на занятиях, ученики самостоятельно оценивают свой уровень знаний по пройденному материалу. Наиболее сложные задачи, вызвавшие затруднения учащихся решаются совместно.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа.

В процессе изучения курса учащиеся самостоятельно знакомятся с деятельностью ученых математиков, внесших значительный вклад в становление и развитие математики. При завершении курса учащиеся должны будут подготовить творческую работу (реферат) по истории развития математики.

Задачи курса

• Выявление и развитие математических способностей обучающихся;

• Подготовка к новой форме итоговой аттестации.

• Предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;

  Цель курса

• Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к новой форме итоговой аттестации

• Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.

• Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

• Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач, линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к новой форме итоговой аттестации.

• Работа элективного курса строится на принципах научности, доступности, опережающей сложности, вариативности, самоконтроля, само и взаимооценки.

Воспитательное назначение  курса.

Обучение потребует от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств,  как  активность, творческая инициатива, умений коллективно-познавательного труда.

Требования к уровню подготовки учащихся: должны иметь элементарные умения решать задачи обязательного и повышенного уровня сложности;

точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач, правильно пользоваться математической символикой и терминологией, применять рациональные приемы тождественных преобразований.

Учебно-тематический план

Содержание программы.

Тема 1. Выражения и их преобразования (2ч)

Алгебраические и числовые выражения. Формулы. Свойства арифметических действий. Правила раскрытия скобок.

Тема 2. Уравнения. Системы уравнений (2ч)

Способы решения различных уравнений (линейных, квадратных и сводимых к ним, дробно рациональных и уравнений высших степеней).

Тема 3. Неравенства. Системы неравенств (2ч)

Способы решения различных неравенств (числовых, линейных, квадратных). Метод интервалов. Область определения выражения. Системы неравенств.

Тема 4. Функции. Графики (3ч)

Находить значения функций, заданных формулой, таб­лицей, графиком; строить графики линейной функции, прямой и обрат­ной пропорциональности, квадратичной функции; интерпретировать в несложных случаях графики реаль­ных зависимостей между величинами, отвечая на поставлен­ные вопросы.

Тема 5. Текстовые задачи (3ч)

Задачи на проценты. Задачи на «движение», на «концентрацию», на «смеси и сплавы», на «работу».

Тема 6. Решение разнообразных задач по всему курсу. Заключительное занятие (3ч)

Ожидаемые результаты:

На основе поставленных задач предполагается, что учащиеся достигнут следующих результатов:

• Овладеют общими универсальными приемами и подходами к решению заданий теста.

• Усвоят основные приемы мыслительного поиска.

• Выработают умения:

  • самоконтроль времени выполнения заданий;

  • оценка объективной и субъективной трудности заданий и, соответственно, разумный выбор этих заданий;

Структура курса

Курс рассчитан на 17 занятий. Включенный в программу материал предполагает повторение и углубление следующих разделов алгебры:

• Выражения и их преобразования.

• Уравнения и системы уравнений.

• Неравенства. Системы неравенств.

• Функции. Графики

• Арифметическая и геометрическая прогрессии.

• Текстовые задачи.

Формы организации учебных занятий

Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений.
Основной тип занятий  комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления.
Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала.
В ходе обучения периодически проводятся непродолжительные, контрольные работы и тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Контрольные замеры обеспечивают эффективную обратную связь, позволяющую обучающим и обучающимся корректировать свою деятельность.
Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.

Тема 1. Выражения и их преобразования

Занятие 1:

Цель: систематизировать и обобщить знания учащихся, повторить и закрепить знания и умения вычислительного характера. Актуализировать знания сокращенного умножения и умения выполнять преобразования алгебраических выражений.

Форма обучения: беседа, решение задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия:

I. Устная работа.

1.Вычислите. а) [pic] ; б) – 9р² + р⁰ при р= - [pic] ; в) [pic] .

2.Разложите на множители:

а) а⁴ – 1; б) 16 – 24у + 9у²; в) х² + 5х +6.

Сегодня мы с вами, ребята, путешествие в мир преобразований. Во время путешествия постараемся обобщить и систематизировать знания, полученные ранее при выполнении действий с выражениями; закрепим умение и навыки преобразования различных выражений. Давайте вспомним

1. Какие типы математических выражений вы знаете?

2. Какие действия над ними можно производить?

3. Как умножить многочлен на многочлен?

4. Какие свойства сложения и умножения при этом вы используете?

Как многочлен поделить на одночлен? Объяснить на примере [pic] .

Повторить: 1) формулы сокращенного умножения;

2) умножение одночлена на многочлен, многочлена на многочлен и др.

II. Решение тренировочных упражнений

1. Разложите на множители: у² – ху² + зу – у.

2. Сократите дробь: [pic] .

3. Найдите область определения выражения: [pic] .

4. Упростите выражение: (2х-1)² + (2х-1)(2х+1); (3х+5у)(5у-3х)+(-3х-5у)²;

III. Работа по карточкам

Карточка1.

1. Сократите дробь: [pic] .

2. Найдите значение выражения: 3х² – 2х – 1 при х = [pic] .

Карточка 2.

1. Разложите на множители многочлен: 2а² – х² –ах –а + х.

2. Сократите дробь: [pic] .

3. Найдите значение выражения: 1 - [pic] - [pic] при а = 0,9.

IV. Задание на дом:

Сократите дробь: [pic] .

Докажите тождество: [pic] =0

Занятие 2.

Цель: закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.

Методы обучения: устные и письменные упражнения.

Формы контроля: тестовая работа.

Ход занятия:

I. Решите устно:

а) какое из чисел не делится на 3?

1) 12852 2)1143 3) 20293 4)7239.

б).Известно, что а и в – нечетные числа. Какое из следующих также является нечетным?

1) а+в 2) 2ав 3) а(в+1) 4) а+в+1

в) найдите десятичную дробь, равную 1,27 ∙10^-4.

1) 0,0127 2) 0,00127 3) 0,000127 4)0,0000127.

II. Решение задач:

а) найдите наименьшее значение выражения и определите. При каких значениях х и у оно достигается: х²+у²+4х-6у;

б) разложите на множители: х⁴-6х²-27;

в) докажите, что если сумма чисел а и в равна 1, то а³ +в³ = 1+ 3ав

III. Тестовая работа. (приложение)

IV. Задание на дом: разложите на множители: а)с²а –а –с²+1; б) х⁴+х²-20.

Тема 2. Уравнения, системы уравнений.

Занятие 1:

Цели: повторить приемы решений линейных уравнений; вспомнить формулы корней квадратных уравнений; закрепить умение применения теоремы Виета; вспомнить преобразования квадратных корней; закрепить навыки решения систем уравнений различными методами; развить умение определять, какой метод решения для системы выбрать.
Методы обучения: беседа, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка решенных задач.

Ход занятия.

1. Беседа.

Уравнение вида ax ²  +  bx  +  c  = 0, где x − переменная, a ,  b  и  c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй .

Если a  = 0, то уравнение примет вид bx  +  c  = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a  ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени ).

Обозначим f  ( x ) =  ax ²  +  bx  +  c и зададимся целью решить уравнение
f  ( x ) =  ax ²  +  bx  +  c  = 0,  a  ≠ 0.

D  =  b ²  – 4 ac ,
[pic]

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

• Если D  < 0, то действительных корней нет.

• Если D  = 0, то корни совпадают и равны [pic]

• Если D > 0, то, извлекая корень, получим
  [pic]

Это и есть формула для решения квадратного уравнения.

В математике часто встречаются уравнения, содержащие рациональные выражения. Если в знаменателях дробей у этих выражений переменная отсутствует, то такие уравнения легко приводятся к целым уравнениям, если почленно умножить каждое слагаемое в левой и правой части уравнения на НОК всех знаменателей (такое уравнение у вас встретилось в последней самостоятельной работе). Иначе обстоит дело, если в знаменателе присутствует переменная.

Пример 1. Решите уравнение: [pic] . Можно ли обе части уравнения умножить на их общий знаменатель? Почему? В таких случаях можно действовать так:

[pic]  [pic]  x = –3. Ответ: –3.

Сформулируйте условие равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 2. Решите уравнение: 2 – [pic] = [pic] – [pic] . В таких случаях обычно переносят все слагаемые в одну часть и приводят дроби к общему знаменателю: [pic] и используют Н. и Д. условие равенства дроби нулю: [pic]  [pic]  x = –2. Ответ: –2.

II. Решение уравнений.

1. [pic] Ответ: 10,5

2. [pic] Ответ: 5

3. [pic] Ответ: 7

4. [pic] Ответ: 0.75

5. [pic] Ответ: Ø

6.   Найдите среднее пропорциональное корней уравнения [pic] . Ответ: 6

III. Домашнее задание.

1. [pic] Ответ: при k = 1,5 x = 1; при k  1,5 x = 1 или x = 2k

2. [pic] Ответ: при a = 0 xR | x  0 и x  –1; при а = 99 решений нет; при a  0 и a  99 x = –99

Занятие 2:

Тема: Решение задач

Ход занятия.

1. Решение уравнений.

1. Вычислите [pic] , если [pic] и [pic] корни уравнения [pic] . Ответ: [pic]

2. Найдите сумму всех корней уравнения [pic] . Ответ: 0

3. Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения [pic] . Ответ: 6

3. [pic] Ответ: при а = 0,5 решений нет; при а  0,5 x = a

4. [pic] Ответ: при а = 0,5 решений нет; при а  0,5 x = 0,5

5. [pic] Ответ: при а = 1 x = 4; при а = 4 x = 1; при а  1 и а  4 x = 1 или x = 4

6. [pic] Ответ: при а = 1 или а = 4 решений нет; при а  1 и а  4 x = a.

7. [pic] Ответ: (6;7); (7;6)

8. [pic] Ответ: (9;3)

9. [pic] Ответ: (4;0)

10. [pic] Ответ: (5;3)

II. Домашнее задание.

1. [pic] Ответ: Решаем либо разложением числителя на множители, либо квадратное уравнение относительно а. При а > 0 и а  2,5 x= [pic] ; при а  0 или а = 2,5 решений нет

2. [pic] Ответ: (1;4)

Тема 3: Неравенства. Системы неравенств.

Занятие 1.

Цели: отработать навыки решения неравенств методом интервалов;  разобрать решение неравенств с параметром; закрепление навыков решения систем  различных неравенств: линейных, квадратных, рациональных, модульных.

Методы обучения: беседа, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка решенных задач.

Ход занятия.

1. Беседа.

Учитель объясняет новую тему, записывая основные ее части блоками по схеме:
Блок 1

[pic]

Блок 2

[pic]

Блок 3

Равносильные преобразования

Правило1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный ( [pic]  на [pic] , [pic]  на [pic] ).

2. Решение неравенств.

1. Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства [pic] Ответ: -6

2. Решите неравенство [pic] Ответ: [pic]

3. Найдите произведение натуральных решений неравенства  [pic] Ответ: 2

4. Найдите сумму целых решений неравенства [pic] Ответ: 9

5. Решите неравенство [pic] Ответ: [pic]

6. Решите неравенство [pic] Ответ: [pic]

7. Найдите произведение целых решений неравенства [pic]

Ответ: 24

III. Домашнее задание.

1. Решите неравенство    [pic] . Ответ: [pic]
2. Найдите разность между целыми наибольшим и наименьшим решениями неравенства              [pic] . Ответ: 4

Занятие 2. Решение задач.

Методы обучения: беседа, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка решенных задач.

Ход занятия.

I. Решение задач.

1. Решите неравенство [pic] Ответ: [pic]

2. Решите неравенство [pic] Ответ: [pic]

3. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств [pic] Ответ:    21

4. Решите двойное неравенство            [pic] . Ответ: [pic]
5.    Найдите сумму всех целых решений системы неравенств [pic]   . Ответ: 4

6. Сколько простых чисел являются решениями неравенства

[pic] ? Ответ:  1      
II. Проверочная работа (приложение).

III. Домашнее задание.

1.  Решите неравенство              [pic] . Ответ: [pic]
2.   Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства [pic] Ответ: -42

3.   Найдите наименьшее целое решение неравенства     [pic] . Ответ: 3

Тема 4. Функции. Графики.

Занятие 1.

Цель: повторить знания о функциях. Проверить базовые знания

Методы обучения: мини-лекция, решение упражнений.

Форма контроля: тест.

Ход занятия:

I. Лекция.

Определение: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись y = f(x).

Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Они обозначаются D(f)и E(f) соответственно.

Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы.

1. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) [pic] ; б) [pic] ; в)у=6; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] .

О т в е т: а) все числа, кроме 1; б) [pic] ; в) все числа; г) все числа, кроме 0 и 1; д) [pic] ; е) [pic] ; ж) все отрицательные числа и 0.

Далее повторяются функции, уже известные из школьной программы.

1. [pic] – линейная функция, графиком которой является прямая.

2. [pic] – функция обратно пропорциональной зависимости, графиком которой является гипербола.

3. [pic] – квадратичная функция, графиком которой является парабола.

4. [pic] – степенная функция, графиком которой является кубическая парабола.

Для закрепления можно задать вопросы:

1. Формула y = –5x + 6 задает некоторую функцию. Найдите значение функции, соответствующее значениям аргумента: –1,2; 2,8. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100?

О т в е т: 12; –8; 0; –0,4; –18,8.

2. Заполните таблицу:

О т в е т: 4; –1; 5; –16.

3. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, если это возможно, [pic] ; 16; 1,21; –25; [pic] .

О т в е т: 4; 1,1; не существует; [pic] .

II. Тестовая работа (приложение)

Занятие 2.

Цель: продолжить формирование навыка применения знаний в новых ситуациях; убедить в значимости темы в курсе математики и при сдаче ГИА;

Методы обучения: беседа, решение различных упражнений.

Форма контроля: самостоятельная работа.

Ход занятия.

1. Повторить свойства функций (возрастание, убывание, нули функции).

2. Выясните свойства функции: у=25х-18

1.Д(у)=Е(у)=(-∞;+∞);

2.у=0; 25х-18=0

25х=18; х=18/25-нуль функции;

3.у›0 при х›18/25; у‹о при х‹18/25;

4. так как k=25›0,тофункция возрастающая.

2.Решение упражнений:

1. Постройте график функции у=-2х²+8х-2. Укажите промежутки возрастания и убывания этой функции.

2. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у=6х и проходящей через точку А(3;8).В какой точке эта прямая пересекает ось у.

3. При каких отрицательных значениях k прямая у = kx - 4 и парабола у=х²+3х не пересекаются?

4. Напишите формулу функции по ее графику

[pic]

а) у = х² – 1 б) у = х² + 2

в) у = -(х² + 1) + 2 г) у = -(х² – 1) + 2

2. Самостоятельная работа

1вариант. 2вариант.

1.График функции у= k/x проходит, через точку В. Найдите число k.

В(k²;-0,5) В(-k²;0,25)

2.Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой.

у = 9х-3 у=-7х-2

3.Постройте график функции. Найдите: а)ось симметрии параболы; б)промежутки знакопостоянства функции; в)промежутки монотонности функции; г)область значений функции.

у = (2х-1)(х+3) у = (3-х)(2х+1)

Задание на дом: 1.Постройте график функции у = х²-4х- 3

2.Парабола с вершиной в точке А(0;-1) проходит через точку В(-2;7). В каких точках эта парабола пересекает ось х.

Занятие 3.

Цель: закрепить и систематизировать полученные знания учащихся.

Форма обучения: решение упражнений.

Форма контроля: проверочная работа в форме теста.

Ход занятия.

1. Решение упражнений:

Найдите значения функции в точке х0:

1) [pic] ; [pic] ; 4) [pic] ; [pic] ;

2) [pic] ; [pic] ; 5) [pic] ; [pic] ;

3) [pic] ; [pic] ; 6) [pic] ; [pic] .

О т в е т: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5; 6) 6.

2.Из функций: у = Зх⁴; у = 2х⁵; у = (х — 2)²; у = х³ - 2 выберите

чётную.

1) у = Зх⁴; 2) у = 2х⁵; 3)у = (х — 2)²; 4)у = х³ - 2

6. Найдите, при каком k график функции у = k/х проходит через точку

А(-6√2;√2)

1. По графику функции у=f(x), изображенному на рисунке 1, определите промежуток, на котором функции убывает.

А. (-∞; -5]; Б. (-6;4); В. [-6;4]; Г. [4;+ ∞)

2. По графику функции у=f(х), изображенному на рисунке 1, определите верное утверждение:

А. область значения функции промежуток (-∞;+∞)

Б. область определения (-∞;6)

В. унаиб= 7

Г. функция ограничена снизу

[pic]

Рис. 1

3. Найдите область определения функции [pic]

А. [6;+∞); Б. (6;+∞); В. (-∞;6); Г. (-∞;6]

4. Укажите наибольшее значение функции [pic] на отрезке [-1;2]

А. -12; Б. 8; В. - 6; Г. – 2 .

5. График какой из функций изображен на рисунке 2?

[pic] [pic] [pic]

Рис. 2

[pic] [pic] [pic] 1 [pic]

2 х

6. Укажите чётную функцию:

[pic]

7. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:

[pic]

8. При каких значениях х функция у=2х-4 принимает положительные значения?

А. [-2;+∞); Б. (2;+∞); В. (-∞;0,5); Г. (-∞;2]

9. Найдите нули функции [pic]

1. По графику функции у=f(x), изображенному на

рисунке 1, определите промежуток, на котором

функции убывает.

А. (-∞; -4]; Б. (-5;4); В. [-5;4]; Г. [-4;+ ∞)

2. По графику функции у=f(х), изображенному на рисунке 1, определите верное утверждение:

А. область значения функции промежуток (-∞;+∞)

Б. область определения (-∞;6)

В. унаиб= 5

Г. функция ограничена снизу

2 вариант

[pic] [pic]

Рис. 1

3. Найдите область определения функции [pic]

А. [-4;+∞); Б. (4;+∞); В. (-∞;-4); Г. (-∞;-4]

4 Каждой функции сопоставьте линию, которая является её графиком

[pic] ?

A. Прямая, проходящая через начало координат.

Б. Парабола.

В. Прямая, не проходящая через начало координат.

Г. Гипербола.

5. Укажите наибольшее значение функции у= 3х-2 на отрезке [-2;2]

А. -8; Б. 8; В. 4; Г. 2 .

6. Укажите чётную функцию:

[pic]

7. Укажите функцию, убывающую на всей области определения:

[pic]

8. При каких значениях х функция у=-2х+6 принимает положительные значения?

А. (-3;+∞); Б. (3;+∞); В. (-∞;3); Г. (-∞;3]

9. Найдите нули функции [pic]

А. 0 и -8; Б. 0 и - 3 В.0; Г. 0 и 8

ОТВЕТЫ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1вар

В

А

А

В

В

В

Г

Б

Г

2 вар

Г

В

А

1-Б

2-А

3-Г

4-В

В

Г

В

В

А

Тема 5. Текстовые задачи.

Занятие 1. Решение задач на проценты.

Цели: устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по ее проценту, нахождение процента одной величины от другой.

Метод обучения: лекция, объяснение, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия.

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5 % избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75 %, промышленное производство сократилось на 11,3 %, уровень инфляции составляет 8 % в год, банк начисляет 12 % годовых, молоко содержит 3,2 % жира, материал содержит 60 % хлопка и 40 % полиэстера и т. д. Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты – это сто сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60 %» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3 %, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30 %, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятии соответствующих мер.

Решение задач. Задача 1.

Зарплату рабочему повысили сначала на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?

Решение.

Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.

Пусть зарплата рабочего была х, тогда

в = х(1 + 0,1)(1 + 0,2) = 1,32х

1,32х – х = 0,32х Ответ: на 32 %.

Задача 2. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение.

Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р., т. е. 360·0,85 = 306(р.). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90 % от 306 р., т. е. 306·0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275 р. 40 к

Задача 3.

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение.

Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на день, то им придется заплатить

250 + 10 = 260 (р.),

на неделю 250 + 10·7 = 320 (р.). Ответ: 320

Задачи для самостоятельного решения

1. Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата? Ответ: на 44 %.

2. Завод выпускает 300 изделий в месяц. В связи с модернизацией производства завод стал выпускать на 20 % изделий больше. На сколько изделий в месяц увеличится выпуск продукции? Ответ: 60 изделий.

3. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70 % от произведения. Найдите эти числа. Ответ: 2 и 5.

Задание на дом. В бидон налили 3 литра молока однопроцентной жирности и 7 литров молока шестипроцентной жирности. Какова жирность полученного молока (в процентах)?

Занятие 2.

Решение задач на движение и работу.

Цель: повторить использование рациональных уравнений для решения текстовых задач.

Метод обучения: беседа, объяснение, решение задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач

Ход занятия.

Вы умеете решать дробные рациональные уравнения. Какие задачи приводят к их появлению? Такие , в которых одна величина выражается через другую при помощи дроби. Решение многих текстовых задач(особенно на движение и совместную работу) приводит к дробным рациональным уравнениям.

Цена= [pic] ; количество= [pic] ;

Производительность = [pic] ; время = [pic]

Решение задач.

1.Катер,развивающий в стоящей воде скорость 20 км/ч, прошел 36км против течения и 22км по течению, затратив на весь путь 3ч.Найдите скорость течения реки.

S

V

t

Против течения

36км

(20-х) км/ч

[pic] ч

}3ч

По течению

22км

(20+х) км/ч

[pic] ч

[pic] + [pic] =3 Ответ: 2 км/ч.

2.Один штукатур может выполнить задание на 5 ч быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

работа

время

производительность

1 штукатур

1

х ч

[pic] работы/ч

}6 ч

2 штукатур

1

(х-5) ч

[pic] работы/ч

[pic] + [pic] = 6 Ответ: 15ч,10ч.

Задачи для решения в классе:

1.Моторная лодка прошла по течению реки расстояние, равное 6 км, а затем по озеру расстояние, равное 10 км, затратив на весь путь 1 час. Найдите, с какой скоростью течения реки равна 3 км/ч. (Ответ:15 км/ч)

2. Велосипедист отправился из деревни на станцию, находящуюся на расстоянии 32 км, и вернулся обратно со скоростью на 1 км/ч большей, затратив на обратный путь на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист до станции? (Ответ: 15 км/ч)

3. Одна бригада затрачивает на выполнение некоторого задания на 6 часов больше, чем другая. За сколько часов может выполнить это задание каждая бригада, если известно, что при совместной работе им потребуется для этого 4 часа? (Ответ: 6ч,12ч)

Задание на дом.

1.Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить каждый кран, работая отдельно?

2. Катер прошел 46 км по течению и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.

Занятие 3.

Цели: рассмотреть решение задач на смеси и сплавы, обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.

Методы обучения: рассказ, объяснение.

Формы контроля: тестовая работа

Ход занятия

I. Рассказ учителя.

Задачи на смеси, растворы и сплавы называют еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т. д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: а = т/M. Отсюда получаем т = аМ, М = т/а. Понятие доли чистого вещества можно вводить следующей условной записью:

Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. Заметим, что складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя.

Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называют его долю, выраженную процентным отношением: с = а·100 %, а = с/100 %.

Считаем полезным предложить школьникам формулу, по которой рассчитывают концентрацию смесей (сплавов):

[pic] ,

где п – концентрация,

mв – масса вещества в растворе (сплаве),

mр – масса всего раствора (сплава).

II. Решение задач. Задача 1.

Сплав весит 2,29 кг и состоит из серебра и меди, причем масса серебра составляет 14,5% массы меди. Сколько серебра в сплаве?

Решение: Пусть в сплаве содержится х кг меди. Тогда в нем содержится 14,5· х /100 кг серебра. В результате получаем уравнение

х + 14,5· х /100 =2,29 ;

х· (100+14,5)/ 100=2,29;

114,5х = 229;

х = 2.

Итак, в сплаве содержится 2 кг меди и

2,29 - 2= 0,29 (кг) серебра. Ответ: 0,29кг.

Задача 2. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5т раствора, содержащего 85% воды, чтобы получить раствор, содержащий 75% воды?

Решение.Пусть масса выпаренной воды равна х кг.

0,15∙500=75 (кг) вещества содержится в растворе.

75: (500-х)=0,25;

х=200 (кг) - масса выпаренной воды. Ответ:200кг.

Задача 3. Один раствор содержит 20% (по объему) соля­ной кислоты, а второй — 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, что­бы получить 100л 50%-го раствора соляной кислоты?

Решение:

Составим систему

[pic] х+у=100,
0,2х + 0,7у = 0,5∙ (х +у) Ответ: 40 л и 60 л

III.Тестовая работа (приложение)

IV. Задание на дом:

1. Сплавлено 40г золота одной пробы и 60г золота другой пробы и получено золота 62-й пробы. Какой пробы было золота первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61-й пробы?

2. К 10л 45%-го водного раствора кислоты добавили некоторое количество чистой воды, в результате чего концентрация кислоты в растворе снизилась до 37,5%. Какое количество воды было добавлено?

Тема 6. Решение задач по всему курсу

Занятие 1.

Цель: углубить и систематизировать знания учащихся.

Метод обучения: беседа.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач на выбор учителя. Задачи решаются по всему курсу.

Задания для самостоятельной (домашней) контрольной работы по итогам курса (приложение)

Занятие 2.Тестовая работа (1час).

Цель: выявление знаний обучающихся и степень усвоения ими материала курса.

Тестовая работа: один из вариантов ДЕМО версии ОГЭ-9 на усмотрение учителя

Занятие 3.Последнее занятие можно провести как защиту рефератов обучающихся.

Темы рефератов:

1. Квадратные уравнения в древнем Вавилоне.

2. Квадратные уравнения в Индии.

3. Квадратные уравнения у аль Хорезми.

4. Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII веках.

5. О теореме Виета.

6. Омар Хайям математик и поэт.

7. Квадратичная функция и наша повседневная жизнь (конкурс рисунков творческих работ)

Л [pic] итература для учителя.

1. Никольский, С. Н., Потапов, М. К., Решетников, Н. Н. Алгебра в 7 классе: методические материалы. – М.: Просвещение, 2002.

2. .Водинчар, М. И., Лайкова, Г. А., Рябова, Ю. К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений // Математика в школе. – 2001. – № 3. Глейзер, Г. И. История математики в школе (4–6 кл.): пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

3. Денищева, Л. О., Миндюк, М. Б., Седова, Б. А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10–11 класс. – М.: Издательский дом «Генжер», 2001.

4. Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10–11 классы: учеб.-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с.

5. Лурье, М. В., Александров, Б. И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990.

6. Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.

7. Вавилов, В. В., Мельников, И. И., Олехник, С. Н., Пасичен-ко, П. И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: спра-вочное пособие. – М.: Наука, 1987.

8. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Планиро-вание учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие. – М., 1988. – 78 с.

9. Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экза-мен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.

10. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1984.

11. Дорофеев, Г. В., Потапов, М. К., Розов, Н. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (Избранные вопросы элементарной математики). – М.: Наука, 1973.

Литература для обучающихся.

1. Аверьянов, Д. И., Алтынов, П. И., Баврин, Н. Н. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 1999. – 864 с.

2. Виленкин, Н. Я., Виленкин, Л. Н., Сурвилло, Г. С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995. – 256 с.

3. Виленкин, Н. Я., Сурвилло, Г. С., Симонов, А. С., Кудряв-цев, А. И. Алгебра. 9 класс: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996. – 384 с.

4. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-е изд. – М.: Просвещение 1995. – 217 с.

5. Горнштейн, П. И., Мерзляк, А. Г., Полонский, В. Б., Якир, М. С. Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.

6. Математика: алгебра – 8. – М.: Открытый мир, 1998. – 128 с.

7. Черкасов, О. Ю., Якушев, А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 3-е изд., испр. и дополн. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. – 416 с.

8. Шабунин, М. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. – 640 с.

9. Шарыгин, Н. Ф. Учебное пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.

Приложение

Тестовая работа по теме: «Выражения и их преобразования»

1 вариант.

1. Упростите выражение 6х+3(х-1)².

1)3х²+3 2)3х²+1

3)9х²-6х+9 4) 3х²+6х-3

3)4а²+4 4)а²+4

2. В выражении 4а²-6аb вынесите за скобки множитель -2а.

1)-2а(2а-3аb) 2)-2a(2a-6b)

2)-2а(3b-2a) 4) -2а(6b-2a)

3. Для каждого выражения из верхней строки укажите тождественно равное ему выражение из нижней строки.

А) а^-8.а² Б)а^-8/а² В) (а^-8)²

1) а^-16 2) а^-10 3)а^-6 4)а^-4

Ответ:

Б

В

4. Число 6,1 разбили на три слагаемых, причем второе слагаемое на 20% больше первого, а третье слагаемое на 1 больше второго. Найдите первое слагаемое.

1) 1,5; 2) 2,5; 3) 0,5; 4) 1,25.

2 вариант.

1. Упростите выражение 4(1-а)+8а.

1)16а²-24а+16 2)4+8х-4а²

3)4а²+4 4)а²+4

2. В выражении 9ab-6b² вынесите за скобки множитель -3b.

1)-3b(2b-3а) 2)-3b(3a-6b)

2)-3b(3a-2b) 4) -3b(6b-3a)

3. Для каждого выражения из верхней строки укажите тождественно равное ему выражение из нижней строки.

А)b^-6 Б)(b^-6)² В)b^-6*b^-2

1) b¹² 2)b³ 3)b^-4 4)b^-8

Ответ:

Б

В

4. Число 3 разбили на три слагаемых, причем второе слагаемое на 25% меньше первого, а третье слагаемое на 1 меньше второго. Найдите первое слагаемое.

1) 1,2; 2) 1,5; 3) 1,6; 4) 1,8.

Ответы теста.

1

2

3

4

1 вариант

1

3

321

1

2 вариант

3

1

314

3

Проверочная работа по теме: «Неравенства. Системы неравенств».

1 вариант.

1. [pic]                 
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]

2 вариант.

1. [pic]                 
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]

Тестовая работа по теме «Функции и графики».

Вариант I

1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Область определения функции [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ?

3. Найдите значение функции [pic] при [pic] :

а) 0; б) – 2; в) – 0,8.

4. На рис. 82 (а, б, в) найдите точку [pic] , симметричную точке [pic] относительно оси ординат.

[pic]

5. На рис. 83 (а, б, в) найдите точку А', симметричную точке [pic] относительно начала координат.

[pic]

6. Функция [pic] при [pic] :

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

7. График функции [pic] называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

8. Какой из графиков параллелен прямой [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] в) [pic] .

9. Графику какой функции принадлежит точка [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ?

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций [pic] и [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

Ключ к тесту:

Вариант II

1. Какая из функций, приведенных ниже, линейная:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ?

2. Область определения функции [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Найдите значение функции [pic] при [pic] :

а) 3; б) 12; в) [pic] .

4. На рис. 84 (а, б, в) найдите точку М', симметричную точке [pic] относительно начала координат.

[pic]

5. На рис. 85 (а, б, в) найдите точку А', симметричную А (2, 1) относительно оси ординат.

[pic]

6. Функция [pic] при [pic] :

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

7. График функции [pic] называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

8. Какой из графиков параллелен прямой [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

9. Какому из графиков принадлежит точка [pic] ?

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций [pic] и [pic] :

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

Ключ к тесту:

Тестовая работа по теме: «Текстовые задачи».

1 вариант

1. Из корзины взяли 9 яблок, затем треть остатка и еще 10% всех яблок.

После этого в корзине осталась половина первоначального числа яблок.

Сколько яблок было в корзине? Ответ:

2. Средний рост девочек того же возраста, что и Тома, равен 150 см. Рост Томы на 8% больше среднего роста. Какой рост у Томы?

1) 138 2) 139 3) 162 4) 163

3. Автобус ехал по городу со скоростью 50 км/ч некоторое время. Затем

он ехал в 2 раза быстрее по междугородней трассе в соседний город, на

что времени у него ушло в 3 раза больше того, что он ехал по городу. На весь путь он потратил час. Сколько километров проехал автобус за этот

час? Ответ:

4. В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а

количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска

сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и

цинка в первоначальном куске сплава. Ответ:

5. В двух группах 50 учащихся. Когда число учащихся первой группы

уменьшили на 20%, а второй группы увеличили на 40%, то в первой

группе стало на 4 ученика меньше, чем во второй. Сколько учащихся было в каждой группе первоначально? Ответ:

2 вариант.

1. Одна из сторон прямоугольника на 4 больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 96. Ответ:

2. Весной на рынке стоимость огурцов каждую неделю снижается на

10% от предыдущей стоимости. С начала недели цена килограмма

огурцов была равна 50 руб. Сколько будет стоить килограмм огурцов через 17 дней?

1) 5 2) 9,5 3) 40,5 4) 45

3. В первый день мастер сделал 25 деталей. В каждый следующий день

он делал на 3 детали больше, чем в предыдущий. Укажите количество

деталей, сделанных мастером в k-ый день. Ответ:

4. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с её первоначальным содержанием в сплаве на 30 %. Какой могла быть первоначальная масса сплава (в кг)? Ответ:

5. Из гавани вышли три катера с интервалом 1 ч. Скорость первого равна 30 км/ч, второго — 40 км/ч. Известно, что после того, как третий догонит второго за некоторое время, потребуется еще столько же времени, чтобы второй догнал первый катер. Найдите скорость третьего катера (в км/ч). Ответ:

Ответы

1

2

3

4

5

1вариант

90

3

87,5

75; 25

30;20

2 вариант

8;12

3

22+3k

35

80

Задания для самостоятельной (домашней) контрольной работы по тогам курса.Вариант 1.

1. Решите уравнение: 5х² – 7х + 2 = 0.

2. Упростите выражение: 3(у – 1)² +6у.

3. Решите неравенство: 5х – (2х – 8) > 9х +23.

4. Решите систему уравнений: [pic]

5. Постройте график функции у = - 2х + 6. Проходит ли график функции через точку А (-35;76).

6. Сравните: 24 и [pic] .

7. Решите задачу. Определите стоимость товара до уценки, если после снижения цены на 30% он стал стоить 56 рублей.

8. Найдите область определения выражения: [pic] .

9. Упростите выражение: [pic] : [pic] .

10. Найдите сумму всех двузначных чисел.

Вариант 2.

1. Решите уравнение: 2х² – 7х + 3 = 0.

1. Упростите выражение: 4(1 – с)² +8с.

2. Решите неравенство: 6х – (3х – 3) < 5х +2.

3. Решите систему уравнений: [pic]

4. Постройте график функции у = 2х + 5. Проходит ли график функции через точку В (23; 51).

5. Сравните: 26 и [pic] .

6. Решите задачу. После повышения цены на 20% товар стал стоить 96 рублей. Определите стоимость товара до повышения цены.

7. Найдите область определения выражения: [pic] .

8. Упростите выражение: [pic] : [pic] .

10. Найдите сумму всех трехзначных чисел.