Урок геометрии в 8-м классе
Тема: "Касательная к окружности"
Цели:
Ввести понятия касательной, точки касания, отрезков касательных, проведенных из одной точки.
Рассмотреть свойство касательной и ее признак и показать применение при решении задач.
Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки и развивать его применение в процессе решения задач.
Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение, расширяя кругозор учащихся, в природе и технике.
Задачи урока:
Образовательные:
Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности,
Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.
Воспитательные:
Развивать мышление и речь учащихся, кругозор.
Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
Привитие интереса к математике.
Практические: сформировать умение строить касательную к окружности, рассмотреть примеры в природе и технике.
Оборудование:
Циркуль, треугольник, линейка
Мультимедийный проектор, слайды,
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания
Повторить элементы окружности
От чего зависит взаимное расположение прямой и окружности? (рассказ по слайдам)
Три случая расположения прямой и окружности
Решение задачи №633 (слайд)
[pic]
Рисунок 1
III. Актуализация знаний.
Тест с целью проверки теории
Среди следующих утверждений укажите истинные:
Окружность и прямая имеют две общие точки, если:
а) расстояние от центра окружности до прямой не превосходит радиуса окружности;
б) расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности;
в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса окружности.
Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание.
Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...
Установите истинность или ложность следующих утверждений:
а) Прямая, а является секущей по отношению к окружности,
если она имеет с окружностью общие точки.
б) Прямая, а является секущей по отношению к окружности,
если она пересекает окружность в двух точках.
в) Прямая, а является секущей по отношению к окружности,
если расстояние от центра окружности до данной прямой
не больше радиуса.
IV. Объяснение нового материала.
Цели урока:
Сегодня мы более подробно рассмотрим касательную к окружности.
Что мы знаем о касательной к окружности? (определение, расстояние от точки до прямой)
Можете ли вы на чертеже отличить касательную от других прямых?
В тетради начертить окружность произвольного радиуса с центром в точке О, провести касательную в точке А.
Сколько касательных можно провести через точку А
Один ученик выполняет задание у доски.
На этом уроке мы рассмотрим свойства окружности и прямой c.
2. Какими же свойствами обладает эта прямая? Чтобы ответить на этот вопрос - проведите отрезок соединяющий центр окружности и точку касания, измерьте получившийся угол. (90 [pic] )
- Что можно сказать о касательной и радиусе? - Они перпендикулярны.
3. Прочтите теорему.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство разбирается в ходе беседы.
Учащиеся делают новый чертёж.
[pic]
Допустим, что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА(На рисунке сделать построение другим цветом). Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.
[pic]
Назовите перпендикуляр к прямой р ОВ
Наклонную ОА
-Расстояние от точки О до прямой р , это ОВ, меньше радиуса окружности ОА, который в данном случае будет являться наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р – перпендикуляр, а, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой, т. е. ОВ<ОА.
- Сколько тогда общих точек у прямой р и окружности? (2)
- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Почему?
Т. к. прямая р имеет две общие точки с окружностью, то она не может бать касательной по определению.
- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу окружности? О чём это говорит?
Предположение не верно, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу ОА.
3. Теперь запишем это доказательство в тетради.
Слайд с доказательством.
A к окружности, А-точка касания.
Доказать: р [pic] ОА.
Доказательство:
Предположим, что р [pic] ОА, тогда ОА наклонная к прямой р, а ОВ [pic] р, т. к. ОВ<ОА, то расстояние от центра окружности О до прямой р меньше радиуса, следовательно прямая р и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию: прямая р – касательная, т. о. р [pic] ОА.
V. Закрепление.
1. Построение касательной.
Вернемся к нашему рисунку.
Проверьте, правильно ли вы построили касательную?
Что для этого нужно сделать?
Построение: Ученик, подготовленный заранее, объясняет построение касательной к окружности в заданной точке. Учащиеся выполняют построение в тетради.
Дано: окружность, О - центр, А - лежит на окружности.
Построить касательную к окружности в точке А.
ОА – прямая.
От точки А отложим О [pic] А=ОА.
Из точек О [pic] и О проведём окружности, радиусом большим ОА.
Через точки пересечения окружностей проведём прямую а.
Прямая, а будет касательной по определению.
Еще один способ практический способ построения касательной с помощью зеркала. Как вы думаете, как с помощью зеркала проверить правильно ли вы построили касательную
Решите задачи по готовым чертежам
[pic]
VI. Применение касательной для науки и техники
1.Построение эвольвенты.
[pic] Эвольвентой круга называется траектория точки, лежащей на прямой, которая перекатывается без скольжения по окружности радиуса rв, называемой основной.
У Лукоморья дуб зелёный
Златая цепь на дубе том.
И днём и ночью кот учёный
Всё ходит по цепи кругом.
Нам эти строки знакомы с детства, мы никогда не задумывались над тем, какую линию вычерчивает кот.
Как вы думаете, что это за линия? (Чаще всего ученики отвечают – окружность)
Два ученика, выходят к столу, на котором расположен ватман, макет дуба и небольшой котёнок (мягкая игрушка), к которому прикреплен маркер, привязанный к “дубу”.
Один ученик придерживает “дуб”, а второй передвигает игрушку “по цепи кругом”. На ватмане вычерчивается кривая.
Учитель показывает слайды построения эвольвенты.
Таким образом для построения этой кривой надо хорошо уметь строить касательную в заданной точке.
С этой же кривой связана и биология .
3. Ученик рассказывает о берёзовом долгоносике, демонстрируя разрез листа , и сворачивает его.
[pic]
Слайд с циклоидой
Слайд о космической скорости
5 Искры на точильном камне, брызги от буксующего колеса летят по касательной
VII. Закрепление изученного материала (обучающая самостоятельная работа)
[pic]
[pic]
VIII. Подведение итогов.
Что нового мы узнали сегодня на уроке?
Выставление оценок
IX. Домашнее задание.
П. 69, страница 159 вопросы 1-4,
страница 178,
решить задачи №634,636
