Конспект уроку по темі : Послідовності. 9 клас

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...

Алгебра 9 клас

Тема: Числові послідовності.

Мета: Засвоїти поняття числової послідовності, способи задання послідовностей; основні властивості числових послідовностей; набуття умінь і навиків записування послідовностей в розгорнутому вигляді, підбирати формулу n-го члена, визначати вид даної послідовності і перелічувати її властивості; розвиток пам'яті, уваги, логічного мислення; виховання культури математичної мови і письма.

Тип уроку: урок - лекція.


План.

  1. Актуалізація опорних знань.

    1. числові множини: множина натуральних чисел; множина цілих чисел; множина раціональних чисел і множина дійсних чисел.

    2. парні, непарні числа. Формула парного і непарного числа.

    3. прості числа, взаємно-прості числа, числа близнята.

    4. кратні і дільники числа, НСК. Задати формулою числа кратні числу
      7; 11; і т.д.

  2. Засвоєння нового матеріалу.

    1. Розглянемо квадрати, довжини сторін яких виражаємо числами
      1; 2; 3; 4; 5; ... тоді довжини їх периметрів будуть: 4; 8; 12; 16; 20; ... , а площі цих квадратів виражатимуться числами: 1; 4; 9; 16; 25; .... Це є не що інше, як числові послідовності.       Числа, що входять у числову послідовність, називаються членами числової послідовності. Утворимо послідовність правильних дробів з чисельником 1: ;... ... n ≥ 2.

У наведених прикладах кожному натуральному числу n можна поставити єдиний член послідовності аn . Усі числа аn , одержані при необмеженому продовженні, утворюють числову послідовність, яка є не що інше, як функція. Тому числові послідовності – це особливий клас функцій. Областю визначення таких функцій є множина {1; 2; 3; 4; … n; …} натуральних чисел для нескінченних послідовностей і множина {1; 2; 3; … n} – для скінченних; 10; 11; 12; …; 99; - послідовність двоцифрових натуральних чисел є скінченна послідовність.
Означення: Числова послідовність – це числова функція, визначена на множині всі натуральних чисел, або на підмножині перших її n елементів. Областю визначення цієї функції є множина натуральних чисел N, або її підмножина. Областю значень є деяка множина дійсних чисел. Послідовності позначаються (an), (bn), (xn) і т.д., де nN, або у розгорнутому вигляді:
 а1; а2; а3; …; аn; …

    1. Способи задання послідовностей.

      1. Аналітичний спосіб задання послідовності – це задання послідовності формулою її n-го члена. Наприклад:

        1. аn = n2 – n, або в розгорнутому вигляді: 0; 2; 6; 12; 20; … n2 – n; …

        2. аn = { ;
          тоді маємо наступну послідовність: 1; 2;4; …;2          k;…
          Аналітичний спосіб задання послідовностей дає можливість лаконічно і чітко вказати закон запису числової послідовності.

      2. Рекурентний спосіб задання послідовності: спочатку вказують перший член послідовності (або кілька перших членів), потім дають формулу, яка дає можливість визначити будь-який член послідовності за відомими попередніми членами. Наприклад:

        1. Нехай а1 = 1 і при n ≥ 1 маємо формулу аn+1 = (n + 1) аn. Тоді одержимо наступну послідовність: 1; 2; 6; 24; …

        2. Розглянемо послідовність, у якої а1 = 1, а2 = 1, аn = аn-2 + аn-1,
          при n ≥ 3.
          Одержимо знамениту послідовність Фібоначчі 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … Цю послідовність задано і аналітично формулою Біне: . Але цей перехід від рекурентного задання послідовності до аналітичного важкий і громіздкий.

      3. Описовий спосіб задання послідовності.

        Наприклад:

        1. Членами послідовності (Cn) є двоцифрові числа, складені з цифр 2 і 3 взяті в порядку зростання: маємо C1 = 22; C2 = 23; C3 = 32; C4 = 33.
          Ця послідовність скінченна.

        2. Послідовність простих чисел у порядку зростання:
          2; 3; 5; 7; 11; 13; … Ця послідовність нескінченна, її не можна задати ні рекурентно, ні аналітично.

      4. Графічний спосіб задання послідовності.
        Члени числової послідовності у такий спосіб
        зображають, або точками числової осі, або
        точками системи координат.
        Наприклад розглянемо послідовність парних
        чисел а        n = 2n на горизонтальній осі відкладають
        значення n, на вертикальній осі значення а        n.

      5. Табличний спосіб задання послідовності. Зв'язок між номером члена n і самим членом послідовності аn можна задати у вигляді таблиці.
        Наприклад:

n

1

2

3

4

5

6

….

n

an







….



    1. Властивості числових послідовностей.

      1. Обмеженість і необмеженість числових послідовностей.
        Означення:         Послідовність аn називається обмеженою, якщо існують такі два числа m і M, що при всіх n виконується нерівність m ≤ аn ≤ M. При цьому говорять, що m обмежує послідовність знизу, а число M – зверху. Наприклад: послідовність є обмеженою бо .


      1. Зростаючі і спадні послідовності.
        Означення 1: Послідовність (аn) називається зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший від попереднього, тобто аn+1 > аn. Наприклад: аn = 2n – 1, тобто маємо послідовність виду:
        1; 3; 5; 7; …; 2n – 1; …
        Означення 2: Послідовність (аn) називається спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший від попереднього, тобто аn+1 < аn. Наприклад: послідовність правильних дробів: ;… ; …
        Означення 3: Послідовність (аn) називається неспадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, не менший від попереднього, тобто аn+1 ≥ аn.
        Наприклад: послідовність: 1; 1; 2; 2; 3; 3; … n; n; …
        Означення 4: Послідовність (аn) називається незростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, не більший від попереднього, тобто аn+1 ≤ аn.
        Наприклад: послідовність 1; 1;…;…
        Означення 5: Стала послідовність – це послідовність у якої всі члени рівні.
        Наприклад: 4; 4; 4; …; 4; …
        Розглянемо послідовність а        n = 2n парних чисел: 2; 4; 6; 8; …; 2n; … Утворимо нову послідовність чисел з членів даної, які кратні 6 у тому ж порядку, тобто: 6; 12; 18; 24; …; 6n; Ця послідовність є підпослідовністю даної послідовності (аn). Отже, підпослідовність – це підмножина множини членів вихідної послідовності взятих відповідно порядку запису.

  2. Висновки.

    Числові послідовності бувають:

Скінченні

Нескінченні

Обмежені

Необмежені

Зростаючі, спадні, незрозстаючі, неспадні, сталі

Числові послідовності задають:

1

Аналітичним способом – за допомогою формули n-го члена послідовності.

2

Рекурентним способом – перший (перші) члени і формула наступного члена.

3

Описовим способом - словесно.

4

Графічним способом – точками числової прямої, або системи координат.

5

Табличним способом – складання таблиці.




  1. Домашнє завдання:

    1. Вивчити конспект.

    2. Підготувати повідомлення про математиків, які розвивали вчення про послідовності.

    3. № 12, ст. 83.
Читать полностью »