Практическая работа Вычислеие обратных матриц второго и третьего порядков

Практическая работа

Тема: Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1. Цель: закрепить навыки вычисления обратных матриц второго и третьего порядка

2. Теоретическая часть:

О Минором Mij элемента aij определителя D=, где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, минор M12 , соответствующий элементу a12 определителя D = получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е. M12 = 

О Алгебраическим дополнением элемента aij определителя D называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j

Т.о. Aij = (-1)^i+j ∙ Mij

Пример. Найти алгебраические дополнения элементов a13, a21, a31 определителя D =

Решение

A13 = (-1)¹⁺³∙M13 =  = 4

A21 = (-1)²⁺¹∙M21 = (-1) ∙  = –(2∙5–2∙3) = –4

A31 = (-1)³⁺¹ ∙ M31 =  = –6

О Квадратная матрица A называется вырожденной, если е определитель равен 0 и невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

О Если A – квадратная матрица, то обратной по отношению к A называется матрица, которая будучи умноженной на A (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

A^-1 – обратная матрица

A^-1∙A=A∙A^-1=E

При условии D=≠0 обратная матрица находится по формуле

A^-1 = 

Вычисление обратных матриц второго и третьего порядка

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1. Находят определитель матрицы A.

2. Находят алгебраические дополнения всех элементов aij матрицы A и записывают новую матрицу.

3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют матрицу)

4. Умножают полученную матрицу на

Пример. Найти матрицу, обратную матрице A = 

Решение:

1. Найдем определитель матрицы A:

D =  = 1∙(-1) 7+2∙2∙3+0∙0∙3–3∙(–1)∙3–0∙2∙1–0∙2∙7 = –7+12+9 =14

Поскольку D≠0, то матрица A невырожденная и, значит, можно найти обратную матрицу.

2. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А

А11 = (-1)¹⁺¹ = -7 А12 = (-1)¹⁺² = 6

А13 = (-1)¹⁺³ = 3

А21 = (-1)²⁺¹ = -14 А22 = (-1)²⁺² = -2

А23 = 6

А31 = 7 А32 = -2 А33 = -1

Запишем обратную матрицу

3. Транспонируем матрицу:

4. Умножим полученную матрицу на =

A^-1 =   = 

Проверим полученный ответ

А∙A^-1 =   =  = Е

3. Задание.

Вариант 1 Вариант 2

1. Вычислить определители четвертого порядка

2. Найти матрицы, обратные данным:

A = 

A = 

3. A = 

A = 

4. Содержание отчета:

Отчет должен содержать

-решение данных задач.