Практическая работа
Тема: Комплексные числа и действия над ними.
Цель: закрепить навыки действий над комплексными числами в разных формах.
Теоретическая часть: Комплексным числом называется выражение - действительные числа, - мнимая единица, которая определяется соотношением: .
Число называется действительной частью числа , а - мнимой частью.
Числа
Два комплексных числа и , называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части :
алгебраическая форма комплексного числа
тригонометрическая форма
показательная форма
Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение и вычитание комплексных чисел:
Произведение комплексных чисел:
Деление комплексных чисел:
Тригонометрическая форма комплексного числа
Z = r(
Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r =
Величину угла можно найти по формуле
Показательная форма комплексного числа Z = r
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
)
Произведение комплексных чисел:
Деление комплексных чисел:
Возведение в степень:
Извлечение корня
Примеры и решения
№1 Решить квадратное уравнение:
Х2 – 6х + 13 = 0
Решение: а=1, в=-6, с=13. Найдем D=; D= (-6)2- 4
Корни уравнения находим по формулам х1,2=
х1,2=
х1=3+2i x2=3 – 2i
Ответ: х1=3+2i; x2=3 – 2i.
№2 Найти значения х и у из равенства (2x+3y) + (x-y)i = 7 + 6i
Решение: из условия равенства комплексных чисел следует
Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением, имеем
5х=25,т.е. х=5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6,откуда
у = -1. Итак, получаем ответ: х = 5,у = -1.
Даны комплексные числа z1 = 5 + 3i , z2 = 7 – 4i
Найти
а)
Решение:
а)
б)
в)
г).
№4 Выполнить деление :
Решение:
№5 Записать число Z = 3 – 3i в тригонометрической и показательной формах.
Решение: 1.Так как а=3, в=-3,то r= =
2. Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z,лежащая в 4 четверти
3. Составим отношения .Отсюда следует, что
4. Итак, z = 6( - тригонометрическая форма числа
Z = 6 - показательная форма числа.
№6 Даны комплексные числа
Найти:
а) в)
Решение:
а) (
б)
в)
Используем формулы приведения
г)
Если
Если
Если
Задание для самостоятельного решения:
1.Решить уравнение:
2.Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных чисел:
3.Даны комплексные числа:
Найти: а)
4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах:
5.Найти:
Действия произвести, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме.
Критерии оценки
«5»-выполнены правильно все задания
«4»-выполнены правильно любые четыре задания
«3»-выполнены правильно любые три задания
«2»-выполнено правильно только два задания
Рекомендуемая литература
1. В.Т. Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов
2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.
3. Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».
