Готовимся к ЕГЭ. В13: Задачи на движение

[pic] Готовимся к ЕГЭ. В13: Задачи на движение

О.Н. Устян,

учитель математики МБОУООШ №29

п.Отдалённый, Апшеронский район

Краснодарский край

Для педагогов не секрет, что решение текстовых задач вызывало и вызывает затруднение у большей части учащихся. Умение анализировать условие и составлять математическую модель оказывается далеко не под силу каждому. Задачи на движение, совместную работу, смеси и сплавы рассматриваются в школьном курсе математики не один год. Но многие учащиеся из года в год при выполнении домашних работ, контрольных и краевых диагностических работ выбирают задания повышенного уровня С, игнорируя текстовые задачи. Ограниченность во времени при контроле знаний, напряжение и насыщенный объем работ не позволяет полностью свободно поразмыслить над схемой решения задания. С другой стороны развитое логическое мышление, приемы моделирования позволяет остальным учащимся успешно справиться с задачами такого типа. Вашему вниманию предложены задания по теме, которые можно использовать при различных формах организации работы по подготовке к ЕГЭ.

1. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Скорость сближения поездов 65 + 35 = 100 (км/ч) = [pic] (м/с). Общий путь за 36 с составляет [pic] * 36 = 1000 (м). Тогда 1000 – 700 = 300 (м) - длина скорого поезда.

Ответ: 300 м

2. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Комментарий. Не уставайте напоминать учащимся формулу:

Средняя скорость = [pic] .

Ответ: 72 км/ч

3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Важно объяснить, что в отличие от задачи 1, придорожный столб зафиксирован. Поезд за 36 с проезжает расстояние, равное собственной длине, со скоростью 80 км/ч = 80 * [pic] (м/с) = [pic] (м/с). Длина поезда [pic] * 36 = 800 (м).

Ответ: 800 м

Комментарий. Учащиеся при переводе км/ч в м/с часто путают деление с умножением величины на 3,6. Не пытайтесь заставить их выучить нужное действие. Проще в соответствии с наименованием (км/ч) умножить величину на 1000 м и разделить на 3600с. Ошибок будет намного меньше.

4. Дальнобойщик, погрузив груз в фуру, отправился в путь со скоростью 60 км/ч. Через 1 ч он сделал остановку на заправке на 30 мин, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 1 ч после отправки фуры диспетчер склада обнаружил, что он забыл отдать дальнобойщику сопроводительные документы на груз и выехал вдогонку на мотоцикле со скоростью 100 км/ч. Какое расстояние (в километрах) проедет мотоциклист до места встречи?

Решение. Задачи на движение вдогонку встречаются часто. Собака догоняет шляпу, унесенную ветром, ребенок проезжает на велосипеде путь, возвращаясь от конечной точки до равномерно движущихся вслед за ним родителей и т. д.

В данной задаче путь дальнобойщика равен пути мотоциклиста. Важно не забыть, что дальнобойщик двигался (1+х–0,5) часа, где х ч – время движения мотоциклиста. Решив уравнение 60(х + 0,5) = 100х, х = 0,75, найдем путь мотоциклиста, который равен 75 км.

Ответ: 75 км

5. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Пусть х км/ч –скорость второго сухогруза, у км/ч -скорость первого сухогруза. Необходимо найти величину (х–у) км/ч. За 12 мин = 0,2 ч второй сухогруз прошел 0,2х км, что составляет (0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у) км. (Необходимо помнить о длине второго сухогруза, как в задачах о поездах).

Из уравнения 0,2х = 0,4 + 0,12 + 0,6 + 0,2у находим х-у = 5,6.

Ответ: на 5,6 км/ч скорость первого сухогруза меньше скорости второго.

6. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

7. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

8. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

9. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Трудность для учащихся - в круговой трассе. Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля, его путь за 40 мин равен [pic] х км. Путь первого автомобиля составил 80* [pic] км, что на 1 круг больше. Уравнение 80* [pic] - [pic] х = 14. Часть учащихся обратят внимание на скорость удаления и составят более простое уравнение: [pic] (80 – х) = 14.

Ответ: скорость второго автомобиля 59 км/ч.

10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

11. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 м меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

12. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

13. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

14. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

15. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

16. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

17. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое может проплыть по этой реке 9 км. Во сколько раз скорость катера больше скорости реки?

Решение. Как и в задаче 5, не нужно стремиться найти скорости катера и течения реки. Необходимо вычислить отношение [pic] , где х км/ч – собственная скорость катера, у км/ч – скорость течения реки. Уравнение [pic] + [pic] = [pic] после преобразований примет вид: 5у² + 44 ху – 9х² = 0. Разделив обе части уравнения на у² ≠ 0 и обозначив [pic] = m, имеем 9m² - 44m – 5 = 0. m1 = 5, m2 = - [pic] – не соответствует условию задачи. В 5 раз скорость катера больше скорости реки.

Ответ: в 5 раз

Анализируя работы учащихся, результаты КДР, ОГЭ, ЕГЭ выпускников, четко прослеживаю более высокий процент выполнения текстовых задач у ребят, обучающихся по УМК А.Г.Мордковича в средней и старшей школе. Эти дети, как правило, успешно справляются с задачами. Нарастание сложности математических моделей идет постепенно, разнообразен уровневый подбор материала. Учителю необходимо разнообразить подбор материала из других пособий и источников.