Статья для «Потенциала»
Напомним, что это уже не первая встреча ученика и учителя. Ученик вырос, ему через год сдавать выпускной экзамен. Он хочет сдать его хорошо и поступить в выбранный ВУЗ.
Ученик: О, мне скоро сдавать ЕГЭ, а в пятом номере части «С» встречаются задачи с параметром. Хотелось бы более подробно рассмотреть подобные задачи и научиться их решать. Мои друзья говорят, что без подготовки их не решить!
Учитель: Они правы. Всегда готов тебе помочь! Для успешного результата необходимо выполнение ряда условий:
Хорошо знать методы решения различных типов уравнений и неравенств из школьного курса математики.
Уметь строить и «читать» графики не только функций, но и уравнений.
Уметь приводить выражение к стандартному виду (чтобы удобнее строить график).
Знать решение вариантов предыдущих экзаменов.
Уметь находить подобные задания.
Поговорим немного о каждом пункте. Первые два пункта зависит только от самого ученика. Если ты хорошо работал на уроках и дома, то тебе знакомы все основные алгоритмы решения примеров, и ты можешь свободно применять их. На третьем пункте хочу остановиться более подробно, т.к. в программе основной школы многие методы не изучаются. Последние несколько лет в задачах с параметрами встречаются задачи на построение окружности или её частей. Зная вид уравнения окружности, это сделать несложно. Однако часто приходится сначала преобразовать выражение к «нужному» виду, а затем строить. Существуют различные методы приведения. Чаще всего встречается метод выделения полного квадрата по формулам сокращенного умножения. Приведу примеры…
Ученик: Я вспомнил! Мы это делали в прошлый раз!
Учитель: Хорошо, что ты вспомнил. Тогда разберём более сложную задачу о построении полуокружности.
Ученик: О! Внимательно слушаю.
Учитель: допустим, нам надо построить график у = . Конечно, если первый раз видишь такой пример, приходит на ум построить график с помощью производной.
Ученик: А разве можно по- другому?
Учитель: Естественно! Может быть, ты подумаешь и скажешь?
Ученик: Попробую. Так… (задумался и почесывает затылок). Ну, если вспомнить решение иррациональных уравнений, то сначала надо сказать, что у должен быть больше нуля, а затем возвести обе части в квадрат. Получим систему условий . Верно?
Учитель: Не совсем. Подумай ещё.
Ученик: О, да-да-да. У может ещё быть равен нулю.
Учитель: Теперь верно.
Ученик: Хорошо. Рассмотрим уравнение. Перенесём всё в одну часть и получим уравнение окружности с центром в точке А (-1;0) и радиусом 2. Теперь надо подумать, как повлияет условие на у. Считаю, что функции будет полуокружность, расположенная выше оси абсцисс. Правильно?
Учитель: Правильно. Молодец! Видишь, если знаешь, как решать обычные уравнения, то и с параметрами проблем не будет.
Ученик: Здорово! Я понял. Значит, выделив под корнем полный квадрат, мы всегда будем иметь полуокружность?
Учитель: Да. Правда не всегда такой «хороший» радиус получится. Но это даже интереснее!
Ученик: А что мне надо ещё знать про окружности для успешного решения заданий?
Учитель: Необходимо знать варианты касания двух или трёх окружностей (внешнее и внутреннее). Как в каждом из этих случаев связаны радиусы окружностей и расстояние между их центрами.
Ученик: Попробую вспомнить. А можно для наглядности начертить?
Учитель: Я в таких случаях говорю, что не только можно, но и нужно! Наглядность никогда не помешает. В данном случае только поможет.
Ученик: Ага. Вспоминаю определения, черчу и выписываю нужные формулы.
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Через точку касания можно провести касательную к одной из окружностей, которая является одновременно и касательной к другой окружности. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.
Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от касательной.
Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от касательной
Внешнее касание:
ОО1 = R + r
Внутреннее касание:
ОО1 = R - r
Учитель: Отлично. С окружностями вроде разобрались. Пойдём дальше. Давай вспомним, как зависит расположение графика линейной функции от её углового коэффициента.
Ученик: Так. Линейная функция имеет вид у = кх + в. При к = 0, у = в. Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс (или сама ось, при в = 0). Ещё график всегда проходит через точку А(0;в). Мы закрепим прямую в этой точке, как рейку гвоздиком и будем её вращать. В зависимости от параметра угловой коэффициент меняется и меняет угол наклона прямой. При положительном значении параметра угол острый, а при отрицательном значении – тупой.
Угловой коэффициент положительный.
Угловой коэффициент отрицательный.
Учитель: Хорошо. Теперь надо подумать, сколько точек пересечения могут иметь полуокружность (окружность) и прямая.
Ученик: Опять нарисую.
Учитель: Ну, вот. Подготовительную работу мы с тобой закончили. Будем решать задачи. Конечно, постараюсь задавать задания от простого к более сложному. Пожалуй, начнём с такого:
№1. При каких значениях параметра а уравнение а + = 0 имеет хотя бы одно решение?
Сразу вопрос: как понять задание?
Ученик: Думаю, что можно сказать так: при каких значениях уравнение вообще имеет решение. Правильно?
Учитель: Да. Внимательно читай задание на экзамене и не перепутай две разные задачи: «имеет единственное решение» или «имеет хотя бы одно решение»! Очень часто ребята не вникают в смысл задания и решают не ту задачу. Это очень обидно, если правильно сделана, но не та задача.
Ученик: Буду внимателен. Приступаю. Сначала уединим параметр, перенеся арифметический квадратный корень в правую часть. Получим уравнение а = -. Далее построим графики в плоскости (х;а). По определению арифметического корня параметр может принимать только неположительные значения. Графиком будет полуокружность с центром А (-1;0) и радиусом два, расположенная ниже оси абсцисс или на ней. Построим. Точки, лежащие на оси абсцисс (-3;0) и (-1;0). Теперь осталось провести прямые, перпендикулярные оси параметра и найти значения параметра, при которых будут пересекаться полуокружность и прямые. Так хорошо виден ответ на вопрос задачи. Итак, ответ: при а от -2 до 0. Для наглядности посмотрим на рисунок:
Графики 10
Учитель: Скажи, пожалуйста, а где уравнение будет иметь единственное решение? Какое наибольшее количество решений оно может иметь?
Ученик: При а = -2. Да, если невнимательно прочитаю, получу неверный ответ. Будет обидно! Наибольшее количество два. Думаю, что готов к более сложным заданиям. Хочется проверить свои силы!
Учитель: Хорошо. Вот тебе задание №2. При каких значениях параметра уравнение ах + += 3а + 1 имеет единственный корень.
Ученик: Оставим арифметический корень слева, остальные слагаемые перенесём вправо. Рассмотрим отдельно правую и левую части. В левой части имеем функцию у = =. Выделим полный квадрат. Получим полуокружность с центром в точке (-2;0) и радиусом 1. Правая часть представляет семейство прямых у = -ах + 3а + 1. Угловым коэффициентом является число, противоположное значению параметра а, числом в – выражение с параметром 3а + 1. Легко видеть, что при х = 3, у =1, значит, график всегда проходит через точку (3;1). Уравнение будет иметь единственное решение (единственный корень), если графики пересекаются в одной точке. Нам подойдёт случай, когда прямая у = -ах + 3а + 1 является касательной к полуокружности. Она параллельна оси ох, т.е. угловой коэффициент равен нулю. Значит, а = 0 берём в ответ. Также нам подойдут положения прямой от точки А (в ней два решения) до точки В (одно решение). В соответствии с этим будем или закрашивать точку или выкалывать её. Найдём значения параметра, соответствующие А(-3;0). Для этого подставим её координаты в уравнение прямой у = -ах + 3а + 1. Получим а = -. Аналогично поступим с точкой В (-1;0). В этом случае получим а = -. Собираем полученные результаты в ответ: а [-; - и а = 0.
Чертёж!
Уф! Неужели решил! Здорово. Мне понравилось.
Учитель: Для закрепления дам тебе похожие задания. Чтобы мог себя проверить, предлагаю воспользоваться ответами. Формулировка заданий одинаковая, поэтому запишем сами уравнения и ответы к ним.
1. ах + = 4а + 2 , а [ -; - и а = 0.
2. ах + = 2а + 3 , а [-; - и а = 0.
3. ах + = 2а + 1, а [-; - и а = 0.
4. ах + = 7а + 3, а [-; - и а = 0.
5. ах + = 5а + 2 , а [-; - и а = 0.
Ученик: Спасибо! Всё обязательно решу и приду за следующим заданием. До встречи!
