Выпускникам на заметку
Поговорим о планиметрии
или
ЕГЭ по осени считают
Осталось совсем немного до события, которое уже сейчас многим родителям начинает сниться в кошмарных снах. Конечно, это ЕГЭ. И чем меньше времени отделяет от этой даты, все меньше уверенности у выпускников по выполнению задач С1-С4 или в новой номенклатуре, №13 - №16.
В настоящей статье я не собираюсь анализировать знания ребят по планиметрии и стереометрии, не стану говорить о том, какие важные теоремы, присутствующие в задачах учебника, с необычайной легкостью либо пропущены, либо «забыты» на уроках математики. Об этом я уже неоднократно писал. Напомню лишь один факт, учитывая который, выпускникам, успевающим на 4 и 5, будет легче справиться с задачей по планиметрии(задача С4 или № 16)
А именно, задачи к ЕГЭ, особенно к части С, выбираются из огромного банка данных задач, предлагавшихся в разные годы для поступающих в МГУ(химический, биологический, геофизический и прочие «не строго математические» факультеты). Так вот, чтобы решить задачу №16 достаточно за оставшееся время познакомиться с подборкой задач для поступавших в МГУ на перечисленные выше факультеты. И взять на вооружение те идеи, которые использовались для решения сходных по структуре задач.
Но … небольшой нюанс: каким образом школьник, даже успевающий на отлично, может справиться с задачей по геометрии, если с 7 класса на контрольных и самостоятельных работах в основном предлагаются задачи с ориентацией на «троечные» знания?
Судите сами! Тема: Сумма углов треугольника (самостоятельная работа). Седьмой класс. Типичная задача, предлагаемая в школе. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 60 больше другого. А вот задача, которая должна быть предложена ученику, успевающему на отлично. На сторонах угла А, равного 127, отмечены точки В и С, а внутри угла – точка D так, что ABD=25, ACD=19. Найдите BDC. Почувствовали разницу?
Нелирическое отступление о сельском образовании
Более 20 лет назад, являясь работником редакции «Сельская новь» и, посещая села нашего района, я не упускал возможности посетить уроки математики в сельской школе. Слава Богу, школьные коллеги принимали меня за обычного «журналюгу», поскольку работе в редакции предшествовала работа в педагогическом училище и как школьного учителя меня практически мало кто знал.. Какие же математический «перлы» удавалось услышать на уроках математики – сюжет для отдельной повести!..
Обидно не то, что подчас математику ведет человек, которую даже дояркой поставить проблематично, а то, что умные ребята начинают глупеть на глазах, занимаясь у подобного горе-учителя!
Вот пара характерных примеров, сохранившихся в памяти. После посещения урока в одной из сельских школ, прошу одну из учениц (отличницу), заканчивающую неполную среднюю школу, ответить на несколько вопросов.
- Любишь математику?
- Да, конечно!
- Чему равно вот такое простое выражение: 16:42?
- Двум(следует моментальный ответ)
- А вот такое выражение:?
-(на секунду задумывается) Восьми!
-Но ведь выражения совершенно одинаковые, просто записаны по разному. Почему же результат другой?
- … Нам учительница говорит, что сначала выполняется умножение, а уж потом деление…
- Ну что ж, давай выполним, - предлагаю я. Чтобы умножить дробь на число, надо числитель дроби умножить на это число и результат разделить на знаменатель:. Правильно?
-(очень неуверенно)…Да… Это какой-то фокус??
- Последний вопрос: сколько пар накрест лежащих углов при пересечении двух прямых третьей образуется?
-(уже чувствуя подвох, ученица задумывается, не совсем уверенно отвечает) Две пары…
-Молодец! Но часто на уроках эти две пары углов вы называете внутренними накрест лежащими
-(радостно)Конечно!
-Но если есть внутренние накрест лежащие углы, то ведь должны быть и внешние?
-…нам про них не говорили!
Но вернемся к нашей проблеме. Как школьнику, сдающему профильное испытание ЕГЭ, осилить геометрическую задачу?
Во-первых, браться за подготовку к штурму планиметрии надо с разбора и решения задач (№23) для ОГЭ. Нет-нет, это не описка. Насколько мне известно, задачи этой степени сложности в школе практически не решаются. А они всего лишь на порядок проще, чем задачи №16 на ЕГЭ. Или, более конкретно, если какая-то теорема или свойство к задачам ОГЭ применяется дважды, то к задачам ЕГЭ –трижды.
Это характерно, но необязательно! Вот две задачи:
«В произвольной трапеции MKND известно, что AD. Точка О – точка пересечения диагоналей, точка L – точка пересечения прямых AK и ND. LD пересекает KN в точке Р, а AD – в точке М. Докажите, что АМ=MD и KP=PN.» Вариант №8, задача 25. Математика Подготовка к ОГЭ-2016 Легион.
« Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АВ1:В1С=АС1:С1В. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону АС» Тренировочная работа 10 №16 Математика ЕГЭ Под редакцией И.В. Ященко, 50 вариантов, 2016.
Не надо быть учителем математики, чтобы при внимательном прочтении сделать вывод, что задачи похожи как сиамские близнецы, с той разницей, что одна предлагается выпускникам девятых, а другая – 11 классов.
Не скажу, что задачи головоломные, но рассмотреть четыре пропорции, из каждой пары которых надо получить необходимую пропорцию, а уже из последних двух – конечный результат, задача не из легких. Тем более, что последние годы на уроках математики подобие треугольников не жалуют. Иначе почему даже хорошо успевающие выпускники не знают формул для нахождения биссектрисы треугольника, не могут доказать принадлежность четырех точек одной окружности и прочее.
Итак, обещанный пример.
В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 104. Найдите стороны треугольника АВС.
(ОГЭ – 2016 Математика 20 вариантов, под редакцией И.В. Ященко)
B
F
E
K
D
C
A
Основная идея: провести DF параллельно КЕ и увидеть, что EF средняя линия треугольникADF, а DF – средняя линия треугольника СВЕ. Ну и применить теорему Пифагора
Чаще всего подобие треугольников можно использовать лишь после дополнительного построения. Запомним, если в задаче явно сказано, что прямая или отрезок перпендикулярны другой прямой или стороне и этот перпендикуляр в задаче единственный, то в 8 из 10 случаев придется проводить прямую, параллельную этому перпендикуляру.
В случае с трапецией заранее отработайте доказательства того факта, что диагонали отсекают от прямой, параллельной основанию, равные отрезки. (они заключены между боковой стороной и диагональю).
Если в задаче упоминается четырехугольник и вписанная в него окружность – часто надо продолжить боковые стороны до их пересечения.
Пара касающихся окружностей – постройте угол, в которой они вписаны.
Наконец, имеется ряд теорем, которые в учебниках даны как задачи на доказательство. Их доказательство и применение вы должны знать в совершенстве!
Вот номера подобных задач из учебника Л. Атанасяна: №№84-86, 120,132-134,164,167,173,175,231-233,307,309,336,347,349,385,439-440, 500,508-510,521, 547,567-569, 605, 617,664,670,672, 697,712,718, 719, 724,729,820, 822, 833,835,846,849,855,858-866,881-882,887,890-894,1200.
Доказательство фактов, в задачах, выделенные жирным шрифтом, постарайтесь выполнить обязательно, их желательно, запомнить. Уверяю, что приведенного материала вполне достаточно, чтобы решить соответствующие задачи ОГЭ и ЕГЭ.
С пожеланием удачи
Владимир Петров,
бывший, (но неравнодушный) педагог
