Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х – (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х2 + х – 1), где коэффициенты многочлена х2 + х – 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.
Задача 4.
Отделить кратные корни многочлена f(x) = x5 – 2x4 – x3 + 5 x2 – 4x + 1.
Решение:
Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот же корень кратности (k – 1). Найдем производную данного многочлена:
f /(x) = 5x4 – 8x3 – 3x2 + 10x – 4
Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по алгоритму Евклида:
(f(x), f /(x)) = x2 - 2x + 1. Заметим, что это полный квадрат (x – 1)2, следовательно, f /(x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.
Разделим f(x) на (x – 1)3 по схеме Горнера:
Получим f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1).Остальные 2 корня многочлена – простые (в этом случае действительные иррациональные числа).
Ответ: f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1).
Задача 5.
Разложить многочлен f(x) = x6 + x5 – 4x4 – 2x3 + 5x2 + x – 2 в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.
Решение:
f /(x) = 6x5 + 5x4 – 16x3 – 6x2 + 10x + 1
(f(x), f /(x)) = x3 – x2 – x + 1
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 30x4 + 20x3 – 48x2 – 12x + 10
( f /(x), f //(x)) = x – 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на (x – 1)2 = (х2 – 2х + 1). Получим: f /(x) = (x – 1)2(х + 1). Т.е. в f /(x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит с кратностью 3. В f /(x) корень равный –1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он входит с кратностью 2. Т.к. f (x) – многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности – 2 и 3, то у f (x) есть еще один корень, который является простым.
Разделим f (x) на (x – 1)3 и на (x + 1)2 по схеме Горнера:
Получим: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2)
Ответ: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2)
Задача 6.
При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.
Решение: f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12.
Найдем производную многочлена: f /(x)= 6х5 – 20х4 – 8х3 + 48х2 + 10х – 20.
НОД (f (x), f /(x)) = х3 – 3х – 2.
Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем: f //(x)) = 30х4 – 80х3 – 24х2 + 96х + 10.
НОД (f /(x), f //(x)) = х + 1. Таким образом: f //(x)) = (х +1)q1(x), следовательно: f /(x) = (х +1)2q2(x), разделив f /(x) на (х +1)2, получим f /(x) = (х +1)2(x – 2).
Следовательно, f (x) = (х +1)3(x – 2)2q3(x). Разделив f (x) на (х +1)3(x – 2)2 получим f (x) = (х +1)3(x – 2)2(x – 3).
Таким образом, имеем х = -1 – трехкратный корень многочлена, х = 2 – двукратный корень, х = 3 – простой корень. Следовательно, в точке х = 1 график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень).
Ответ: х = 2.
Индивидуальные задания
Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f(x):
f(x) = x3 – 4x2 + 7x + 1470, с = -10;
Решение:
Подставляя вместо переменной число -10, имеем:
f(x) = (-10)3 – 4•(-10)2 + 7•(-10) + 1470=-1000-400-70+1470=0
Следовательно, -10 – корень многочлена.
I.Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f(x):
f(x) = x5 – 7x3 – 4, с = 4;
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
1
4·1+0 = 4
4·4– 7= 9
4·9+0 = 36
4·36+0 = 144
4·144-4= 572 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 4)), делаем вывод, что число 4 корнем многочлена не является.
II.Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера, будет ли множитель х – с входить в разложение многочлена f(x):
f(x) = x5 – 4x4 + 7x2 – 4, х – 2;
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
1
2·1-4 = -2
2·(-2)+0= -4
2·(-4)+7 = -1
2·(-1)+0 = -2
2·(-2)-4 = -8 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 2)), (число 2 корнем многочлена не является), следовательно х-2 не входит в разложение многочлена f(x)
Проверим с помощью деления углом:
[pic]
III. Определить по схеме Горнера, какова кратность корня с = -1 для многочлена f(x):
f(x) = x4 – 2x3 – 12х2 – 14х – 5;
Решение:
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:
Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х – (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3( х – 5), где коэффициенты многочлена х – 5 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.
IV. Определить по схеме Горнера, какова кратность множителя х + 1 для многочлена f(x):
f(x) = x4 + 8x3 + 18х2 + 16х + 5;
Решение:
Задача решается аналогично предыдущей.
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:
Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х +5), где коэффициенты многочлена взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность множителя х + 1 равна трем.
V.Разложить многочлен в произведение линейных множителей, отделив кратные корни многочлена:
f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4;
Решение:
f /(x) = 4x3 – 3x2 - 18x – 11
НОД (f(x), f /(x)) = x2 + 2x + 1=(x + 1)2
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 12x2 - 6x – 18
( f /(x), f //(x)) = x + 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный -1 кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2.
Разделим уголком f(x) на НОД (f(x), f /(x)) и получим
f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4 = (x + 1)2(x2 - 3x – 4)= по Теореме Виета получим = =(x + 1)2(x + 4)(x – 1)
Ответ: f (x) = (x + 1)2(x + 4)(x – 1)
