Программа элективного курса по математике в 9 классе Интенсивный курс подготовки к ОГЭ.

Нефтеюганское районное муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«САЛЫМСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1»

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ «Интенсивный курс подготовки к ОГЭ»

для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки

Утверждена

___________________________________________________________

Составитель курса Николаева И.Н.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Интенсивный курс подготовки к ОГЭ ориентирован на учащихся 9 класса в рамках предпрофильной подготовки и рассчитан на 34 часа аудиторного времени.

Материал курса поддерживает изучение основного курса математики и является расширенным вариантом некоторых разделов (тем) курса математики основной школы, что позволяет учащимся получить дополнительную подготовку для сдачи ОГЭ по математике.

Курс состоит из четырех модулей.

Модуль 1 «Виды уравнений и приемы их решения» (10ч) - направлен на систематизацию знаний по решению простых уравнений, изучению более сложных видов уравнений и приемов их решения. Модуль 2 «Виды неравенств и способы их решения» (11ч)- знакомит учащихся с решением неравенств различных видов. Модуль 3 «Процентные расчеты на каждый день» (13ч) направлен на формирование у учащихся умения решать разнообразные задачи на проценты.

При проведении занятий на первое место выйдут следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная; методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги. Данный курс поможет ученику основательно подготовиться к итоговой аттестации и осознанно выбрать профиль обучения в старшей школе. Освоение элективного курса завершается итоговым контролем (контрольная работа). К каждому модулю приводится пояснительная записка, учебно-тематический план, содержание программы, методические рекомендации, подобраны задания для самостоятельной работы, задачи повышенной трудности с решениями, ответами и дополнительными указаниями. В данной программе представлены приложения, содержащие теоретические, практические и контрольно-измерительные материалы, а так же комплект опорных схем по изучаемым темам, который рекомендуется использовать учащимся в индивидуальной работе.

Программа элективного курса «Интенсивный курс подготовки к ОГЭ» считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил более половины различных видов промежуточного контроля, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие:

Оценка «отлично» (5) - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно. Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математическую культуру.

Оценка «хорошо» (4) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» (3) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Оценка «неудовлетворительно» (2) - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.

Модуль 1 «Виды уравнений и приемы их решения»

Пояснительная записка

Данный модуль имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, систематизации знаний при подготовке к выпускным экзаменам. Модуль позволит учителю повторить и систематизировать знания по решению простых уравнений, рассмотреть более сложные виды уравнений и приемы их решения. Учащиеся сами могут найти уравнения для самостоятельного решения из различных источников, что будет способствовать самостоятельной поисковой деятельности.

Цель: систематизировать и обобщить сведения о решении уравнений (целых, дробных рациональных, неполных квадратных и квадратных уравнений, уравнений с модулем, иррациональных уравнений и уравнений третьей и четвертой степени с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной), способов решения систем уравнений с двумя переменными.

Задачи модуля:

- обобщить понятия: «уравнение», «система уравнений»;

- систематизировать основные методы решения уравнений, систем уравнений и научиться применять их в новых нестандартных ситуациях;

- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

- совершенствовать навыки самоконтроля.

Содержание модуля

Модуль рассчитан на 10 часов, содержит 5 основных тем.

Вводное занятие предназначено для знакомства учащихся с целями и задачами данного элективного курса, организацией занятий, требованиями к усвоению курса, повторением основных теоретических положений по теме «Уравнения».

Темы 1 – 4 предполагают обобщить знания учащихся по решению уравнений (линейных, квадратных, рациональных, иррациональных, дробно-рациональных и уравнений, содержащих знак модуля). На последних двух занятиях предусматривается проведение практикума по отработке полученных знаний, умений и навыков решения уравнений.

Тема 5 предназначена для обобщения способов решения систем уравнений. На заключительном занятии предусматривается проведение итоговой диагностики (тест).

Тема 1. Уравнения первой степени.

Решение простых уравнений с переносом слагаемых из одной части в другую.

Тема 2. Квадратные уравнения.

Неполные квадратные уравнения. Квадратные уравнения, теорема Виета. Дробные рациональные уравнения.

Тема 3. Целое уравнение.

Приемы решения целых уравнений: с помощью разложения на множители, методом введения новой переменной, методом неопределенных коэффициентов, графическим способом. Решение биквадратных уравнений.

Тема 4. Иррациональные уравнения и уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Приемы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Решение иррациональных уравнений.

Тема 5. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Решение систем уравнений второй степени. Способы решения систем уравнений второй степени (графический способ, способ подстановки, способ сложения).

Календарно - тематический план

Тема занятия

Дата проведения

Коррекция

план

факт

Тема 1. Уравнения первой степени.

Решение уравнений первой степени.

Тема 2. Квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений.

Решение дробно-рациональных уравнений.

Тема 3. Целое уравнение.

Решение целых уравнений с помощью разложения на множители.

Решение целых уравнений заменой переменной.

Тема 4. Иррациональные уравнения и уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Решение иррациональных уравнений.

Решение уравнений с модулем.

Тема 5. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Решение систем уравнений с двумя переменными.

Практикум по решению уравнений.

Тестирование по теме «Решение уравнений».

Дидактические материалы.

Занятие 1. Решение уравнений первой степени.

Занятие №2. Решение неполных квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений.

Занятие №3. Решение дробно-рациональных уравнений.

Решение упражнений:

1. Решить уравнение: а) х² + 3х – 4 = 0; б) 7х² - 2х + 5 = 0; в) 3х² + 8х + 5 = 0.

2. Сократить дробь: а) х² – 5,5х б) х² + 7х +6

2х² + 9х - 11 7х² +15х + 8

в) х⁴ – 11х² + 10

х² - 1

3. Решить уравнение: а) х + х + 2 = 8

х + 2 х – 2 х² - 4

б) 2х _ 15 – 32х² = 3х

2х – 3 4х² – 9 2х + 3

в) х + 2 + 3 = 3 + 1

х + 1 х – 2 х² – х - 2

4. Решить систему уравнений: ху = -8

(х – у)(у – 2) = -12

5. Найти область определения функции: у = х

7х² - 5х – 2

6. Построить график функции и указать ее область значений:

а) у = 7х² – 9х + 2 б) у = -1/2х² + 3х – 1/2

7. Построить график функции, указав сначала ее область определения: . Найти наибольшее или наименьшее значение функции и указать промежутки ее возрастания и убывания:

8. Решить уравнение: х³ – 3х + 2 = 0

Занятие №4. Решение целых уравнений с помощью разложения на множители.

1. Решить уравнения: а) 2х⁴ + 3х³ – 8х² – 12х = 0 б) х³ – 3х + 2 = 0

в) 2х⁴ - 5х² – 12 = 0 г) (х² – 2)(х² + 2) – 3х² – 6 = 0

2. Найти координаты точек пересечения графика функции у = х⁴ – 10х² + 9 с осью абсцисс.

3. Решить систему уравнений: х² + у² = 20

ху = 8

4. Решить неравенство: а) х⁴ – 9х² + 10 ≤ 0 б) х⁴ – 3х² – 4 > 0

в) 4х⁴ – 13х² + 9 ≥ 0

х + 1

5. Решить уравнение: а) (х² – 3х)² – 2(х² – 3х) = 8

б) (х² + 4х)(х² + 4х - 17) + 60 = 0

в) (2 - х² + 2х)(4 - х² + 2х) = 3

3 3

6. Сократить дробь: а) х - √х – 2 б) х - 6√х + 8

√х – 2 4 - √х

7. Найти область определения функции: а) у = √ х⁴ – 5х² + 4

б) у = √ х⁴ – 10х² + 9

х² - 16

Занятие №6. Решение иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример: Решить иррациональное уравнение

Ответ:

Занятия №7. Решение уравнений с модулем.

Определение модуля.

1. Правила раскрытия модуля: а) если | f(x)| = a, то f(x) = a или f(x) = -a

б) если | f(x)| = g(x), то f(x) = g(x) или f(x) = - g(x) при g(x) > 0.

в) если | f(x)| < g(x), то f(x) < g(x) и f(x) > -g(x).

г) если |f(x)| > g(x), то f(x) > g(x) или f(x) < -g(x).

д) если |f(x)| > |g(x)|, то f²(x) > g²(x).

Пример 1.

| х – 3 | = 5                                                         | х – 3 | = 5
х – 3 = 5   х – 3 = – 5                                        у = | х – 3 |, сдвиг графика
х = 8         х = – 2                                               у = | х | на 3 ед. вправо.
Ответ: х = 8, х = – 2.                                        y = 5 – прямая || оси абсцисс.

[pic]

Прочитать и объяснить словесную запись:

ρ (х; 7) = 2;               ρ(х; – 5) = 3

Предполагаемый ответ (ПО): Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.

ПО: Найти точки, которые находятся от точки – 5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.

– В чем заключается геометрический смысл модуля?

ПО: Расстояние между точками на координатной прямой.

Записать аналитическую модель рисунка:

[pic]

ПО: | х + 6 | = 3

Пример 2. | х – 2 | = 3

– В чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?

ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.

– Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.

Ρ(х; 2) = 3;            х – 2 = 3                 х – 2 = – 3
х = 5                       х = – 1

– Как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?

Пример 3. | х + 5 | = 3

-Прочитайте данное уравнение  с помощью геометрического смысла модуля | х + 5 | = 3, найдите его корни, используя координатную прямую.

[pic]

ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки – 5.  

Ответ: х = – 2; х = – 8.

Пример 4. | х – 2 | = | х + 5 |

Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.

ПО: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

[pic]

Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

ПО:

а) найдем расстояние между точками – 5 и 2.

5 + 2 = 7.

б) т.к. х равноудалена от точек – 5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2 = 3,5

в) найдем координату точки: – 5 + 3,5 = – 1,5 или 2 – 3,5 = – 1,5

Пример 5. | х – 1 | + | х – 2 | = 1

1) Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:

| х – 1 | + | х – 2 | = 1

ПО: Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2. Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.

[pic]

– Найдите расстояние между точками 2 и 1. Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1; 2].

Ответ: х Є [1; 2].

Пример 6. | х – 1 | + | х – 2 | = -1

– Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.

ПО: Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.

Пример 7. | х – 1 | + | х – 2 | = 3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?

ПО: Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.

[pic]

Уравнение имеет 2 корня: х = 0; х = 3.

Пример 8.| х – 3 | + | х – 7 | = 4

[pic]

Ответ: х Є [3; 7]

Пример 9. | х – 3 | – | х – 7 | = 4

– В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?

ПО: Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.

[pic]

– Так как расстояние между 3 и 7 равно 4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.

Ответ: х Є [7; ∞).

Пример 10. | х – 7 | – | х – 3 | = – 4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ, обязательно изобразить решение на координатной прямой).

[pic]

Ответ: х Є [7; ∞).

Пример 11. | х – 7 | – | х – 3 | = 4

[pic]

Ответ: х Є (-∞; 3].

Занятие №8. Решение систем уравнений с двумя переменными.

Повторение.

1. Решите систему методом подстановки.

а) в) д)

б) г) е)

2. Решите систему методом алгебраического сложения.

3. Решите графически систему уравнений

Для каждого ряда отдельная система:

Одновременно 2 ученика у доски решают другие системы, используя построение графиков.

С помощью рисунков на экране проверим правильность выполнения задания.

[pic]

Игра "Математическое домино".

В раздаточном материале 30 систем уравнений. Решая системы уравнений, учащийся выбирает ответы только с целыми положительными числами и вписывает их в пустые фишки.

На магнитной доске учитель вывешивает фишку с любыми числами от 0 до 9, для начала цепочки игры домино.

Учащиеся решают системы уравнений в любом порядке и, показывая свое решение учителю, продолжают цепочку по принципу игры домино, если их ответы в данный момент подходят.

Если при решении системы уравнений были получены ответы с дробными числами, то такие ответы не рассматривать, а ответы с целыми отрицательными числами отмечать на координатной плоскости.

Если решение системы уравнений верное, то точки, координаты которых являются целые отрицательные числа, будут находиться на заготовленной линии.

Раздаточный материал.

Занятие №9. Практикум по решению уравнений.

Решение вариантов ОГЭ в электронном виде (презентация)

Занятие №10. Итоговый тест по теме «Уравнения».

Модуль 2 «Виды неравенств и способы их решения»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Понятие «неравенство» – одно из фундаментальных понятий школьного курса математики.

Умение решать неравенства различных видов позволяет обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры.

Модуль «Виды неравенств и способы их решения» рассчитан на 11 часов.

Цели модуля:

- развитие математических способностей: логически мыслить, умения анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов решения неравенств, систем неравенств;

- преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.

Задачи модуля:

- обобщить понятия: «неравенство», «система неравенств»;

- систематизировать основные методы решения неравенств, систем неравенств и научиться применять их в новых нестандартных ситуациях;

- приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

- совершенствовать навыки самоконтроля.

Содержание модуля.

ЗАНЯТИЕ 11. Рассматриваются, обобщаются, систематизируются и расширяются знания учащихся о решении линейных неравенств, повторяются виды числовых промежутков, их геометрическое изображение, обозначение и запись.

ЗАНЯТИЯ 12-13. Предусматривается повторение и продолжение формирования умений и навыков решения квадратных неравенств. Данные занятия направлены на развитие самостоятельности, самоконтроля учащихся. На втором занятии проводится диагностика умений учащихся решать квадратные неравенства, после которой, необходимо провести анализ результатов и провести коррекцию умений и навыков учащихся.

ЗАНЯТИЯ 14-15. Повторяются понятия «рациональное неравенство», «дробно-рациональное неравенство», продолжается формирование умения решать квадратные, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов. На занятиях уделяется внимание развитию самостоятельности, рефлексивных умений, умений самоконтроля.

ЗАНЯТИЕ 16. Повторяются понятие «иррациональное неравенство», алгоритм решения иррациональных неравенств базового уровня сложности и отрабатывается навык их решения.

ЗАНЯТИЕ 17. На занятии повторяется алгоритм решения неравенств, содержащих знак модуля. Изученный материал закрепляется в ходе решения упражнений, как во фронтальной, так и в индивидуальной работе.

ЗАНЯТИЕ 18. Предусматриваются: отработка умений и навыков решения различных видов неравенств (базового и повышенного уровня сложности);

коррекция умений, полученных на занятиях; развитие самостоятельности учащихся, умений самоконтроля.

ЗАНЯТИЕ 19.Учащимся предлагается итоговый тест, который направлен на проверку степени усвоения изученного материала по теме «Решение неравенств различных видов».

ЗАНЯТИЯ 20-21. Повторяются понятия «система неравенств», «решение системы неравенств», «решить систему неравенств»; повторяются названия числовых промежутков, их запись и изображение на числовой прямой; отрабатываются умения и навыки решение систем линейных, квадратных, дробно-рациональных и других видов неравенств. Предусматривается коррекция умений, полученных на занятиях, развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Календарно- тематический план

Тема занятия

Дата проведения

Коррекция

план

факт

Решение линейных неравенств.

Решение неравенств методом интервалов.

Решение неравенств методом интервалов.

Решение дробно-рациональных неравенств.

Решение квадратных, рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Решение иррациональных неравенств.

Решение неравенств, содержащих знак модуля.

Урок-практикум по теме «Решение неравенств».

Тест по теме «Неравенства»

Решение систем неравенств.

Решение систем неравенств.

Требования к уровню подготовки учащихся

После освоения модуля учащийся должен знать:

- понятия «неравенство», «система неравенств»,

- виды неравенств и систем неравенств,

- основные методы решения неравенств и их систем;

учащийся должен уметь:

- различать виды неравенств,

- решать неравенства рациональным методом,

- выбирать и верно записывать ответ;

учащийся должен владеть:

- анализом и самоконтролем,

- способами решения неравенств и систем неравенств,

- методами исследования ситуаций, в которых результат принимает те или иные

формы.

Модуль Программа элективного курса «Виды неравенств и способы их решений» считается усвоенной учеником, если он положительно выполнил более половины различных видов промежуточного контроля, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий.

При подготовке к проведению занятий по каждой теме учитель может воспользоваться приведённым ниже теоретическим и дидактическим материалом, а также может видоизменить или дополнить его.

Дидактические материалы для учителя

Занятие №11. Решение линейных неравенств.

Цели занятия: - обобщить, систематизировать и несколько расширить знания

учащихся о решении линейных неравенств;

- повторить виды числовых промежутков, их геометрическое

изображение, обозначение и запись.

Ход занятия:

1. Теоретический материал.

Числовые промежутки.

геометрическое изображение

обозначение

запись, с помощью неравенства

Интервал

a< x< b

Отрезок

a≤ x≤ b

Полуинтервал

a< x≤ b

Полуинтервал

а≤ x <b

Луч

x≥a

Луч

x≤b

Открытый луч

x>a

Открытый луч

x<b

2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений.

1. Решите неравенства:

а) 8 + 6р < 2(5р – 8), б) 2(3 – 4q) – 3(2 - 3q) < 0,

в) -(6у +2) + 6(у – 1) > 0, г) 7 – 16r < -2(8r – 1) + 5,

д) е) ,

ж) , з)

и) а (а – 2) – а² > 5 – 3а, к) 0,2m² – 0,2(m – 6)(m+6) > 3,6m,

л) (4q – 1)² > (2q + 3)(8q – 1), м) .

2. Изобразите на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) у < 2х + 1; б) у ≥ х + 2.

3. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) 3(х – 2) – 4 ≥ 2(х + 3), б)

4. Решите двойные неравенства:

а) -5≤2х-7≤10, б) -13.

III. Подведение итогов.

Занятие №12-13. Решение неравенств методом интервалов.

Цели занятий:

- продолжить формирование умений решать квадратные неравенства;

- коррекция умений и навыков, полученных на уроках;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:

I. Теоретический материал.
Квадратные неравенства – это неравенства вида ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0,

ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c≥0.

Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

Пример 1. Решите неравенство (х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

Запись на доске

Данное неравенство является неравенством вида (1). Для его решения можно воспользоваться рассмотренным свойством чередования знаков функции. Отметим на координатной прямой нули функции f(x = (х+6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции на каждом из промежутков (- ; -6), (-6; -1), (-1; 4), (4; + ).

Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4; + ), т. к. в нем значение данной функции заведомо положительно. Это объясняется тем, что при значениях х, взятых правее наибольшего из нулей функции, каждый из множителей х + 6, х+1, х -4 положителен. Используя свойство чередования знаков, определим знаки функции в каждом из остальных промежутков, двигаясь по координатной прямой справа налево.

Из рисунка видно, что множеством решения данного неравенства является объединение промежутков (-; -6) и (-1; 4)

(х + 6)(х+1)(х-4)<0,

f(x) = (x + 6)(x + 1)(x-4),

D(f) = (-; + )

Найдем нули функции:

f(x) = при х = -6, х = -1, х = 4.

- + - +

--------1-------1--------1-------►х

-6 -1 4

F(x) <0 при х (-;-6)(-1;4).

О т в е т: (-; -6) (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов

Пример 2.Решим неравенство -3х²-5х+2>0.

3х²+5х-2<0,

3х²+5х-2=0,

x1,2 =

x1=, x2= -2;

3х²+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; )

3(x-)(x+2)<0,

или

нет решения .

Пример 3. Решите неравенство (х + 3) (x- 4) (2х + 5) < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = (х + 3) (х - 4) (2х + 5), определенную на (-; + ).

В дальнейшем можно не акцентировать внимание на области определения функций, заданных многочленом, поскольку такие функции определены на множестве действительных чисел. Но ученики четко должны это понимать.

Найдем нули функции: f (х) = 0 при х = -3, х = 4 и х = -2,5.

И еще одно замечание: допускается, что ученик находит нули функции в таких простых случаях устно. Хотя на усмотрение учителя или ученика можно показать решение уравнения

(х + 3) (х - 4) (2х + 5) = 0:

(х + 3)(х-4)(2х + 5) = 0;

х + 3 = 0, или х - 4 = 0, или 2х + 5 = 0;

х= - 3; х = 4; х = -2,5.

Отметим на координатной прямой нули функции и выясним знаки функции в каждом из получившихся промежутков: в «крайнем правом» промежутке f (х) > 0, т. е. ставим знак «+», а далее «чередуем» знаки.

- + - +

-------1-------1-------------1---------►х

-3 -2,5 4 х

f(x) < 0 при х € (-; -3) и (-2,5; 4).

Теперь еще раз об оформлении записей на доске и в тетрадях учащихся:

(х + 3)(х-4)(2х + 5)<0.

f(x) = (х + 3) (х - 4) (2х + 5), D(f) = (-; + );

f(х) = 0 при х = - 3,х = 4 или х = -2,5.

- + - +

-------1-------1-------------1---------►х

-3 -2,5 4 f(x) < 0 при х € (-; -3) и (-2,5; 4). Ответ: (-; -3) и (-2,5; 4).

Пример 4. Решить неравенство (5х+1)(5-х)>0.

Рассмотрим два способа решения данного неравенства.

1-й способ.

Приведем неравенство к виду (1):

-(5х+1)(х-5)>0,

(5x+1)(х-5)<0.

А теперь воспользуемся методом интервалов:

f(x) = (5x+1)(x-5), f(x) = 0 при х= , х = 5.

+ - +

-------1---------------1--------►х

5

f(x)<0 при х € (;-5). Ответ: (;-5).

2-й способ:

(5х + 1)(5-х)>0

Рассмотрим функцию f(x) = (5х + 1) (5 -х), D(f) = (-; + ).

Найдем нули функции: f(x) = 0 при = , х = 5.

Выясним знак функции в «крайнем правом» промежутке (5; + ). Для этого достаточно выяснить знак функции при каком-нибудь значении аргумента из этого промежутка, например, при х = 10.

f (10) = (5 10+1) (5-10) <0.

А далее воспользуемся свойством чередования знаков функции.

- + -

-------1---------------1--------►х

5

f(x)>0 при х € (; 5).

Пример 5. Решить неравенство (х² + 6) (4 - х) (х +) < 0.

В произведении (х² + 6) (4 - х) (х +) присутствует множитель х²+ 6, положительный при любых значениях х, поэтому данное неравенство равносильно неравенству (4-х) (х +) < 0. Решим его методом интервалов:

f(x) = (4-x)(x+);

- + -

---------1----------1--------►х

- 4

f(x) = 0 при х = 4, х =-

f(x) < 0 при х €(- ) ∩(4; Ответ: (- ) ∩(4;

Пример 6. Решите неравенство (х + 8) (х - 1)² (х - 5) < 0.

В левой части неравенства есть множитель (х - 1)², который принимает положительные значения при любых значениях х, кроме х=1.

Поэтому при всех х ≠1 произведение (х + 8) (х - 1)¹ (х - 5) имеет тот же знак, что и произведение (х + 8) (х- 5). Значит, данное неравенство равносильно системе (x + 8) (х - 5) < 0,

х ≠1 .

Решим неравенство (х + 8) (х - 5) < 0 методом интервалов:

+ - +

--------1------1------►х

-8 5

f(x) = (х + 8) (х - 5) < 0 при х € (-8; 5).

Чтобы найти все решения неравенства (х + 8) (х - 1)² (х - 5) < 0, нужно из промежутка (-8; 5) исключить число 1, получим (-8; 1) и (1;5).

Ответ: (-8; 1)и(1;5).

Рассмотрим пример, опираясь на обобщенный метод.

Пример 7. Решите неравенство

(х + 7) (2х - 5)² (6 - х)⁵ (3х + 10)⁴ < 0.

Для решения неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой прямой отметим нули «левой части» неравенства. Выясним знак в «крайнем правом» промежутке: Р(100) < 0

+ - - + -

-------1-----1-----1-----1------►х

-7 6

При переходе через точку х = 6 знак меняем, т. к. показатель степени двучлена х - 6 нечетный; аналогично при переходе через точку х = . Справа от точки х= знак «-», значит, и слева знак «-», т. к. показатель степени двучлена (3х + 10) четный; при переходе через точку х = 7 знак меняем.

Решением неравенства является совокупность промежутков, где стоит знак «-».

х€(-7; -) и (-; -)^(6; +). Ответ: (-7; -) и (-; -)^(6; +).

Пример 8. Решим неравенство -3х²-5х+2>0 графически.

Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax²+bx+c, где a0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Графическое изображение.

a>0

a<0

D<0

D=0

х1,2=

х1,2=

D>0

х1,2=

х1,2=

Пример 9. Решите неравенство х² - 5х + 6 ≤ 0.

В школьном курсе математики квадратные неравенства чаще всего решают с помощью «схематичного» графика соответствующей квадратичной функции.

Решим неравенство методом интервалов:

х2- 5х + 6 = 0 при х1 = 2, х2 = 3,то есть х² - 5х + 6 = (х -2) (х -3).

Мы разложили квадратный трехчлен на множители, данное неравенство равносильно неравенству (х - 2) (х - 3) ≤ 0.

+ - +

-------1--------1-------►х

2 3

f(x) = (x-2)(x-3)≤0 при x € [2;3]. Ответ: [2;3].

Пример 10. Решите неравенство х⁷ + 8х⁴ – х³ - 8 > 0.

Решение

Разложим на множители многочлен в левой части неравенства: х⁷ + 8х⁴ – х³ – 8 = (х⁷ + 8х⁴) - (х³ + 8) = х⁴ (х³ + 8) – (х³ + 8) = (х³ + 8) (х⁴ - 1) = (х + 2) (х²- 2х + 4) (х²+1) (х² - 1).

Таким образом, нам необходимо решить неравенство:

(х + 2)(х²-2х + 4)(х² + 1)(х-1)(х + 1) > 0.

х² + 1 > 0 при любых действительных х;

х² - 2х + 4 > 0 при любых действительных х, т. к. Д = (-1)² - 4 = = 1-4 = -3<0

и а=1 >0; значит, данное неравенство равносильно неравенству (х + 2) (х - 1) (х + 1) > 0.

Применим метод интервалов:

- + - +

------1------1------1--------►х

-2 -1 1

f(x) = (х + 2) (х- 1) (х + 1) > 0 при х €(-2; -1) и(1; +). Ответ: (-2; -1) и (1; + ).

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

№ 1. Решите квадратные неравенства двумя способами:

а) (х-2)(х+4)>0, в) x²-3x+2<0,

б) (x-3)(x+5)<0, г) x²-2x-3>0.

№ 2. Решите неравенства (любым способом):

а) х² – 5х > 0, д) 4х ≤ -х²

б) х² > 25х, е) ¹/3х² > ¹/9

в) х² – 36 < 0, ж)

г) 3х² + х + 2 > 0, з)

№ 3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства х² + 7х ≤ 30.

№ 4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства 3х – х² > -40.

№ 5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

а) в) б) г)

№ 6. Равносильны ли неравенства:

а) х² + 6х – 16 < 0 и х² + 6х - 16 ≤ 0;

б) и

№ 7. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

а) 15 – х² + 10х ≥ 0, б) х² + 5х – 8 < 0.

№ 8. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х² – 2рх – р + 6 = 0

а) имеет 2 различных корня; б) имеет 1 корень; в) не имеет корней.

III. Подведение итогов.

Тест.

В – 1. В – 2.

1. Сколько решений неравенства содержится среди чисел:

2х² + 7х – 4 < 0 х² – 7х – 8 < 0

-3; 0; 1; 2,5. -3; 0; 1; 2,5.

а) ни одного; б) 1; в) 2; г)3.

2. Решите неравенство:

1 – х² < 0. 9 – х² > 0.

а) х > 1, в) х < 1, а) х > 3, в) -3 < х < 3,

б) х < -1, г) х < -1; х > 1. б) х < -3, г) х < -3, х > 3.

3. Решите неравенство:

2х² + 7х – 4 < 0. 3х² - 4х + 7 ≥ 0.

а) [½; 4], в) (-½; 4), а) [-1; 2⅓], в) (-1; 2⅓),

б) (-4; ½), г) (-∞; -4) U (½; +∞). б) (-∞; +∞), г) (-2⅓; 1].

4. Найдите область определения функции:

у= у=

а) (0; 3) U (4; +∞) в) (-∞; 0) U [3; 4) а) [-5; -2] в) (-∞; -5] U [2; 1) U (1; +∞)

б) [0; 3] U [4; +∞) г) (0;3) б) [1; +∞) г) [-5; -2] U [1; +∞)

Ключ к тесту:

1

2

3

4

В-1

в

г

б

б

В-2

г

в

б

г

II. Подведение итогов, коррекция знаний и умений учащихся.

Занятие № 14-15. Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Цели занятия:

- повторить понятия «рациональное неравенство», «дробно-рациональное неравенство»;

- продолжить формирование умения решать квадратные, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов;

- развитие самостоятельности, рефлексивных умений, умений самоконтроля.

Ход занятия:

1. Теоретический материал.

Рациональные и дробно-рациональные неравенства - это неравенства вида Рn(x)>0, , , где Pn(x), Qm(x) –многочлены степеней n и m.

Осуществляется переход к равносильному неравенству Pn(x)∙ Qm(x)>0 и Pn(x)∙ Qm(x)<0. Для решения рациональных дробно-рациональных неравенств обычно применяется метод интервалов.

Метод интервалов часто применяется и при решении квадратных неравенств.

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Пример 1. Решите неравенство >0.

Это неравенство равносильно неравенству (х -7)(х + 2)> 0.

Действительно, дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака, то есть двучлены х - 1 и х+ 2 либо оба положительны, либо оба отрицательны. Но в таком случае и их произведение положительно. Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию f(x) = (х-7)(х + 2).

f(x) = 0 при х= -2, х2 = 7.

+ - +

------1-------1-------►х

-2 7

f(x) > 0 при х€ (-; - 2)u(7; +) . Ответ: (-; -2)и(7; +)

Пример 2. Решите неравенство .

Учитывая, что при любых действительных значениях х (х² + 1) положительно, данное неравенство равносильно неравенству

.

Отметим на числовой прямой нули функции, задаваемой левой частью неравенства; определим знак ее в «крайнем правом» промежутке, а далее будем чередовать знаки, учитывая четность-нечетность степеней сомножителей:

+ - - - + +

-----------1----1---------1----1-------1------►х

-2 -1 1 3

х€(-2;-l) u (-l;l) u (l;). Ответ: (-2;-1) и (-1; 1) и (1;).

Пример 3. Решите неравенство 0.

Решение

В отличие от случая, рассмотренного в предыдущих примерах, неравенства (х+ 4) (х + 11) < 0 не равносильны, т. к. х = 11 является решением второго неравенства, но не является решением первого неравенства (при х = 11 дробь не имеет смысла).

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе условий.

(х+ 4) (х + 11) ≤ 0,

х≠11

Далее решим по методу интервалов.

+ - +

------1-------1------►х

-4 11

f(x) = (x + 4)(x-11),

f(x)≤0 при x € [-4; 11). Ответ: [-4; 11).

Пример 4. Решите неравенство 0.

Решение

Данное неравенство равносильно системе условий:

(х²-5х + 6)(4-х) 0

≠0

(х-2)(х-3)(4-х)(х + 2)(;с+1) ≤ 0,

х≠-2,

х≠-1.

Решим неравенство (х - 2) (х - 3) (4 - х) (х + 2) (х + 1) ≤0 методом интервалов:

+ - + - + -

------1------1------1------1------1------►х

-2 -1 2 3 4

х € (-2;-1) и [2; 3] и [4; +). Ответ: (-2; -1) и [2; 3] и [4; + ).

Решите неравенства:

1) x²-4x+3<0; 7) (х²-7х+12)(х²-х+2)≤0;

2) х²-3х+2≤0; 8) ;

3) 2x²+7x-4<0; 9) ;

4) 3х²-5х-2>0; 10) ;

5) 4x²-4x+1≥0; 11) .

6)

III. Задания для самостоятельного решения.

Для развития самостоятельности, рефлексивных умений, проведения самоконтроля, учащимся может быть предложена самостоятельная работа или тест по решению квадратных, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов.

Самостоятельная работа.

В – 1. В – 2.

Решите неравенства:

(2 – х )(х + 3) ≥ 0, (1 – х) (х + 4) > 0,

4х² + 4х + 1 ≤ 0, 9х² + 6х + 1 > 0,

х – х² – 1 ≥ 0, 3х -х² – 1 ≥ 0,

(х + 4)²(х – 2) < 0, (х – 2)²(х + 1) > 0,

Тест.

В – 1. В – 2.

1. Решить неравенство:

х² – 2х – 3 < 0. х² – 3х – 4 > 0.

а) -1 < х < 3; в) х < -1, х > 3; а) -1 < х < 4; в) х < -1, х > 4;

б) -3 < х < 1; г) х < -3, х > 1. б) -4 < х < 1; г) х < -4, х > 1.

2. Решить неравенство:

х² < 9. 16 > х².

а) х < 3; в) -3 < х < 3; а) х < 4; в) х < 4;

б) х < -3; г) х < -3, х > 3. б) -4 < х < 4; г) х < -4, х > 4.

3. Решить неравенство:

^{. .}

а) х < 2; в) 0 < х < 2; а) х ≤ 3; в) 0 < х ≤ 3;

б) х > 2; г) х < 0, х > 2. б) х > 3; г) х > 2.

4. Найдите натуральное значение параметра р, при котором множество решений неравенства содержит пять целых чисел:

(1 + х)(р – х) ≥ 0. х(х – р) ≤ 0.

а) 1; в) 3; а) 1; в) 4;

б) 2; г) 4. б) 2; г) 3.

5. Найти область определения функции: -13-

у = . у =

а) (-1,1; 0) U (1,2; +∞); в) (-∞; 0) U [1,2; +∞); а) [-∞; -3]; в) (-∞; -3] U [3; +∞);

б) [-1,1; 0] U [1,2; +∞]; г) (0;1,2). б) [3; +∞); г) (-∞; -3) U (3; +∞).

Ключ ответов к тесту:

1

2

3

4

5

В-1

а

в

г

в

б

В-2

в

б

в

в

в

IV. Подведение итогов.

Занятие № 16. Решение иррациональных неравенств.

Цели занятия:

- повторить понятие «иррациональное неравенство»,

- повторить алгоритм и отработать навык решения иррациональных неравенств базового уровня сложности.

Ход занятия:

1. Теоретический материал.

Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся только под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам. Освободить иррациональное неравенство от корней иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень корня. Помни: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получается неравенство, которое будет равносильно исходному лишь тогда, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо решить иррациональное неравенство.

Пример 1. . ОДЗ: х-5 ≥0, х≥5.

Возведем обе части неравенства в квадрат, получим x-5<1, x<6. Учитывая ОДЗ, изобразим решение на числовой прямой: [pic] . Ответ: [5; 6).

Пример 2. ОДЗ: -х≥0, х≤0

Разделим обе части неравенства на неотрицательное выражение, получим

(х+1) > 0, х+1>0, x>-1.

Найдем пересечение полученного множества с ОДЗ: [pic] . Ответ: (-1; 0].

Пример 3. . ОДЗ: х≥0.

Левая часть неравенства неотрицательная, правая часть отрицательная. Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых значениях х.

Ответ: [0; +∞).

Пример 4. . ОДЗ: 9х-20≥0, 9х≥20, .

С учетом ОДЗ правая часть неравенства тоже неотрицательная. Значит, обе части неравенства можно возвести в квадрат:

9x-20<x²; x²-9x+20>0, x²-9x+20=0, x1,2=, x1=5, x2=4.

x²-9x+20= (x-5)(x-4), (x-5)(x-4)>0, решив неравенство методом интервалов, получим: x<4, x>5.

Ответ: (-∞;4) U (5;+∞).

Пример 5. . ОДЗ: x+61≥0, x≥ -61.

Правая часть неравенства при x≥ -61 может быть отрицательна. Рассмотрим два случая:

1) х+5≥0, х≥-5, тогда обе части неравенства неотрицательные и обе части можно возвести в квадрат: x+61<x² + 10x+25, x²+9x-36>0, x²+9x-36=0, х1,2=, х1=3, х2=-12, тогда x²+9x-36= (х-3)(х+12).

Решив неравенство (х-3)(х+12)>0 методом интервалов [pic] , получим: x<-12, x>3. Найдем пересечение данного множества с множеством х≥-5 и с ОДЗ, получим x>3.

[pic]

2) x+5<0, x<-5, при этом правая часть неравенства отрицательная. Такое неравенство не верно, т.е. рассматриваемый промежуток не содержит решений исходного неравенства.

Ответ: (3; +∞).

Пример 6. . ОДЗ: x+7

Правая часть неравенства может быть отрицательной. Рассмотрим 2 случая:

1. x+1 х≥-1. Тогда х+7>(х+1)²; x+7> x²+2x+1, x²+x-6<0.

x²+x-6=0, x1,2= х1=2, x2=-3.

Решив неравенство (x-2)(x+3)<0 методом интервалов, получим -3<x<2. Найдем пересечение найденного решения с множеством х≥-1 и ОДЗ, получим хє[-1;2).

2. x+1<0, x<-1. Правая часть неравенства отрицательная, значит исходное неравенство верно при всех действительных значениях х, входящих в ОДЗ. Значит, 7.

3. Ответом будет объединение множеств значений переменной х, полученных в обоих случаях.

Ответ: [-7; 2).

Пример 7. (x-1) . ОДЗ: x²-x-2≥0, х≤-1, x.

1) Корнями уравнения (x-1) являются x1=-1, x2=1; x3=2.

2) Найдем решение строгого неравенства (x-1). Разделим обе его части на Получим: х<1.

Окончательное решение исходного неравенства видно из рисунка: [pic]

Ответ: (-∞; -1), х=2.

Пример 8. Найдите область определения функции

a) у=

б) у=

Область определения функции.

Если функция задана формулой, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Целая рациональная функция определена на множестве действительных чисел, то есть D(f) = (- со; + со); дробная рациональная имеет смысл при всех тех значениях аргумента, при которых знаменатель (знаменатели) дроби отличен от нуля. Функция, содержащая радикал четной степени, определена при условии, что покоренное выражение неотрицательно.

Решение

а) =

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным (D() = [0; + ), то х(х - 1,2) (х + 1,1) 0. Применим метод интервалов.

Найдем нули функции f(x) = х(х - 1,2) (х + 1,1): f(х) = 0 при х1 = 0, х2= 1,2;

х3= -1,1.

- + - +

-------1-----------1----------1-----------►х

-1,1 0 1,2

f(x) ≥0 при x € [-1,1; 0] и [1,2;+ )

Ответ: D(y) = [-1,1; 0] и [1,2; + ).

б) у=

Так как D() = [0; + ), то (х² + 4) (х² - 9) > 0.

(х - 3) (х + 3) 0, поскольку х² + 4 > 0 при любых действительных значениях х.

+ - +

-----1--------------1-------►х

-3 3

Д (у) = (-;-3]и [3; + ).

Пример 9. При каких значениях х имеет смысл выражение

Решение:

Выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда ,

х(1 — х) ≥ 0. Решим неравенство методом интервалов.

х(1 — х) = 0, х = 0 или 1 - х = 0, х = 4

- + -

-----1-------1------►х

1. 4

Выясним знак выражения в «крайнем правом» промежутке, например, при х = 100: 100(1- 100) < 0. А далее чередуем знаки.

Выражение имеет смысл при х € [0; 4].

Пример 10. Найдите область определения функции у=

Решение

Данная функция дробная, содержащая иррациональность в числителе дроби, значит, область определения функции обусловлена системой:

3х²-х-14≥0,

2х+5≠0.

Решим неравенство 3х² -х - 14 ≥ 0 методом интервалов.

Найдем нули функции f(x) = 3х² - х - 14:

3х²-х-14 = 0,

Д = (-l)²-4∙3∙(-14)=169,

Х1,2=; х1= -2; х2=

3х² -х - 14 = 3(х + 2) (х-); (х + 2) (х - ) ≥ 0.

+ - +

----1------1------►х

-2

f(x)≥0 при х € (- ; -2] и [; + ).

Надо учесть, что 2х + 5 ≠0, х ≠-2,5.

---------1----------1-----------1-------►х

-2,5 -2

D(y) = [-; -2,5) и (-2,5; 2] u [; ).

II. В конце занятия учащимся целесобразно предложить домашнее задание.

Решите неравенства:

1) , 3) ,

2) (х-1), 4) .

III. Подведение итогов.

Занятие № 17. Решение неравенств, содержащих модуль.

Цели занятия:

- повторить решение неравенств, содержащих знак модуля;

- закрепить изученный материал в ходе решения упражнений;

- развитие интеллектуальных способностей, обобщенных умственных умений.

Ход занятия:

3. Теоретический материал.

Неравенства, содержащие знак модуля, следующего вида:

(1) (3)

(2) (4)

Решить неравенства можно тремя способами. Например, рассмотрим решение неравенства :

2 способ

3 способ

а рассматривается как расстояние на координатной прямой.

Пример:

,

- расстояние между точками х и 1

Ответ: (-1;3).

Если а>0, то и а возводим в квадрат.

Если а<0, то (1) и (2) верны всегда, а (3) и (4) не имеют решений.

Пример:

,

(x-1)²<4,

х²-2x-3<0,

-1<x<3.

Ответ: (-1;3).

По определению модуля:

Пример:

или

1≤х<3. -1<x<1. Объединяем оба решения.

Ответ: (-1;3)

Опорные неравенства

1) 3)

2) 4)

II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

1. Решить неравенство 2-м способом:

(x+4)²≥1 <=> x²+8x+16≥1 <=>x²+8x+15≥0 <=>(x+3)(x+5)≥01 <=>x≤-5; x≥-3.

Ответ: (-∞;-5) U (-3; +∞).

2. Решить неравенство 1-м способом:

[pic]

3. Решить неравенство и указать наименьшие целые положительные решения:

x=-2 и x=2 точки, обращающие один из модулей в ноль (критические точки).

1) при х<-2 получим: -x+2-x-2≤4, -2x≤4, x≥-2. Неравенство на этом

промежутке не имеет решения.

2) при -2≤x<2 получим: -x+2+x+2≤4. 0∙x≤0, хєR. Решением неравенства

является промежуток -2≤х<2.

3) при х≥2 получим: х-2+х+2≤4, 2х≤4, х≤2. Решением неравенства

является х=2.

Ответ: [-2;2]; 1.

Задания для самостоятельного решения.

1. . Ответ: нет решений.

2. . Ответ: нет решений.

3. . Ответ: -8<x<2.

4. . Ответ: x<-2, x>0.

5. . Ответ: (-∞;-5) U (3;+∞).

III. Подведение итогов.

Занятие № 18. Урок – практикум.

Цели занятия:

- отработка умений и навыков решения различных видов неравенств;

- коррекция умений, полученных на занятиях;

- развитие самостоятельности, умений самоконтроля.

Ход занятия:

1. Актуализация опорных знаний учащихся.

2. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений.

1 уровень (базовый).

Решите неравенства:

1. 6-8x≥5x+19. Ответ: (-∞;-1].

2. 3x-11<7x+9. Ответ: (-5;+ ∞).

3. 7-2x<-23-5(x-3). Ответ: x<-5.

4. 8x+12>4-3(4-x). Ответ: x>-4.

5. 1-3x≤2x-9. Ответ: x≥2.

6. 7-5x≥-11-11x. Ответ: x≥-3.

7. (2-x)(x+3)≥0. Ответ: [-3;2].

8. (1-x)(x+4)>0. Ответ: (-4;1).

9. x²<0,81. Ответ: (-0,9; 0,9).

10. x²≥0,04. Ответ: (-∞;-0,2] U [0,2;+ ∞).

11. 4x²≤1. Ответ: -0,5≤x≤0,5.

12. . Ответ: (-∞;-3] U [3;+ ∞).

13. (x-2)²(x+1)>0. Ответ: (-1;2) U (2;+∞).

14. 9x²+6x+1>0. Ответ: (-∞;-)U .

15. . Ответ: x≤-2,4; x≥4,4.

16. . Ответ: .

17. . Ответ: x>2,5.