Исследовательская работа Шифры и математика

«EXCELSIOR - 2016»

Секция Математика

Шифры и математика

Шарифова Мадина Хасановна

МБОУ «Новобайбатыревская СОШ»,

Яльчикский район, 8 класс

Научный руководитель:

Быкова Тамара Анатольевна,

учитель математики и физики

МБОУ «Новобайбатыревская СОШ»,

Яльчикский район

Введение

Каждый из нас смотрел сериалы: «Приключения Шерлока Холмса и Доктора Ватсона», «Семнадцать мгновений весны», где использовались зашифрованные тайные сообщения. А также мы все слышали про какие-то шифры или хотя бы раз в своей жизни каждый человек хотел зашифровать свои записи, сделать их понятными лишь немногим, тем более в наши дни, в век компьютеризации.

Шифр – какая-либо система преобразования текста с секретом для обеспечения секретности передаваемой информации. Криптография – одна из старейших наук, изучающая шифры. Проблема защиты информации путём её преобразования, исключающего её прочтение посторонним лицам, волновала человеческий ум с давних времён. Как только люди научились писать, у них сразу же появилось желание сделать написанное понятным не всем, а только узкому кругу людей. Даже в самых древних памятниках письменности учёные находят признаки намеренного искажения текстов.

В современное же время шифры применяются для тайной переписки дипломатических представителей со своими правительствами, в вооруженных силах для передачи текста секретных документов по техническим средствам связи, банками для обеспечения безопасности транзакций, а также некоторыми интернет-сервисами по различным причинам.

Криптография, а именно методы шифрования и расшифровки информации вызвала у меня большой интерес. Возможность преобразовать текст так, чтобы никто не понял прочитанного кроме тебя – очень увлекательна. Именно поэтому я выбрал столь сложную, но с другой стороны интересную для меня тему. Эта тема меня очень заинтересовала, и возник вопрос, причем здесь математика? Как знания математики помогают в шифровании. Я решила более подробно рассмотреть этот вопрос.

Актуальность темы я вижу в том, что независимо от сферы деятельности человека тайнопись, шифры, кодовые слова и условные знаки могут понадобиться каждому в любой момент. Общаясь с помощью шифров (тайного письма), граждане и должностные лица обезопасят себя от аферистов и других злоумышленников.

Объект исследования: шифры – как серьезные логические задачи

Предмет исследования: математические идеи и методы и их применения в кодировании и шифровании.

Цель научно-исследовательской работы: узнать, как давно люди пользуются шифрами и кодами, изучение особенности секретного письма и приемов его создания.

Для достижения цели были поставлены конкретные задачи:

- изучить литературу по теме;

- узнать, что такое тайнопись;

- выявить какие бывают способы и средства шифрования;

- рассмотреть некоторые известные шифры;

- показать некоторые связи между математикой и шифрованием;

- составить собственный шифр или код, и показать его использование.

Для реализации поставленных задач были использованы следующие методы исследования: поисковый, описательный, анализ имеющихся кодов и шифр, метод анализа и обобщения.

Основная часть

Одним из составных элементов сохранения тайны является - КОДИРОВАНИЕ, ШИФРОВАНИЕ. Но еще до введения в обиход данного понятия человек пользовался сокрытием информации с помощью доступных для своего времени способов. Без тайн не может быть не только государства, но даже малой общности людей - без них нельзя выиграть сражение или выгодно продать товар, одолеть своих политических противников в жесткой борьбе за власть или сохранить первенство в технологии.

В документах древних цивилизаций - Индии, Египта, Месопотамии есть сведения о системах и способах составления шифрованных писем. Наибольшее развитие в это время криптография получила в полисах Древней Греции, а позже в Риме. Так, наиболее распространенным и получившим широкую известность в античном мире шифром замены является ШИФР ЦЕЗАРЯ.

Первые шифры были не очень сложными. Например, русские дипломаты ΧV-XVI веков применяли так называемую «тарабарскую грамоту», или как её ещё называли «хитрую лотерею», в которой все гласные буквы оставались неизменными, а согласные заменялись одна другой по следующей схеме (Приложение 1). (В первой строке согласные идут в обычном порядке, а во второй строке – в обратном). Например, вместо «Великий государь» получалось «Шеситий чолуцамь».

При шифровании должны выполняться определённые условия. Во-первых, различные буквы должны обозначаться разными знаками: иначе получатель должен будет гадать, какую букву обозначает то или иной знак. Далее, шифр должен быть трудноразгадываем – лёгкие шифры можно применять лишь при условии, что у противника нет времени на разгадку. Наконец, секретность шифра должна сочетаться со сравнительной несложностью операции кодирования: иначе на них уйдет, столько времени, что переданная информация устареет. А если раскодирование потребует слишком много усилий, то можно оказаться в положении легендарного писца. Он писал за плату письма на восточном базаре, но при этом взимал плату ещё и как гонец. Дело было в том, что написанное им никто, кроме него самого, понять не мог. «Тарабарская грамота» относиться к шифрам, в которых каждая буква заменяется определённым знаком - другой буквой, цифрой или изображением.

Поскольку в каждом шифре применяют конечное число различных знаков, то их можно перенумеровать и вместо самих знаков использовать их номера. Будем для простоты рассматривать шифры, в которых нет избыточности. Тогда число знаков равно числу букв в алфавите плюс знаки, обозначающие пробел между словами, точку, запятую, тире. Для русского языка можно обойтись 35 знаками: 31 буква (е,ё, а также ь, ъ не различаются), пробел, точка, запятая, тире. При шифровании каждая буква или знак заменяются иной буквой или знаком. Но вместе букв и знаков можно брать соответствующие им числа. Тогда шифрование сведётся к тому, что вместо одних чисел, соответствующих исходной букве или знаку, надо взять другое число. Например, напишем такую таблицу (рисунок 2). В таблице показано (жирным курсивом), каким числом заменяется каждое из 35 чисел. Слово «стол» теперь зашифруется так: сначала записывается это слово числами 18, 19, 15, 12. А теперь смотрим в нашу таблицу и видим, что числу 18 соответствует число 10, то есть буква «й», числу 19- число31, то есть буква «я», числу 15 число 20, то есть буква «у», а числу 12-число 6, то есть буква «е». Получаем слово «йяуе». Попробуйте догадаться, что оно означает «стол»! Но запомнить наизусть такую таблицу, чтобы пользоваться ею при шифровании, очень трудно, а хранить её при себе по понятным причинам весьма нежелательно. Лучше иметь простое правило, позволяющее для каждого числа находить соответствующее ему число. А такие правила дают методы математики: ведь нет ничего лучшего для распутывания всяких сложностей, чем использование математических методов.

Математика издавна применялась в теории шифров. Еще в конце XVI века расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха Ш занимался один из создателей современной алгебры Франсуа Виет. А английские монархистские заговорщики в XVII веке поражались быстроте, с которой Кромвель проникал в их замыслы. Они думали, что используемые ими шифры невозможно разгадать, и считали, что ключи к ним выдал кто-то из участников заговора. Лишь после падения республики и воцарения Карла II узнали, что все эти шифры разгадывал один из лучших математиков того времени профессор Оксфордского университета Валлис, который считал себя основателем новой науки – криптографии.

Кроме замены букв другими буквами или числами, применяются методы шифрования, основанные на перестановке букв. Например, можно поступить следующим образом. Возьмём квадратную таблицу с чётным числом строк и столбцов. Если поворачивать её вокруг центра на 90˚, клетки будут переходить одна в другую. На рисунке (а) ( в приложении рисунок 3) клетки, входящие в одну и ту же орбиту, обозначены одним и тем же номером. А теперь выбираем произвольным образом в каждой орбите по одной клетке и вырежем выбранные клетки. Получиться решетка (рис.б). Если мы хотим зашифровать сообщение, то накладываем решетку на бумагу и вписываем в «окошки» по порядку буквы сообщения. Потом поворачиваем решетку вокруг центра на 90˚ и вписываем продолжение сообщения в открывшиеся окошки. Продолжаем таким же образом заполнять таблицу, записываем весь текст. А теперь достаточно записать получившееся сообщение по строкам, чтобы его было весьма трудно прочесть.

Например, из предложения «Приходите завтра вечером к семи часам. Иван» с помощью решетки, показанной на рисунке б, получается «печарзасрвиаохммтокирдсиасвевантечен».

Конечно, получатель сообщения должен для расшифровки знать таблицу, с помощью которой шифровали послание. Он записывает сообщение в виде таблицы, накладывает на него решетку и читает часть текста. Потом поворачивает решетку и продолжает так делать, пока не прочтёт зашифрованное письмо. Возникает естественный вопрос: а как же ему запомнить эту решетку? Ведь держать её при себе нежелательно. Но здесь на помощь приходит двоичная система счисления. Заменим выделенные клетки на рисунке б единицами, а белые – нулями. Получим такие записи: 100000, 001010, 010001, 000101, 000000, 010010. Но в двоичной системе счисления запись 100000 означает число 32, запись001010 – число 10, 010001 – число 17, 000101 – число 5, 000000 – число 0 и 010010 – число 18. Так что запомнить надо только шесть чисел: 32, 10, 17, 5, 0, 18. По ним нужная решетка мгновенно восстанавливается.

Ещё более сложные шифры можно получить, комбинируя, например, метод решетки с тарабарской грамотой. Но и они не составят большой загадки для опытного дешифровальщика.

В течение жизни шла борьба изобретателей всё новых шифров с разгадывателями этих шифров. Во время второй мировой войны этой работой занимались лучшие математики воюющих стран. Например, одним из лучших дешифровальщиков в Англии был известный математик Алан Тьюринг. В то время ещё не было быстродействующих вычислительных машин, но Тьюринг понял, что такие машины были бы хорошими помощниками в его занятиях. Сейчас для шифровки и расшифровки широко используется электронная техника, многие глубокие математические теории.

Мы рассмотрели различные шифры, связанные с разными арифметическими операциями над номерами букв. У всех этих шифров есть один существенный недостаток: каждая буква переходит в один и тот же знак, где бы эта буква ни стояла в письме. Для расшифровки таких ходов можно применить методы, основанные на подсчете частот букв. Каждой букве русского алфавита и знаку пробела соответствует определённая частота, с которой они (в среднем) встречаются в длинных текстах (рисунок 4). Из таблицы видно, что чаще всех букв в тексте встречается буква «О», реже - буква «Ф».

Если подсчитать для каждого знака частоту, с которой он встречается, то можно судить, что этот язык означает. Например, знак, попадающийся чаще всего, имеет много шансов оказаться пробелом или буквой «О». Можно изучать и комбинации соседних знаков – чаще всего рядом с гласной буквой стоит согласная. Даже не в слишком длинном тексте можно без труда отделить знаки для согласных букв от знаков для гласных. Такие соображения облегчают разгадку кодов, основанных на простой замене букв знаками.

Чтобы усложнить разгадку, применяют шифры «по книге»: числа кода означают номера строк и букв на определённой странице некоторой книги, причём номер страницы можно менять в зависимости от даты составления послания. Не зная, какая это книга, раскрыть тайну кода очень трудно.

Шифры и комбинаторика. Поскольку множество различных знаков, применяемых в данном шифре, является конечным, его элементы можно перенумеровать и вместо самих знаков использовать их номера. Будем для простоты рассматривать шифры, в которых нет избыточности. Тогда число знаков равно числу букв в алфавите, а также таких знаков, как пробел между словами, точка, запятая. Для русского языка можно обойтись 35 знаками: 31 буква (е, ё, и ь, ъ не различаются), пробел, точка, запятая, тире. Если число знаков, используемых при шифровании, также равно 35, то каждый такой шифр задается взаимнооднозначным отображением одного множества из 35 элементов на другое такое множество. В комбинаторике доказывается, что число таких отображений равно 35!, то есть произведение натуральных чисел от 1 до 35. Это настолько громадное число, что его трудно себе представить, - оно примерно равно 10⁴⁰. Иметь дело с произвольными отображениями f множества букв алфавита и знаков препинания A={a1, a2, …, a35} на множество знаков шифра B={b1, b2, …, b35} не слишком удобно: запомнить такое отображение трудно, а хранить при себе таблицу отображения – «ключ» шифра – нежелательно. Лучше иметь какое-нибудь простое правило, позволяющее по k найти f (k). А такие правила дают методы математики – ведь нет ничего лучшего для распутывания всяких сложностей, чем использование математических методов.

Классические шифры. Хотя некоторые зашифрованные тексты находят при изучении самых древних цивилизаций, достоверно описанные способы шифрования дошли до нас только от античных времён. Например, в древней Спарте было изобретено специальное устройство для шифрования текстов – сцитала (рисунок 5). Сцитала представляла собой стержень, на который плотно, виток к витку наматывали ленту, затем на ней писали текст, располагая его вдоль оси стержня. Когда ленту снимали с цилиндра, на ней оставалась цепочка букв, на первый взгляд, совершенно беспорядочная. У получателя шифровки (рисунок 6) был такойже цилиндр, на который он наматывал полученную ленту, после этого текст опять становился понятным.

Другой известный с античности шифр называется по имени древнеримского императора Гая Юлия Цезаря, который любил его применять, шифром цезаря. Это шифр (рисунок 7) тоже был устроен очень просто: каждая буква алфавита заменялась на другую, стоящую в алфавите на 3 места дальше.

Пример 1: Шифр, в котором одни буквы заменяются другими. Таблица перекодировки:

Ж  Ш К  Г

И  Ы С  З

Л  Р Е  Э

Б  П Н  М

У  Ю О  Е

А  Я

Исходный текст: Жил-был у бабушки серенький козлик

Зашифрованный текст: Шыр-пир ю пяпюжгы зэлэмгый гёсрыг

Пример 2: Шифр, в котором каждой букве соответствует ее порядковый номер в алфавите. Букве А соответствует 1, букве Б – 2 и так далее.

Исходный текст: МАТЕМАТИКА Зашифрованный текст: 14 1 20 6 14 1 20 10 12 1

Пример 3: Шифр, в котором меняются местами слоги: первый со вторым, третий с четвертым и т.д. Исходный текст: Очевидность – постоянный враг точности

Зашифрованный текст: Чеоновидсть – топосныйян гарв ноточести

Пример 4: Шифр, в котором после каждого слога добавляется какое-то сочетание букв (дополнительный слог). Например, добавим слог “Пи”. Исходный текст: Математика – царица наук. Зашифрованный текст: Пимапитепимапитипика – пицапирипица пинапиук

Задачи: Задание 1. На рисунке вы видите панель телефона. С помощью цифр зашифровано слово. Чтобы расшифровать его, нужно вместо каждой цифры написать одну букву соответствующей клавиши. Например, 4161755 расшифровывается словом «марафон» (см. рисунок 8). Пользуясь этим шифром, расшифруйте пословицы:

123 5174 414 123 674; 222 7562592, 614 3 742592;

1 74553 126222 – 7415634 75369, 1 1 247553 – 3 6153 616626069;

865 40204 553241289, 62 3 614 554781289. Ответ: «Без наук как без рук»; «Где хотенье, там и уменье»; «В умной беседе – ума прикупить, а в глупой – и свой растерять»; «Что людям пожелаешь, то и сам получаешь».

Задание 2. Клоун услышал о том, что для передачи секретных сообщений иногда буквы шифруют, т. е. заменяют цифрами. Он решил тоже зашифровать буквы, чтобы рассказать публике «секретную» сказку. Первую букву А он зашифровал цифрой 1,вторую букву Б – цифрой 2, и т. д. Зашифровав девятую букву цифрой 9, клоун запнулся. Ведь осталась только цифра 0, а буквы с нулевым номером нет. « Ничего, обойдусь и этими!- подумал клоун.- И из них немало слов получиться».

Задание 3. Клоун догадался, что шифровать можно не только буквы цифрами, но и цифры буквами. Он решил воспользоваться своим шифром из задания 4, только наоборот: цифру 1 шифровать буквой А, цифру 2- буквой Б и т.д. Зашифровав цифру 9 буквой з, он запнулся. Ведь для записи чисел нужна ещё цифра 0, а она не участвует в старом шифре. «Пусть цифра 0 шифруется следующей буквой-И,- решил клоун. -Ведь 0 часто перечисляют вслед за цифрой 9».

Заключение

Под шифром понимается совокупность обратимых преобразований множества открытых данных на множество зашифрованных данных. Самые важные составляющие любого шифра - это общее правило, по которому преобразуется исходный текст. Благодаря этой работе я узнал о связи шифров и математики. И о том, что с помощью различных математических методов можно зашифровать информацию.

Я считаю, что шифры – это одна из самых интересных и актуальных тем. Шифры использовались, используются и будут использоваться, т.к. они необходимы во многих областях и помогают людям решить те или иные логические задачи. Шифрование постоянно открывается обществу, т.к. были созданы системы, которые прогрессивнее предыдущих и позволяют разрешать серьезные задачи.

Литература и источники информации

Депман И.Я. «За страницами учебника математики» - Просвещение 1989 г.

Каратаева Т.А. «Час занимательной математики» - Москва 2003 г.

Карпенко А.Г. «Занимательные шифры-головоломки» - Журнал квант №5 1977 г.

Козина М.Е. «сборник элективных курсов по математике» - Волгоград 2006 г.

Шеврин Л.Н. «Учебник-собеседник по математике» - Просвещение 1989 г.

Приложения

Рисунок 1.

Я хотела бы предложить раскодировать фразу, которую я зашифровала сама: для этого сравните две таблицы. Прочитайте буквы в соответствии со следованием цифр и чисел в левой таблице, и вы сможете прочитать название моей темы.