[link] о шкатулках Порции). Все ее предки по материнской линии использовали только вполне обоснованные утверждения, а Порция N-я, желая подшутить над своим пылким поклонником, искусно использовала необоснованные утверждения. Та же ошибка встречается и в ряде доказательствах, приведенных в начале предыдущей главы.
256. Что вы скажете?
Вернемся к нашим добрым старым друзьям Беллини и Челлини из истории о шкатулках Порции. Эти два замечательных мастера не только изготовляли шкатулки, но и гравировали на их крышках различные надписи. Челлини на своих шкатулках гравировал ложные утверждения, а Беллини украшал крышки шкатулок своей работы истинными утверждениями. Предположим, что, кроме Беллини и Челлини, в те далекие времена никто не гравировал надписей на крышках шкатулок (их сыновья занимались изготовлением шкатулок, но не умели гравировать).
Вам встретилась шкатулка, на крышке которой выгравировано:
Эту надпись выгравировал Челлини
Чей это автограф? Если бы надпись оставил Челлини, то это означало бы, что он выгравировал истинное утверждение, и мы пришли бы к противоречию. Если бы надпись оставил Беллини, то это означало бы, что он выгравировал ложное утверждение, и мы опять пришли бы к противоречию. Кто же оставил надпись?
Вы не можете ответить на вопрос, сославшись на то, что утверждение "эту надпись выгравировал Челлини" не обосновано. Оно вполне обосновано. Оно сообщает нам некий исторический факт, а именно что эта надпись была выгравирована Челлини. Если надпись действительно была сделана рукой Челлини, то она истинна. Если ее сделал другой мастер, то она ложна. В чем здесь дело?
Трудность возникла из-за того, что я снабдил вас противоречивой информацией. Если бы вам действительно попалась в руки шкатулка с надписью "Эту надпись выгравировал Челлини" на крышке, то это означало бы, что либо Челлини в стародавние времена иногда гравировал не только ложные, но и истинные утверждения (вопреки тому, что я вам о нем говорил), либо по крайней мере, что некогда существовал какой-то другой мастер, гравировавший иногда на крышках шкатулок ложные утверждения (опять-таки вопреки тем сведениям, которые вы получили от меня). Следовательно, перед нами не подлинный парадокс, а своего рода жульническая проделка.
Кстати, вам все еще не удалось выяснить, как называется эта книга?
257. Утопить или повесить?
Эта головоломка известна довольно широко. Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным, преступника утопят. Если же оно будет ложным, преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?
258. Парадокс цирюльника.
Приведу еще один хорошо известный парадокс. В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя? Если цирюльник бреет самого себя, то тем самым он нарушает правило, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правило, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?
259. Что вы на это скажете?
Один из островов рыцарей и лжецов малонаселен: на нем живут только два туземца A и B. Они высказали следующие утверждения:
A: B - лжец.
B: A - рыцарь.
Кто такой A: рыцарь или лжец? A что можно сказать о B?
Решения задач 257, 258, 259.
257. Преступник должен сказать: "Я буду повешен".
258. Ничего: существование такого цирюльника логически невозможно.
259. В ответ на вопросы задачи вам следует заявить, что автор опять лжет! Описанная мною ситуация невозможна. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс Журдэна в слегка "загримированном" виде (см. задачу 254).
Если бы A был рыцарем, то B в действительности был бы рыцарем. Следовательно, A в действительности не рыцарь. Если бы A был лжецом, то B в действительности был бы не лжецом, а рыцарем. Значит, его утверждение было бы истинным, и A был бы рыцарем. Следовательно, A не может быть ни рыцарем, ни лжецом, так как и в том и в другом случае мы приходим к противоречию.
ОТ ПАРАДОКСА К ИСТИНЕ
Кто-то определил парадокс как истину, поставленную с ног на голову. Действительно, во многих парадоксах содержатся идеи, которые после незначительной модификации приводят к важным открытиям. Следующие три задачи могут служить убедительным подтверждением этого принципа.
260. Где подвох в этой истории?
Однажды инспектор Крэг посетил некую общину и побеседовал с одним из ее членов - социологом Макснурдом, который сообщил следующее:
- Члены общины организовали несколько клубов. Каждый член общины может состоять членом более одного клуба. Каждый клуб получает название в честь одного из членов общины. Никакие два клуба не названы в честь одного и того же члена общины, и имя каждого члена общины носит какой-то клуб. Член общины не обязательно должен быть членом клуба, носящего его имя. Всякого, кто состоит членом клуба, носящего его имя, мы называем номинабельным. Всякого, кто не состоит членом клуба, носящего его имя, мы называем неноминабельным. Самое удивительное в нашей общине - это то, что все неноминабельные ее члены входят в один клуб. (Видимо, в задаче пропущено условие о том, что номинабельные не могут входить в клуб неноминабельных)
Инспектор Крэг на миг задумался и внезапно понял, что Макснурд не очень силен в логике: в его истории концы не сходятся с концами. Почему?
Решение. B действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс цирюльника в новом обличье.
Предположим, что рассказанная Макснурдом история соответствовала бы истине. Клуб, объединяющий всех неноминабельных членов общины, назван в честь какого-то члена общины, например в честь Джека. Будем называть этот клуб для краткости просто клубом Джека. Сам Джек может быть либо номинабельиым, либо неноминабельным. И в том и в другом случае мы приходим к противоречию.
Предположим, что Джек номинабелен. Тогда Джек состоит в клубе Джека. Но состоять членами клуба Джека могут только неноминабельные члены общины, и мы приходим к противоречию. С другой стороны, если Джек неноминабелен, то он состоит членом клуба неноминабельных членов общины. Значит, Джек состоит членом клуба Джека, объединяющего всех неноминабельных членов общины. Но тогда Джек должен быть номинабельным членом общины. Следовательно, мы и в этом случае приходим к противоречию.
261. Нет ли в общине тайного агента?
Однажды инспектор Крэг посетил другую общину, где встретил своего старого друга социолога Макснаффа. Крэг знал Макснаффа со студенческой скамьи, (оба учились в Оксфорде) как человека, безукоризненно владеющего логикой. Макснафф рассказал Крэгу о своей общине следующее:
- Как и в других общинах, мы организовали у себя клубы. Имя каждого члена общины носит ровно один клуб, и каждый клуб назван в честь какого-нибудь члена общины. Каждый член нашей общины, вступая в клуб, может либо открыто заявить об этом, либо сохранить свое членство в тайне. Всякого, кто не заявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе, носящем его имя, мы называем подозрительным. Всякого, о ком известно, что он тайно состоит членом клуба, носящего его имя, мы называем тайным агентом. Наша община обладает одной прелюбопытнейшей особенностью: все подозрительные состоят членами одного клуба. (Опять-таки пропущено условие о том, что в клуб подозрительных не могут входить неподозрительные)
Инспектор Крэг после секундного размышления понял, что в отличие от предыдущей истории отчет профессора Макснаффа не содержит ни малейшего противоречия. Более того, выяснилось одно интересное обстоятельство: чисто логическим путем оказалось возможным определить, нет ли в общине тайных агентов.
Итак, нет ли в общине тайных агентов?
Решение. Клуб всех подозрительных назван в честь кого-то из членов общины, например в честь Джона. Будем называть этот клуб в дальнейшем клубом Джона.
Сам Джон либо состоит членом клуба Джона, либо не состоит. Предположим, что он не состоит. Тогда Джон не может быть подозрительным (так как всякий подозрительный член общины состоит членом клуба Джона). Это означает, что Джон во всеуслышанье заявил о своем членстве в клубе Джона. Следовательно, если Джон не состоит членом клуба Джона, то Джон во всеуслышанье заявляет о своем членстве в клубе Джона, и мы приходим к противоречию. Значит, Джон должен состоять членом клуба Джона. А поскольку каждый член клуба Джона подозрителен, то Джон должен быть подозрительным. Значит, Джон не объявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе Джона и в то же время состоит членом клуба Джона. Следовательно, Джон тайный агент или, попросту говоря, шпик!
Заметим, что если воспользоваться решением задачи 260, то эту задачу можно решить проще. Действительно, если бы в общине не было тайных агентов, то подозрительные ничем бы не отличались от неноминабельных, поэтому множество подозрительных обладало бы всеми свойствами множества неноминабельных членов общины. Значит, все неноминабельные члены общины состояли бы членами одного клуба. Но в задаче 260 мы доказали, что все неноминабельные члены общины не могут состоять членами одного клуба. Следовательно, предположение о том, что в общине нет тайных агентов, приводит к противоречию. Значит, в общине непременно должен быть тайный агент (хотя мы и не знаем, кто он).
На этих двух доказательствах отчетливо видно различие между так называемым "конструктивным" и "неконструктивным" доказательством. Второе доказательство неконструктивно: мы приходим к заключению, что в общине не может не быть тайных агентов, но из доказательства не следует, кто эти тайные агенты. В отличие от него первое доказательство конструктивно: оно позволяет установить, кто тайный агент (член общины по имени Джон), в честь которого назван клуб подозрительных.
262. Задача о Вселенной.
В одной Вселенной члены каждого множества обитателей состоят в своем особом клубе. Регистратор этой Вселенной хотел бы присвоить каждому клубу имя одного из обитателей так, чтобы никакие два клуба не были названы в честь одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя был клуб; названный его именем.
Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было бы только 5 обитателей, то числа клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было бы 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с n обитателями число клубов составляло бы 2^n. Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?
Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не состоит членом клуба, названного в его честь. Все неноминабильные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).
263. Задача об учтенных множествах.
Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.
У одного математика хранится "Книга множеств". На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1, 2, 3,..., n,...). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами. Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице "Книги множеств".
Решение. Пусть n - любое целое положительное число. Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.
Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице "Книги множеств". Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.
