Пояснительная записка
Рабочая программа курса составлена на основе программы элективного курса по математике «Уравнения и неравенства с параметрами» для 10-11 классов автора-составителя Л.К. Лушниковой.
Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения у учащихся. Это связано с тем, что решение задач с параметрами требует не только знания свойств уравнений и неравенств и умения выполнять алгебраические преобразования, но также логической культуры и хорошей техники исследования. Решение задач с параметрами открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых на любом математическом материале. Курс является предметно ориентированным, помогает учащемуся осознать степень своего интереса к предмету, оценить свои возможности и сделать осознанный выбор в пользу углубленного изучения математики или обычного курса. Представленная программа позволяет:сформировать умения решать задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию линейных и квадратных уравнений и неравенств, а также дробно-рациональных уравнений; повысить уровень логической культуры учащихся; дать навыки исследовательской деятельности учащихся..Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.
Задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ по математике и очень часто оказываются не по силам обучающимся. Появление таких задач на экзамене далеко неслучайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задач с параметрами невозможно) и уровень логического мышления учащихся.
Необходимость введения элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточно велика разница между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы.
Цель курса – научить учащихся методам решения задач с параметрами, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой - конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр - неизвестная известная, переменная постоянная величина.
В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения математики и подготовки учащихся к продолжению образования.
Курс имеет общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся. Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.
В результате изучения курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с параметрами, знать некоторые методы решения заданий с параметрами (по определению, по свойствам функций, графически и т. д.)
Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.
Задачи курса:
овладеть системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;
аналитическим и графическими способами решения задач с параметром;
приобрести исследовательские навыки в решении задач с параметрами;
продолжить формирование логического мышления учащихся;
Содержание тем учебного курса
Раздел 1. Знакомство с параметром(1ч)
Что такое задача с параметром? Понятие о параметре. Уравнение с параметром. Решение уравнения с параметром. Описание множества решений в уравнениях с параметром.
Раздел 2. Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметром(10ч)
Линейные уравнения с параметром. Зависимость решения линейного уравнения ах=b от коэффициента a и b. Линейные неравенства с параметром. Решение линейных уравнений и неравенств с параметром.
Квадратные уравнения с параметром. Квадратное неравенство с параметром. Исследование квадратных уравнений и неравенств с параметром. Использование графика квадратичной функции при решении квадратных уравнений и неравенств с параметром.
Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Задачи с условиями.
Задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения относительно заданных точек: оба корня квадратного трехчлена меньше заданного числа m; один из корней квадратного трехчлена меньше, чем число m, а другой больше m; оба корня больше m; оба корня лежат на заданном интервале; большой корень трехчлена лежит на заданном интервале; меньший корень лежит на заданном интервале; заданный отрезок целиком лежит внутри интервала между корнями.
Раздел 3. Дробно-рациональные уравнения с параметром(7ч)
Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры. Изменение характеристик в параметрических уравнениях с изменением параметра: изменение степени, области допустимых значений.
Решение текстовых задач с параметрами, допустимые значения параметра, зависящие от условия задачи.
Планируемые результаты обучения:
Учащийся должен знать:
понятие параметра;
что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;
основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных);
алгоритмы решений задач с параметрами;
зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
свойства функций в задачах с параметрами.
Учащийся должен уметь:
определять вид уравнения (неравенства) с параметром;
выполнять равносильные преобразования;
применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;
осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;
выбирать и записывать ответ;
решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра.
Учащийся должен владеть:
анализом и самоконтролем;
исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.
Изучение данного курса дает учащимся возможность:
повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
освоить основные приемы решения задач;
овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;
усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
овладеть исследовательской деятельностью.
Календарно-тематический план
Раздел 1. Знакомство с параметром. 1.1 Что такое задача с параметром?
1
Раздел 2. Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметром.
10
2.1 Линейные уравнения и неравенства с параметром.
1
2.2 Исследование квадратных уравнений и неравенств с параметром.
3
2.3 Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений и неравенств с параметрами.
3
2.4 Задачи связанные с расположением корней квадратного уравнения относительно заданных точек.
3
Раздел 3. Дробно-рациональные уравнения с параметром
3.1 Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.
3
3.2 Решение задач с параметрами
4
Итого
18
Учебно-методический комплекс
Литература для учителя
Антонова Н. Квадратный трехчлен /Н. Антонова, С. Солодовников // Математика. – 1999. - №21.
Антонова Н. Формулы Виета для квадратичного трехчлена /Н. Антонова, С. Солодовников //Математика. – 1999. - №37.
Горнштейн П. Задачи с параметрами /П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М. Якир. – М.; Харьков: Илекса, 2002.
Евсеева А.И. Уравнения с параметрами /А.И. Евсеева //Математика в школе. – 2003. - №7.
Корчагин В. Уравнения и неравенства с параметрами /В. Корчагин //Математика. – 2002. - №27, 28, 33.
Макарычев Ю.Н. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 1996.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.; Харьков: Илекса, 1998.
Семенов В.И. По страницам учебника М.Л. Галицкого …8-9 классы: Учебное пособие /В.И. Семенов. – Кемерово: Изд-во ОблИУУ, 1999. – 138с.
Цыганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры /Ш. Цыганов // Математика. – 1999. - №5
Шабунин М.И. Уравнения и системы с параметрами /М.И. Шабунин //Математика в школе. – 2003. - №3.
Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами / Г.А. Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 1986.
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения /В.С. Крамор. – М.: Аркти, 2000.
Литература для учащихся
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов /Н.П. Кострикина. – М.: Просвещение, 1991.
Макарычев Ю.Н. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 1996.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.; Харьков: Илекса, 1998.
Семенов В.И. По страницам учебника М.Л. Галицкого …8-9 классы: Учебное пособие /В.И. Семенов. – Кемерово: Изд-во ОблИУУ, 1999. – 138с.
Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами / Г.А. Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 1986.
7
