Урок № 54
Тема: Решение задач с помощью систем линейных уравнений
Цель урока: Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными» с учетом дифференцированного подхода.
Задачи урока:
Продолжить формирование навыков составления математической модели по тексту задачи, навыков решения линейных уравнений и систем линейных уравнений различными методами;
Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.
Тип урока. Урок систематизации и проверки знаний, умений и навыков.
Ход урока
I этап. Мотивационный этап.
Учитель. Сегодняшний урок мне хотелось бы начать с девиза: “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий”.
Ребята, сегодня мы с вами будем решать интересные задачи, которые подобраны из различных источников, при этом мы продолжим работу по составлению математической модели по тексту задачи. Вы уже знаете, что математическая модель представляет собой уравнение или систему линейных уравнений. Нам с вами известны различные методы решения систем линейных уравнений. Повторим их.
II этап. Актуализация опорных понятий.
1. Работа по самоконтролю. «Проверка грамотности» (развитие памяти, внимания по технологии «ИнтеллекТ»)
№ Темы
Понятия тезауруса
Кол-во
1
Функция и ее график
Функц...я, …ргумент, аб…исса, …рдината, к…рдината, плоск…сть, пр…мая, п…р…сечение
2
Уравнение
Равенство с п…р…ме…ой, п…ренос слагаемых, неизвес…ный к…мпон…нт.
3
Система уравнений
Гр…фич…ский спос…б, способ по..ст…новки, способ сл…жения, р…шение системы ур…внений.
Далее учащиеся проверяют правильность выполнения заданий (по слайду) и выставляют баллы в карту урока.
2. Вопросы для мини-теста:
Учащиеся выполняют тестовые задания, затем проверяют правильность выполнения заданий (по слайду - ключ) и выставляют баллы в карту урока.
1. Дайте название математической модели 6(х – 2) + 5 = 19
а) уравнение б) равенство в) система уравнений
2. Дайте название математической модели
а) уравнение б) равенство в) система уравнений
3) Каким способом решена система уравнений
а) графическим б) методом сложения в) методом подстановки
4) Каким способом удобно решить данную систему уравнений
а) графическим б) методом сложения в) методом подстановки
5) Каким способом удобно решить данную систему уравнений
а) графическим б) методом сложения в) методом подстановки
Ключ: 1А; 2В; 3А; 4В; 5Б
III этап. Нахождение необходимой информации.
Учитель. Мы повторили основные понятия, формулы, методы решения систем линейных уравнений. Они пригодятся нам при решении тех задач, которые вы приготовили на сегодняшний урок. Где же возникли первые задачи, решаемые системой двух линейных уравнений с двумя переменными?
ЕГИПЕТ. Первые задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими переменными встречаются в египетских и вавилонских текстах второго тысячелетия до нашей эры, а также в трудах древнегреческих и индийских ученых. Решались они различными искусственными способами, единого алгоритма не было.
КИТАЙ. Алгоритм решения систем линейных уравнений был напечатан в Китае в труде “Математика в девяти книгах” (206 г. до н.э.), где рассматривались системы и давились правила их решения. При этом все изложение словесно. Коэффициенты системы располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях было замечено, что следует поступать по одному и тому же правилу систематически. Первым появился способ сложения, а затем и способ подстановки. В книге “Всеобщая арифметика” (1707 г.) Ньютон излагает уже все способы решения систем, изучаемые ныне в школе.
Ученик 1. В книге «Старинные задачи по элементарной математике» В.Д. Чистякова я нашел задачу из китайского трактата «Девять отделов искусства счета», составленного в глубокой древности, которая звучит так: «5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?» Я думаю, что эта задача легко решается с помощью системы линейных уравнений.
Ученица 2. Я хочу прочитать задачу из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей». Я решила эту задачу с помощью линейного уравнения, но мне хочется сравнить мое решение с решением задачи с помощью системы линейных уравнений.
Ученик 3. Я нашел задачу в стихах.
По тропинке вдоль кустов
Шло одиннадцать хвостов.
Насчитать я также смог,
Что шагало тридцать ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?
Ты сумел найти ответ?
До свиданья, всем привет.
Ученик 4. А с этой задачей мы встречались во втором классе.
Прилетели галки, сели на палки,
Если на каждую палку
Сядет по одной галке,
То для одной галки
Не хватит палки.
Если же на каждой палке
Сядет по две галки,
То одна из палок
Будет без галок.
Сколько было галок?
Сколько было палок?
Я знаю, как решить эту задачу способом перебора, но мне интересно решить ее с помощью системы линейных уравнений.
Учитель. Молодцы, ребята. Я вижу, что вы хорошо потрудились при подготовке к уроку, не только нашли интересные задачи, но и определили метод их решения. Все предложенные вами задачи можно решить, составляя математическую модель: линейное уравнение или систему линейных уравнений.
Я прошу каждого ученика выбрать понравившуюся задачу из предложенных одноклассниками, объединиться в группы, затем в ходе групповой работы решить выбранную задачу различными способами, сравнить способы решения, определить наиболее оптимальный или самый красивый способ решения. В конце урока в ходе коллективного обсуждения мы постараемся выяснить преимущества того или иного способа решения.
Ребята объединяются в группы, рассматривают способы решения задач: с помощью линейного уравнения, с помощью системы линейных уравнений. Ученики оформляют решения задачи на отдельных листах, готовятся представить итоги коллективной работы.
IV. Предъявление полученного результата.
Учащиеся демонстрируют математическую модель, составленную для решения выбранной задачи, объясняют одноклассникам, каким методом группа решала задачу. Остальные
учащиеся принимают активное участие в обсуждении способов решения и выбирают наиболее оптимальный способ из предложенных группой.
1 группа. Решение предложенной задачи сводится к рассмотрению следующей системы уравнений
Решая эту систему, мы получили ответ: х = 2, y = 0,5. Следовательно, один вол стоит 2 таэля, а один баран – 0,5 таэля. Мы решили задачу методом подстановки и методом сложения, метод сложения позволил решить систему быстрее.
2 группа. Для решения второй задачи мы составили систему уравнений
Решая эту систему, мы получили ответ: х = 4, у = 12, т.е. сыновьям 4 года и 12 лет. В ходе групповой работы мы пришли к выводу, что задачу проще решить с помощью линейного уравнения, так как не надо вводить вторую переменную.
3 группа. Третью задачу мы решали с помощью системы уравнений
Затем мы решили линейное уравнение 4(11 - х) + 2х = 30. В обоих случаях получилось 4 жеребенка и 7 индюков. Хотя гораздо быстрее решить эту задачу арифметическим путем. «Попросим» всех животных встать на задние ноги. На земле будут стоять 22 ноги, остальные 8 ног будут «принадлежать» жеребятам. Значит, жеребят было 4, индюков 7.
4 группа. Для решения пятой задачи мы составили систему уравнений
Решив ее, мы получили, что было 3 палки и 4 галки. Можно эту задачу решить с помощью линейного уравнения (х + 1): 2 + 1 = х. Мы считаем, что систему составить было легче, хотя решить и уравнение, и систему было несложно.
VI. Самостоятельная работа.
Учащимся предлагается тест (технология «ИнтеллекТ» на развитие мышления)
Задание: В колонке «Задача» дано условие задачи. Вам нужно подумать и составить для решения задачи уравнение и систему уравнений. Запишите полученное уравнение в колонку «уравнение». Запишите полученную систему уравнений в колонке «система уравнений»
Задача
Уравнение
Система уравнений
Уровень А
1
В двух корзинах лежит 10 кг яблок. Сколько кг яблок в каждой корзине, если в одной из них на 2 кг больше, чем во второй?
х + х + 2 = 10
2
Разность двух чисел равна 16. Найдите эти числа, если сумма удвоенного большего числа и утроенного меньшего равна 67.
2(х + 16) + 3х = 67
Уровень В
3
За 2,5 часа по течению реки теплоход проходит тот же путь, что и за 3 часа против течения. Найдите скорость по течению и против течения, если первая больше второй на 4 км/ч
2,5х = 3(х – 4)
Уровень С
4
Костюм и платье вместе стоят 7500 рублей. Сколько стоит костюм, если за 4 платья заплатили на 3000 рублей больше, чем за 2 костюма?
4х – 2(7500 – х) = 3000
VII. Рефлексивный этап.
Учитель. Давайте подведем итог нашей работы. Как вы думаете, какой из предложенных ребятами способов решения текстовых задач наиболее интересный, рациональный?
Ученики высказывают мнение о том, что говорить о наиболее удобном или наиболее рациональном способе решения текстовой задачи трудно. Задача может быть решена несколькими способами. Решение зависит и от самой задачи, и от человека, который ее решает, от тех методов, которыми он владеет, от уровня его знаний и его умений.
Учитель. Но очень хорошо, если ученик, решив задачу, пытается найти другой способ решения. Ведь и в жизни нам очень часто приходится искать решение какой-то проблемы. Иногда решений несколько, а иногда мы с большим трудом находим одно - единственное. В рабочей карте каждого ученика стоят отметки о том, как правильно и как активно он работал на уроке. Проанализируйте работу своей группы, работу учащихся из других групп. Подведите итог своей деятельности.
VIII. Домашнее задание.
Составить математические модели одной или нескольких следующих задач:
1 Задача иранского ученого XVI века Бехаэддина: Разделить число 10 на 2 части, разность которых 5.
2. Задача Бхаскары: Некто сказал другу: “Дай мне 100 рупий и я буду богаче тебя вдвое”. Друг ответил: “Дай мне только 10 и я стану в 6 раз богаче тебя”. Сколько рупий было у каждого?
3. Задача из книги “Математика в девяти книгах”: Сообща покупают курицу. Если каждый внесет по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.
4. Задача из рассказа А.П.Чехова “Репетитор”: Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?
5. Задача Ал – Хорезми: Найти два числа, зная, что их сумма равна 10, а отношение 4.
