МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Челябинский государственный педагогический университет

Математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

на тему:

Особенности изучения теории делимости в 5 – 6 классах

Сагайдаковой Татьяны Сергеевны.

Научные руководители: канд. пед. наук,

доцент Пак И. И.,

канд. пед. наук,

доцент Орлова Е. С.

Челябинск 2002

Оглавление

Введение……………………………………………………………….....

Глава I. Роль теории делимости в современном школьном образовании………………………………………………………………………..…

1. 1. Исторический аспект в изучении теории делимости…………….

   2. Изложение основных математических фактов теории делимости в 5-6 классах…………………………………………………………………..

      1. Основные понятия и теоремы теории делимости….

      2. Изложение основных понятий теории делимости в школьном курсе математики…………………………………………………….……..

   3. Методические особенности изучения теории делимости……...….

Глава II. Особенности изучения теории делимости в 5-6 классах….

2.1. Организация факультативных занятий……………………………….

2.1.1. Структура факультативных занятий (спецкурса)………………….

2.1.2. Содержание факультативного курса (спецкурса) по теории делимости……………………………………………………………………………

2.2. Методические особенности организации факультативных занятий в 5-6 классах…………………………………………………………………..

2.2.1. Развитие познавательного интереса………………………………...

2.2.2. Основные методические требования к организации процесса обучения данной темы……………………………………………………………

2.3. Результаты экспериментальной работы………………………………

Заключение…………………………………………………………………

Библиография……………………………………………………………...

Приложения………………………………………………………………..

Введение

В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем образовании пересматривается и уточняется наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будет пользоваться математикой. Важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников, независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем. Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется прочная математическая подготовка.

Роль математической подготовки современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

-овладение математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

-интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности, и необходимо для полноценной жизни в обществе.

Одной из важнейших тем раздела математики является «Отношение делимости». Она пронизывает собой большую часть математических знаний и велика ее роль в практическом применении математики. Поэтому мы акцентируем на этой теме свое внимание. Особую роль в рассмотрении данной темы играют задачи повышенной трудности и умение учащихся их решать, а также развитие у них познавательного интереса.

Общепедагогическое и практическое значение данной темы в курсе математики велико, а недостаточная разработанность ее послужили выбором темы нашей квалификационной работы.

Целью работы является: анализ изучения данной темы в 5 – 6 классах, разработка и внедрение факультативных занятий (спецкурса) по теории делимости в средней школе, ориентированных на повышение качества образования и развитие познавательного интереса учащихся.

Объектом исследования является образовательный процесс в школе.

Предметом исследования – формы и методы организации образовательного процесса, ориентированного на повышение качества образования и развитие познавательного интереса.

В основу нашего исследования положена следующая гипотеза: решение задач повышенной трудности по математике по теме «Отношение делимости» способствуют повышению качества образования и развитию познавательного интереса у учащихся 5 – 6 классов.

Исходя из этого, были поставлены следующие задачи:

1. рассмотреть научные основы теории делимости;

2. проанализировать учебные пособия и школьные учебники, уровень заданий по теории делимости;

3. подобрать задачи повышенной трудности по теме «Отношение делимости»;

4. разработать спецкурс (факультативные занятия) по данной теме.

Данные задачи достигались следующими методами исследования:

• анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы;

• метод наблюдения, опроса; тестирование;

• анализ школьной литературы;

• изучение школьной документации;

• анализ контрольных, самостоятельных, индивидуальных работ учащихся;

• математические методы;

• педагогический эксперимент и обработка его результатов.

Теоретическая значимость исследования:

1. Научный анализ темы «Делимость» в средней школе;

2. В определении условий формирования познавательного интереса и повышения качества образования.

Практическая значимость исследования:

1. Разработано содержание спецкурса (факультативных занятий) по данной теме;

2. Данные материалы могут быть использованы в массовой практике средней школы.

Обоснованность и достоверность результатов работы по данной теме определяется анализом современных достижений психолого-педагогической науки, постоянным изучением результатов работы учителей и практической проверкой выдвинутой гипотезы.

Данная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии, приложений.

Эксперимент проводился на базе школы МОУ СОШ № 148 г. Челябинска в 5 классе.

ГЛАВА I

Роль теории делимости в современном школьном образовании

1.1 Исторический аспект в изучении теории делимости

Отношение делимости – это одно из главных свойств целых чисел, изучением которого занимается раздел математики теория чисел.

Изучением делимости чисел занимался еще Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики. Они изучали всю красоту и природу чисел в целом, занимались изучением совершенных чисел, т.е. чисел, равных сумме всех его делителей, таким образом, уже знали делители и кратные чисел.

Затем делимостью чисел занимался Евклид (III в. до н. э.). Он написал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, изложил важный результат: бесконечность множества простых чисел.

Примерно в то же время греческий математик Эратосфен придумал способ выделения простых чисел из натурального ряда, названный «решетом Эратосфена». В этом решете «отсеиваются» простые числа от составных чисел.[29]

Нахождением простых чисел и составлением таблиц простых чисел занимались многие ученые: И.Г. Ламберт (1728-1777), Черник (1811г.), Лемер (1914г.), В.А. Голубев и другие.

В Европе, начиная с эпохи крестовых походов, вплоть до XVII в. развитие теории делимости шло очень медленно. Важными в этот период являются работы французского математика П. Ферма(1601-1655), получившего основной результат теории делимости: что простое число вида 4n+1 может быть одним и только одним образом представлено как сумма двух квадратов. И другая теорема: а^p-1-1 делится на p, когда р-простое число и а не кратно р. В XVIII в. Л. Эйлер (1707-1783) обобщил основной результат Ферма для случая делимости составных чисел, получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые.[26]

В XVIII – XIX в. почти все крупнейшие математики занимались развитием теории чисел, в частности теории делимости: П.Л. Чебышев, И.М. Виноградов и другие.

Таким образом, теория делимости изучалась на протяжении многих веков и накопила богатый материал для изучения и исследования. Рассмотрим основные понятия теории делимости.

1.2 Изложение основных математических фактов теории делимости в 5 – 6 классах

1.2.1 Основные понятия и теоремы теории делимости

В целом теория делимости базируется на ряде основных понятий и теорем.

Известно, что при изучении обстоятельств, связанных с делением целых чисел, одним из первых встает вопрос о выполнимости этого действия для двух данных целых чисел, т.е. о делимости этих чисел.

Определение: целое число а делится на целое число b (или, что то же самое), если существует такое целое число с, что а=b·с. Это утверждение называется отношением делимости целого числа а на целое число b и обозначается а:b. Запись означает не действие, которое следует произвести над числами а и b, а утверждение, касающееся этих чисел.[14]

Для выяснения факта делимости используются различные способы. Один из них – знание свойств делимости:

1. Рефлексивность: если а целое число, отличное от нуля, то а:а.

2. Транзитивность: если для любых целых чисел а, b и с а:b и b:с, то а:с.

3. Если а:b и а=0, то |а| > |b|.

4. Антисимметричность: если а:b и b:а, то |а| = |b|.

5. Если в сумме целых чисел одно из слагаемых делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

6. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.[3]

Основной в теории делимости целых чисел является теорема о делении с остатком. Между всякими двумя данными целыми числами, а>0 и b=0 можно установить соотношение a=b·q+r, где q, r целые числа, 0 < r < b. r – остаток от деления a на b.[2]

Одно из основных свойств алгебры натуральных чисел выражает основная теорема целых чисел: любое натуральное число, большее единицы, является либо простым, либо составным, причем составное число можно разложить в произведение простых чисел с точностью до порядка сомножителей.[1]

Важной характеристикой делимости целых чисел является наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Определение. Общим делителем данных натуральных чисел a, b,…,n называют число d [pic] N, являющееся делителем каждого из этих чисел: d=(a, b, c,…,n).[1]

Определение. Натуральное число называется наибольшим общим делителем для а1 , а2, …,ак [pic] N, если:

1. а1, а2, …, ак : d;

2. [pic] [pic] [pic] N а1, а2, …, ак: [pic] [pic] d: [pic] .

Обозначается: d=НОД (а1, а2,…, ак) или d=(а1, а2,…,ак).

Теорема: если d=НОД (а1,а2,…,ак), то [pic] N а1,а2,…,ак: [pic] [pic] d [pic] .

Основные свойства НОД целых чисел.

1. Если умножить каждое из двух данных чисел a и b на одно и то же натуральное число n, то на это же число n умножиться и НОД целых чисел.

2. Если каждое из двух данных чисел a и b разделить на одно и то же натуральное число n, то и НОД чисел a и b разделится на n.

3. Если НОД двух данных чисел a и b разделить на число n, то каждое из этих чисел разделится на n.

Теорема: чтобы найти НОД (а1, а2,…,аn), находят последовательно НОД(а1,а2)=d1, НОД(d1, a3)=d2,…,НОД(dn-2,an)=dn-1, число dn-1=НОД(а1,а2,…,аn).

Пусть a, b [pic] N и a=p1 ^[pic] ·…·pn ^[pic] , b=p1·p2 …·pn, p1,…,pn [pic] PN, k1,…,kn, l1,…,ln [pic] N0, тогда НОД (a,b)=p1·p2·…·pn, где [pic] =min ( [pic] , [pic] ).

Для нахождения НОД целых чисел служит классический алгоритм Евклида или способ последовательного деления. Этот способ основан на следующих леммах.[3]

Лемма 1. Если a:b, то НОД(a, b)=b.

Лемма 2. Если a=b·q+r, где a [pic] 0, b [pic] 0, r [pic] 0, то НОД(a, b )=НОД(b, r).

Теорема 1. Если a=b·q0+r1; 0 [pic] r1

b=r1·q1+r2; 0 [pic] r21,

………………….,

rn-1=rn·qn, то НОД(a, b)=rn.

Теорема 2. Если (a1,…,аn-1)= [pic] и d=( [pic] , аn), то d=НОД (а1,…,аn).

Определение. Числа (а1,а2,…,аn) [pic] N называются взаимно простыми, если НОД(а1,…,аn)=1.

Теорема 1. (критерий взаимной простоты двух чисел).

Для любых двух чисел a, b [pic] Z НОД (а, b)=1 тогда и только тогда, когда существуют u, v [pic] Z, такие что a·u+b·v=1.

Теорема 2: Пусть a, b, c [pic] N,

1. если НОД (a, b)=1 и a·c:b, значит, с:b;

2. если p [pic] PN и НОД (а, р)=1 и a·b:р, значит, b:р.

Определение.1. Число а называют кратным числа b, если а:b и пишут а=К (b).

Определение.2. Всякое число, кратное двум называют четным числом, а не кратное – нечетным.

Определение.3. Общее кратное чисел а, b,…,l называют число, кратное каждому из этих чисел и обозначают через ОК (а, b,…,l).[2]

Следствие 1. У всяких двух или нескольких натуральных чисел имеется бесконечное множество общих кратных, среди которых нет наибольшего, но есть наименьшее и только одно называется НОК данных чисел.

Техника нахождения НОК двух целых чисел основана на следующей теореме: НОК двух целых чисел а и b равно частному от деления произведения этих чисел на их НОД. НОК (а, b)= [pic] , d=НОД (а, b).

Следствие 2. Каждое общее кратное двух чисел делится на их НОК.

Следствие 3. Произведение НОК (а, b) на их НОД (а, b) равно произведению этих чисел, т. е. НОК (а, b)·НОД (а, b)=а·b.

Следствие 4. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

Следствие 5. Если умножить (или разделить) каждое из данных чисел на одно и то же число, то на это число умножится (разделится) их НОК.[4]

Пусть a, b [pic] N a=p1·p2·…·pn, b= p1·p2·…·pn. НОК (a, b)= p1·p2·…·pn, где [pic] =max(k [pic] , l [pic] ).

Определение 1. Натуральное число p называется простым, если оно больше единицы и не имеет положительных делителей, отличных от единицы и p.

Определение 2. Натуральное число n называется составным, если оно больше единицы и имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от единицы и n.[1]

Свойства простых чисел:

• если простое число p делится на некоторое натуральное число n [pic] 1, то р=n;

• если p1 и р2 – различные простые числа, то р2 не делится на р1;

• всякое натуральное число n>1, делится хотя бы на одно простое число;

• если n [pic] N, а p [pic] PN, то либо n:p, либо n и p – взаимно простые числа;

• если произведение двух или нескольких натуральных чисел делится на простое число p, то хотя бы один из сомножителей делится на p.

Теорема 1. (дает критерий, позволяющий судить, является ли натуральное число n простым или составным).

Если натуральное число n (n>1) не делится ни на одно простое число [pic] [pic] , то оно простое.

Более удобен способ «отсеивания» составных чисел называется решетом Эратосфена, который основан на следующей модификации теоремы 1.

Теорема 2:

1. если в множестве натуральных чисел 2, 3,…, N зачеркнуть числа, кратные первым r простым числам 2, 3,…, рr, то первое (наименьшее) не зачеркнутое число будет простым;

2. если вычеркнуть все числа, кратные всем простым числам до [pic] , т. е. выбрать r так, что pr [pic] [pic]

   r+1, то оставшиеся числа будут совпадать с множеством всех простых чисел, таких, что [pic] <р [pic] N.[1]

Признаки делимости целых чисел.

Существуют способы выяснения делимости целых чисел, называемые признаками делимости. Сущность всякого признака делимости на заданное число b состоит в том, что при его помощи вопрос о делимости любого числа a на b сводится к вопросу о делимости на b некоторого числа, меньшего, чем а. Таким образом, признак делимости является математическим объектом весьма распространенной, хотя и не бросающейся в глаза природы. Это не формула, не теорема, не определение, а некоторый процесс, совершенно такого же типа, что и процесс умножения чисел «столбиком», или процесс вычисления одного за другим членов арифметической прогрессии.[5]

Запишем число x так: x=xn·10ⁿ+…+x1·10+x0.

Признак делимости на 10. Число x делится на десять в том и только в том случае, когда его десятичная запись заканчивается цифрой 0.

Признак делимости на 5. Число x делится на пять в том и только в том случае, когда его десятичная запись заканчивается цифрами 0 или 5.

Признак делимости на 2. Число x делится на два в том и только в том случае, когда его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры называются четными.

Признак делимости на 4. Для того, чтобы х делилось на четыре, необходимо и достаточно, чтобы на четыре делилось число образованное последними двумя цифрами десятичной записи этого числа.

Признак делимости на 3. Число х делится на три в том и только в том случае, когда сумма цифр его десятичной записи делится на три.

Признак делимости на 9. Число х делится на девять в том и только в том случае, когда сумма цифр его десятичной записи делится на девять.

Признак делимости на 25. Число х делится на двадцать пять в том и только в том случая, когда ее десятичная запись заканчивается на 00, либо на 25, 50, 75.

Таким образом, изложение основных математических фактов теории делимости основано на ряде теорем: о делении с остатком, разложении на простые множители, нахождении НОД и НОК, признаках делимости и т.д. Эти факты позволяют решать основные задачи школьного курса математики, и способствуют развитию умений решать задачи повышенной трудности. Поэтому необходимо проанализировать, какие из перечисленных базовых понятий отражены в школьных учебниках.

1.2.2 Изложение теории делимости в школьном курсе математики

В школьном курсе математики теория делимости изучается в 5-6 классах в следующем объеме: делители и кратные целых чисел; НОД целых чисел; НОК целых чисел; простые и составные числа; разложение составного числа на множители; признаки делимости на 5, на 2, на 10, на 3 и на 9.

В 7-9 классах тема «Отношение делимости» используется при изучении многочленов, разложении их на множители, изучении алгебраических дробей.

В 9-11 классах данная тема используется в функциях, например, определение четности, нечетности функции.

Мы остановимся на изучении темы «Отношение делимости» в 5-6 классах. Итак, курс 5-6 классов базируется на следующих понятиях.

1. Делители и кратные натуральных чисел.

При изучении этой темы дают определения: делителя (делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка); кратного (кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на a).

2. Признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3 и на 9 (если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10, если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то число делится без остатка на 5, если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то число делится без остатка на 2,если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9,если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3).

3. Простые и составные числа.

Определение: натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само себя и называют составным, если оно имеет более двух делителей.

4. Разложение на простые множители.

Всякое составное число можно разложить на простые множители.

5. НОД. Взаимно простые числа.

Определение: наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют НОД чисел a и b.

Определение: натуральные числа называют взаимно простыми, если их НОД равен единице.

6. НОК.

Определение: НОК натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.

7. Теорема о делении с остатком.

Всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число с остатком.

Таким образом, данные математические основы представлены в школьных учебниках и требуют более глубокого усвоения, и методических разработок изучения данных тем.

1.3 Методические особенности изучения темы «Отношение делимости» в 5-6 классах

Рассмотрим более подробно изучение темы «Отношение делимости» в современных школьных учебниках 5-6 классов.

Сегодня в школах России в 5-6 классах учащиеся изучают математику по следующим учебникам: Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, учебник – собеседник по математике для 5-6 классов; И. В. Баранова, З. Г. Богчурова, математика 5 и 6 класс; Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, математика 5 и 6 класс; Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон, математика 5 и 6 класс; Э. Р. Нурк, А. Э. Тельгмаа, математика 5 и 6 класс; Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков и др., математика 5 и 6 класс; Н. Б. Истомина математика 5 и 6 класс и др.

Остановимся на анализе трех наиболее распространенных учебников; Н. Я. Виленкин, А.С. Чесноков и др. математика 5 и 6 класс; Э. Р. Нурк, А. Э. Тельгмаа, математика 5 и 6 класс, Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин. математика 5 и 6 класс. В учебно-методический комплекс каждого автора входят: учебник, книга для учителя, рабочие тетради, дидактические материалы.

Структура учебников

1. Н. Я. Виленкин, А.С. Чесноков, В. И. Жохов, С. И. Шварцбурд. Математика 5 класс, 1992. Математика 6 класс – 1991 (1).

Данные учебники разбиты на главы, параграфы и пункты. В каждом пункте содержится объяснительный текст, показано решение соответствующих задач, даны упражнения на закрепление нового материала, для повторения и для домашнего задания. Опыт показал, что при такой методике удобно все время давать учащимся возможность вспоминать наиболее важные для них вопросы, приемы вычислений, способы решений. Каждая глава заканчивается вопросами и задачами на повторение, которые охватывают наиболее важные понятия и утверждения курса математики. Учебник достаточно оснащен наглядным материалом, что необходимо в 5-6 классе. Кроме обычных задач имеются разделы, которые обозначаются буквой М, задачи на развитие интереса, сообразительности, внимательности. А также рубрики исторических справок и рубрики учитесь говорить правильно.

2. Э. Р. Нурк, А. Э. Тельгмаа. Математика 5, 1992. Математика 6, 1991 (2).

В данных учебниках отмечается доступность, наглядность, краткость и простоту изложения теоретического материала. А также удачное расположение исторических сведений в тексте учебника, доверительное отношение к ученику. Отмечается то, что учебники обеспечивают большую самостоятельность школьников при изучении материала. Хорошо и то, что в учебниках имеются задания двухуровневой сложности. Учебники разделены на главы и пункты. Особенность учебников – в наличии после глав заданий для самопроверки. Но в отличие от предыдущих учебников наглядного материала здесь очень мало и он дан в черно-белом варианте. В целом учебники рассчитаны на учащихся с низким уровнем математической подготовки.

3. Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин. Математика 5 класс, 1991 (3).

Данный учебник разделен на главы и пункты, причем изучаемый материал в нем отличается от предыдущих учебников тем, что дополнительно изучается геометрический материал. Учебник отличается многообразием красочной наглядности. Теоретический материл в нем изучается с использованием исторических сведений, далее идут задачи двух уровней сложности А и В, в конце главы даются задания для самопроверки. В целом изложение материала интересно, но не всегда он представлен четко. В учебнике также присутствуют задания на развитие познавательного интереса учащихся, развития их логики и внимания.

Сравнительная характеристика числовых систем в учебниках

Так как теория делимости работает с числами, поэтому рассмотрим, как в учебниках вводятся о числовых системах.

Математика 5 и 6 классов под ред. Н. Я. Виленкина и др. Изучают натуральные числа в начале (глава 1, §1), дается определение: для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2,…, 9. Такую запись чисел называют десятичной. В шестом классе в параграфе «Противоположные числа» рассматриваются множество целых чисел, дают определение: целые числа – натуральные числа, им противоположное, и нуль, В заключение приведен исторический материал о появлении и развитии учения о числах. Для закрепления данных понятий используются различные задания, а вводятся понятия с помощью луча.

В отличие от учебника математики (1), в учебнике (2) дается несколько иное определение: числа 1, 2, 3,…, употребляемые при счете предметов, называются натуральными числами. Они записываются с помощью десятичных цифр 0, 1, 2, 3,…, 9. Здесь же в параграфе дана историческая справка о развитии натуральных чисел. В учебнике шестого класса вводят понятие о целых числах, где в отличие от учебника (1), уже говорится об отрицательных числах, как о равных. То есть, дается определение: натуральные числа (1, 2, 3,…), числа им противоположные (-1, -2, -3,…), и нуль, называются целыми числами. Далее сразу вводят определение рациональных чисел. Даются, как и в учебнике (1) задания на закрепление, акцентируется внимание на ключевые понятия.

Введение понятий о числовых системах в учебнике (3) отличается от предыдущих учебников и структурой, и методикой изложения. Во-первых, введения понятия натурального числа начинается с исторического материала, который шире, чем в предыдущих учебниках, причем, таким образом, мотивируя появление чисел. Дают определение: числа, которые мы называем при счете 1, 2,…, 100,… называются натуральными. Разбирают происхождение слова «натуральный». Сразу вводят понятие о четных и нечетных числах. В учебнике шестого класса рассматривается понятие о целых числах. Предварительно изучают, как и в учебнике (2), отрицательные числа, затем дают определение, аналогичное как в учебнике (2) и отличие в том, что говорят о целых числах как о множестве. Акцентируют внимание, что натуральные числа – положительные целые числа. Задания на закрепление отличаются тем, что имеют различное текстовое содержание: географическое, спортивное и т. д. Рассматривают также числа на координатной прямой.

Введение темы «Отношение делимости» в учебниках 5 – 6 классов

В учебниках математики шестого класса (1) и (2) понятие делимости вводится аналогично: рассматривается задача, из которой приходят к определениям «делитель и кратное». Например, в учебнике (1): 20 яблок можно разделить между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. Говорят, что число 4 делитель числа 20, а число 6 нет. Затем дается определение: делителем натурального числа a называется натуральное число, на которое a делится без остатка. В учебнике (2): найдем все натуральные числа, на которые делится число 12. Это 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ни на одно другое натуральное число 12 не делится. Все числа, на которые делится 12, называются делителем числа 12. Дается определение: любое натуральное число, на которое делится данное натуральное число, называется делителем данного числа. То есть, в одном учебнике для введения понятий используется текстовая задача, в другом – используются знания таблицы умножения. Аналогично вводится понятие кратного числа. Закрепляется рядом задач.

В учебнике (3) тема «Отношение делимости» вводится в пятом классе, в шестом классе она у этих авторов не рассматривается. Понятие делителя числа вводится через утверждение: число 60 делится на 10,т.к. 6·10=60. Говорят, что 10 – делитель числа 60. Определения как такового не вводится. Понятие о кратности затрагивается в таком же аспекте в пункте деление с остатком. Задачи к основным понятиям даны вместе задачами по простым числам.

Сравнительная характеристика основных пунктов темы «Отношение делимости» в учебниках 5 – 6 классов

Во-первых, отличительной особенностью введения основных пунктов темы «Отношение делимости» является различная структура подачи материала. Причем в учебниках (1) и (2) эта структура аналогична и рассматривается в 6 классе: делители и кратные; признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3 и на 9; простые и составные числа; разложение на простые множители; НОД, взаимно простые числа; НОК.

По учебнику (3) изучается тема в 5 классе по структуре: делители числа, простые и составные числа; делимость суммы и произведения; признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3 и на 9; еще раз о простых числах; разные арифметические задачи; четно или нечетно.

Итак, рассмотрим признаки делимости. Они вводятся частями.

1. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10.

2. Признаки делимости на 3 и на 9.

В учебнике (1) сразу идет утверждение, что на десять делятся числа, оканчивающиеся нулем, показывают это на примерах и формулируют так: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

В учебнике (2) вводятся следующим образом: кратными числу 10 являются числа 10, 20,… и дают определение: на десять делятся все не натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0; вторая часть определения аналогична как в (1). Соответственно аналогично вводятся признаки делимости на, 2, на 5, на 3, на 9. В учебнике (1) больше задач на закрепление, причем разного типа.

В (3) объясняют, для чего нужны признаки делимости. Говорят о том, что самый простой признак делимости на 10. Рассматривают пример: 340=34·10 и дают определение: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. Число, оканчивающееся любой другой цифрой, не делится на 10. Аналогично вводятся остальные признаки, причем не говорится о четных и нечетных числах и теоретический материал дается сразу, не заставляя учащихся задуматься. Задачи подобраны интересные, занимательные.

Далее простые и составные числа. Во-первых, в каждом учебнике по этому пункту даны исторические сведения. Во-вторых, в учебнике (3) этот материал изложен очень кратко. Дается такое определение: натуральное число называют простым, если его делителями являются только оно само и единица. Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.

В (1), исходя из примеров, дают определение: натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Составным числом, если оно имеет более двух делителей. Закрепляется задачами разного уровня сложности.

В отличие отданных двух учебников в (2) сначала дается самостоятельная работа по простым и составным числам и в одном из ее заданий говорится определение простого и составного числа, аналогичное определению в учебнике (1). В отличие от предыдущих учебников в (2) говорится о таблице простых чисел, о решете Эратосфена. В учебниках (1) и (3) о решете Эратосфена говорится в конце главы в исторической справке.

[pic]
Изложение данного пункта о разложении на простые множители в учебниках (1) и (2) аналогично: схематическая запись разложения числа на простые множители, например,

Затем формулируют свойство: всякое составное число можно разделить на простые множители.

В учебнике (3) в пункте простые числа дается понятие о разложении составного числа на простые множители. Дают определение: всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел. Например, 30=15·2. Очень коротко и не объясняется цель этого разложения.

Рассмотрим пункты НОД и НОК.

В учебнике (3) данный вопрос не рассматривается, хотя задания с использованием этих понятий имеются.

В учебниках (1) и (2) аналогична структура изложения данного вопроса, но в учебнике (2) рассматривается кратко на примере всех делителей какого-то числа, выбирают наибольший и дают определение: НОД двух натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел. Вводят обозначение НОД (a, b), описывают метод нахождения НОД (a, b). Дают определение: натуральные числа, НОД которых равен единице, называются взаимно простыми числами. Аналогично рассматривается понятие НОК: НОК двух натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

В учебнике (1) отличительная особенность – введение понятий через текстовую задачу и постоянное подтверждение понятий примерами. Аналогично даются определения понятий НОД, НОК, взаимно простые числа, а также способы их нахождения. В учебнике (1) больше познавательных задач.

В отличие от учебников (1) и (2), в учебнике (3) рассматриваются некоторые свойства отношения делимости, что, несомненно, является большим плюсом.

Типы заданий, присутствующие во всех учебниках

Для полного рассмотрения темы «Отношение делимости» в школьных учебниках рассмотрим, присутствующие в них задания (см. Приложение 1).

Данные задачи направлены на закрепление основных понятий по теории делимости и нахождение НОК, НОД, и т.д., на основные свойства, требующие алгоритмической деятельности.

Задания, содержащиеся не во всех учебниках

Эти учебники также содержат задачи повышенной трудности, в разных учебниках задачи различны. Таким образом, мы еще раз убеждаемся, что необходимы задачи повышенной трудности для развития познавательного интереса (см. Приложение 2).

Итак, данные задания требуют другого уровня деятельности (частично-поискового): задачи на структуру числа, на доказательство свойств, на формирование новых признаков, на выбор чисел, удовлетворяющих нескольким условиям.

Таким образом, в разных учебниках изложение темы «Отношение делимости» отличается. По нашему мнению, изложение этой темы в учебнике (3) не очень доступное, тем более для V класса. Вопросы «Делители и кратные числа», «Простые и составные числа», «НОД» и «НОК», «Разложение на простые множители» смазаны, их рассмотрению авторы уделяют очень мало времени. Понятия НОД и НОК не вводятся, хотя после параграфа приведены очень сложные упражнения на использование этих понятий. Мы считаем, что, несмотря на достаточно хорошую систему задач, выбор данного учебника для рассмотрения делимости чисел не очень удачен.

В большинстве учебников некоторые вопросы просто не рассматриваются, например, «Свойства делимости». Хотя этот вопрос частично затрагивает учебник (3).

Учебник (2) начинается с изучения темы «Делимость». Все теоретические вопросы подкрепляются практическим решением задач, чего нет в учебнике (3). Изложение материала осуществляется по принципу от частного к общему, что играет положительную роль в понимании и усвоении новых для ребят вопросов. Задачи дифференцированы, разнообразны и интересны. В отличие от других учебников, в конце главы имеются упражнения для самопроверки. Однако в целом данный учебник рассчитан на учащихся с недостаточной математической подготовкой.

На наш взгляд наиболее последовательное изложение теоретического материала: содержанием, разнообразной системой упражнений в учебнике (1). В нём теоретический материал чередуется с практическим, после каждого параграфа учащимся предлагается использовать полученные знания при решении задач и примеров, подобные рассматривались ранее. Очень хорошая система упражнений, причём выделены задачи на закрепление новой темы, повторение предыдущего материала, задачи на внимание и сообразительность, и упражнения для домашней работы. В конце каждого параграфа имеются вопросы к объяснительному тексту учебника, в других учебниках они отсутствуют.

Выводы по I главе.

1. Теории делимости уделяется большое внимание в процессе формирования знаний учащихся и развития познавательного интереса, так как она рассматривается в науке еще со времен Пифагора, и накопила богатый материал для изучения.

2. Основными положениями теории делимости являются: отношение делимости и свойства; теорема о делении с остатком; признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3, на 9; простые и составные числа; разложение на простые множители; НОД целых чисел; НОК целых чисел.

3. Анализ теоретического и задачного материала, представленного в учебниках позволяет сделать вывод: часть материала по теории делимости изучается с недостаточной глубиной и недостаточно задач повышенной трудности, которые имеют большое значение при развитии познавательного интереса учащихся. Поэтому необходимо введение спецкурса (факультативных занятий) по данной теме.

ГЛАВА II

Особенности изучения теории делимости в 5-6 классах

2.1 Организация факультативных занятий (спецкурса)

2.1.1 Структура факультативных занятий (спецкурса)

Выбор темы объясняется тем, что ее изучение занимает большое место в современной математике. Выделяются и рассматриваются в первую очередь те проблемы, которые глубоко и достаточно непосредственно связаны с изучаемыми объектами и важны для построения математики в целом и в школьном курсе. Кроме того, вопросы делимости чисел широко используются в заданиях, которые предлагаются при испытаниях на аттестат зрелости и при поступлении в ВУЗы. Поэтому необходимо работать с учащимися дополнительно по данной теме, развивая их интерес к задачам повышенной трудности, а значит, повышая у школьников уровень познавательного интереса.

Факультативные занятия (спецкурс) – это форма учебной работы, предусмотренная постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966года «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». Сейчас факультатив выступает в роли дополнительных занятий по предмету. Назначение факультативных занятий (спецкурса) состоит в развитии способностей и интересов учащихся, в сочетании с общеобразовательной подготовкой по избранному предмету и на ее основе. А также развитие творческих способностей учащихся.[20]

1. Целями организации факультативных занятий (спецкурса) по математике являются: расширение кругозора учащихся; развитие математического мышления; формирование активного познавательного интереса к предмету; воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углубленного изучения математики.

Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе, математического образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объем и сложность изучаемого материала. Факультативные занятия по математике призваны углубить математические знания школьников, уже определивших основной круг своих учебных интересов. Однако интересы учащихся не всегда бывают четкими и устойчивыми, чтобы они сами могли их назвать с полной определенностью.

Факультативные занятия (спецкурс) оказывают положительное влияние и на классные уроки. Учащиеся начинают более тщательно, углубленно изучать учебный материал; читать дополнительную литературу и рассказывать о прочитанном в классе, увлекая этим и других ребят. [27]

Учитывая, что потребность в специалистах, владеющих математикой сейчас велика, необходимо формировать соответствующий интерес еще в школе. Поэтому, помимо уроков математики, в школе проводят факультативные занятия (спецкурс) по математике.

2. Организация факультативных занятий (спецкурса) по математике.

В настоящее время предусмотрены факультативные занятия, начиная с VII класса, но в V-VI – предусмотрены его элементы. Факультативные группы численностью 15-20 человек создаются из учащихся параллельных классов. Для успешного проведения занятий необходимо внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов. Проведение данных занятий требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя.

Выбор факультативных занятий (спецкурса) производится школьниками свободно, в соответствии со своими интересами. Требования к ученику, участвующего в работе спецкурса, такие же, как и в отношении любого предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий и других поручений, собранность, дисциплинированность в учебе и т.д.

3. Особенности факультативных занятий (спецкурса) по математике.

Факультативный курс математики представляет собой систему нескольких тем, относительно слабо связанных между собой. Каждая из них развивает некоторые из основных для школьной математики идей, понятий, методов. Отсюда следует, что факультативные занятия (спецкурс) необходимо соотнести с основным курсом математики. Для достижения такой связи используются разнообразные методические приемы:

• систематизация, когда соответствующая факультативная тема изучается после того, как в основном курсе накоплен обширный относящийся к ней материал;

• последовательное развертывание теории, когда в основном курсе имеется начальный этап ее построения, не доведенный до обобщающих результатов;

• развернутое описание приложений определенного метода, если в основном курсе они только упомянуты. И многие другие.

Основной курс математики служит, таким образом, источником тем для углубленной разработки на спецкурсе. Взаимосвязью основного и факультативного курсов естественно воспользоваться для развития мышления учеников, и в нужный момент обращать их внимание на характер работы с материалом. Воздействие факультативного курса на развитие мышления школьников усилится, если связи между ним и основным курсом станут двусторонними. Достигнуть этого поможет изложение на уроках математики результатов, относящихся к проблемам, поставленным в основном курсе, но полученным на факультативном занятии.

Еще одна особенность факультативных занятий – их преемственность в отношении ко многим формам внеклассной и внешкольной работы по математике. Спецкурсы (факультативные занятия), как и обучение в математических классах, дополняют математические кружки не только новым содержанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, присущими любому учебному предмету: связанностью изложения, длительностью цикла изучения темы и др.

Факультативные занятия (спецкурс) предоставляют большие возможности подготовки к математическим олимпиадам, выступлениям в школьных математически лекториях и вечерах. Таким образом, спецкурсы могут оказывать положительное воздействие на внеклассную работу.

4. Содержание факультативных курсов.

Предполагается, что в процессе занятий будет показано: история возникновения ряда математических методов, концепций и идей, их значение для других наук и областей практической деятельности.

Некоторые вопросы раскрытия материала факультативного курса.

• Исторический материал на факультативных занятиях.

Историческому аспекту математики на факультативных занятиях (спецкурса) можно уделить большее внимание, чем в основном курсе, поскольку на них выносится сравнительно немного вопросов, но изучаемых с достаточной глубиной. Степень включенности исторических сведений в различные темы факультативного курса может меняться от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане ее последовательного исторического развития. Необходимо учитывать как педагогическое, так и методологическое влияние исторических сведений на формирование мировоззрения и развитие мышления школьников.

• Прикладная направленность факультативного курса математики.

Важнейшей особенностью факультативных занятий по математике является их направленность в сторону приложений математики. То есть необходимо предусмотреть обсуждение того значения, которое они имеют в различных областях науки и производства.

• Практические работы.

Эта форма занятий в наибольшей степени сближает процесс обучения в школе с различными применениями знаний на практике. Для проведения практических работ учитель составляет инструкцию, в которой нужно определить цели практической работы, задания для учащихся, порядок работы. Задания полезно подбирать дифференцированно, а при подведении итогов показать результаты деятельности всей группы как целого.

5. Методы обучения на факультативных занятиях.

При выборе методов и приемов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интерес. Одно из главных требований к методам - активизация мышления учащихся, развитие самостоятельности в различных формах ее проявления.

На факультативе могут использоваться разнообразные формы и методы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады, экскурсии.

Большое значение для успешного усвоения материала учащимися имеет подбор задач. Вводные задачи на факультативных занятиях преследуют цель включения учащихся в самостоятельную творческую работу; подчас учитель может намеренно привести задачу, способную поставить учеников в тупик, следствием которой является разбор того или иного материала, введения нового понятия. Следует предусмотреть также в нужных местах изложения проблемные задачи, циклы для самостоятельного решения, задачи для закрепления навыков, исследовательские задачи, а также задачи повышенной трудности для развития познавательного интереса.[20]

Таким образом, факультативные занятия способствуют развитию учащихся и более глубокому усвоению изучаемой темы. Рассмотрим структуру спецкурса.

2.1.2 Содержание факультативного курса по теории делимости

Одной из главных образовательных задач школы является обеспечение сознательного, активного и систематического усвоения учащимися основ науки. Результатом должно быть не только усвоение знаний, но и образование системы знаний, которую можно применять в жизни. Усвоение должно быть активным процессом, связанным с формированием познавательных задач. Положительное отношение к учению является необходимым условием полноценного усвоения учеником учебного материала. Исследования показывают, что положительное отношение помогает формировать следующие факторы:

• научную содержательность учебного материала;

• его связь с практикой;

• проблемный характер изложения материала предусматривается поисковой деятельностью учащихся.

Ребята переживают радость от самостоятельных открытий, они вооружают учащихся рациональными приемами познавательной деятельности.

Отношение учащихся к учебе выражается во внимании, интересе, готовности затратить усилия для преодоления трудностей различного характера.

Решение задач используется для разных учебных целей: формирования мотивации и интереса к учебной деятельности у учащихся, для иллюстрации и конкретизации изучаемого материала, выработки у учащихся специальных умений и навыков, формировании у учащихся общего подхода, общего умения решать любые математические задачи.

Целью факультативных занятий (спецкурса) является: развитие познавательного интереса, формирование умений математизировать простейшие ситуации жизненного характера, усматривать математические закономерности в окружающем мире, эффективно использовать математическую символику при решении задач, развивать наблюдательность, внимание, память, научить анализировать явления и предметы.

Учащиеся в результате работы на занятиях факультатива познакомятся со всем многообразием темы «Отношение делимости» и задачами на эту тему.

Программа факультатива предусматривает занятия с учащимися 5-9 классов в объеме 80 часов (на каждый год по16 часов).

Указанный факультативный курс (спецкурс) решает задачи:

1. Познакомить учащихся с дополнительными методами решения задач повышенной трудности.

2. Формировать познавательные умения анализировать, синтезировать, сравнивать, выделять главное, обобщать и др.

3. Способствовать умственному развитию учащихся.

4. Воспитывать интерес к чтению научно – популярной литературы.

5. Прививать чувство ответственности за порученное дело.[33]

В ходе проведения факультативных занятий (спецкурса) предусматривается: проведение групповых занятий; индивидуальные консультации; выполнение домашних работ; проведение текущих контрольных работ; проведение итогового контроля в виде зачета; проведение различных конкурсов; диагностика математических способностей учащихся.

В результате прохождения факультативных занятий (спецкурса) учащиеся должны: знать основные понятия темы «Отношение делимости»; уметь решать задачи и выделять в них главные идеи; знать основные методы решения задач на делимость.

Структура спецкурса (факультативных занятий).

I год обучения (5 класс)

1. Основные понятия: делители и кратные, свойства делимости.

2. Решение задач повышенной трудности.

3. Простые и составные числа.

4. Разложение на множители.

5. Решение задач.

6. Понятие о НОД и НОК.

7. Признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3, на 9.

8. Решение задач повышенной трудности.

9. Контрольные мероприятия.

II год обучения (6 класс)

1. Теорема о делении с остатком.

2. Признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 25, на 11.

3. Решение задач повышенной трудности.

4. Решение задач на нахождение НОД и НОК.

5. Основное свойство дроби.

6. Контрольные мероприятия.

III год обучения (7 класс)

1. Исследование свойств чисел с помощью теории делимости.

2. Делимость многочленов.

3. Решение задач повышенной трудности.

4. Разложение многочленов на множители.

5. Алгоритм Евклида.

6. Решение задач.

7. Контрольные мероприятия.

IV год обучения (8 класс)

1. Делимость степени.

2. Решение задач на делимость степени.

3. Алгоритм Евклида для многочленов.

4. Логические задачи.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Контрольные мероприятия.

V год обучения (9 класс)

1. Делимость степени.

2. Решение задач повышенной трудности.

3. Теорема Ферма.

4. Диофантовы уравнения.

5. Решение задач.

6. Контрольные мероприятия.

Тематическое планирование спецкурса (факультативных занятий).

Таблица №1

Для 5 класса.

Таблица №2

Для 6 класса

Таблица №3

Для 7 класса

Для 8 класса.

Таблица №5

Для 9 класса

2.2.1 Развитие познавательного интереса

Познавательные интересы, связанные с изучением предметов школьного учебного плана, часто называют учебными интересами. Таким образом, понятие «учебный интерес» - видовое по отношению к понятию «познавательный интерес», распространяющемуся на все области человеческого знания.

Познавательные интересы возникают под влиянием различных фактов и могут иметь различное содержание, глубину, направленность, устойчивость и т.д. Важнейшей областью общего феномена интереса является познавательный интерес. Проблема познавательного интереса актуально тем, что дидактика и практика обучения все больше обращаются к ребенку, к его знаниям и его развитию.

Общая теория интереса отражена в работах Б. Г. Ананьева, В. Г. Иванова, А. Г. Ковалева, И. М. Цветкова, М. Ф. Беляева, Л. И. Божовича, Л. А. Гордона, С. Л. Рубинштейна, В. Н. Мясищева.

Психологи и педагоги изучают познавательные интересы с различных сторон:

• одни рассматривают интерес как избирательную направленность человека, его внимания (Т. Рибо, Н. Ф. Добрынин), его мыслей, помыслов (С. Л. Рубинштейн);

• другие рассматривают интерес как проявление универсальной и эмоциональной активности (Е. К. Стронг, С. Л. Рубинштейн);

• у третьих интерес выступает как активатор разнообразных чувств (Д. Фрейд) и как своеобразная чувствительность ребенка (Ш. Бюлер);

• четвертые видят в интересе своеобразный сплав эмоционально-волевых и интеллектуальных процессов, повышающих активность сознания и деятельность человека (Л. А. Гордон);

• пятые представляют интерес как структуру, состоящую из потребностей (Ш. Бюлер);

• шестые представляют интерес как активное познавательное (В. Н. Мясищев, В. Г. Иванов), эмоционально-познавательное (Н. Г. Морозова) отношение человека к миру.

Таким образом, понятие «интерес» отображает множество значимых процессов – от единичных (внимание) до их совокупности. Он выражается в тенденциях, потребностях, отношениях.

В ходе исследования Н. Г. Морозовой [19] было установлено, что познавательный интерес характеризуется тремя обязательными моментами:

• положительной эмоцией по отношению к деятельности;

• наличием познавательной стороны этой эмоции; т.е. тем, что мы называем радостью познавания и познания;

• наличием непосредственного мотива, идущего от самой деятельности, т. е. деятельность сама по себе привлекает и побуждает заниматься ею независимо от других мотивов.

Познавательный интерес направлен на овладение знаниями, которые представлены в школьных предметах. При этом он обращен и к содержанию предмета и к процессу добывания знаний, т.е. к непосредственно познавательной деятельности. Познавательный интерес может перерасти в склонность.

Итак, рассматривая различные подходы к вопросу изучения познавательного интереса, мы будем придерживаться того мнения, что познавательный интерес – это сложный сплав интеллектуальных и эмоционально-психологических процессов. Это сложное отношение к предметам и явлениям окружающей действительности, в которой выражается стремление его к всестороннему, глубокому изучению и познанию существенных свойств.

В нашем эксперименте рассматривается:

1. с одной стороны в широком смысле слова, когда он распространяется на получение учебной информации вообще, на получение новых знаний о различных сторонах и областях предметного мира;

2. с другой, в узком смысле слова, когда познавательный интерес углублен в определенную область познания ее сущностные основы, связи, закономерности. Познание в нашей работе трактуется как процесс овладения учащимися определенными и более конкретными понятиями и закономерностями.

Мы учитываем, что познавательный интерес – явление многозначное и что он может влиять на процессы обучения и воспитания по-разному, различными своими сторонами, особенно, если построить обучение так, чтобы ученик понимал и принимал цели, поставленные учителем, становился объективным участником деятельности по их реализации, т.е. становился субъектом деятельности. Познавательный интерес в этом случае выступает в своих разнообразных модификациях (проявлениях):

1. как средство обучения;

2. как мотив учебной деятельности;

3. как устойчивая черта личности.

При формировании познавательного интереса детей необходимо учитывать большой ряд показателей, которые можно свести в следующую таблицу №6.[24]

Таблица №6

Показатели изучения познавательного интереса

2. Познавательный интерес в узком смысле слова.

2

Объекты направления познавательного интереса.

1. Содержание учебных предметов.

2. Знания.

3.Процесс овладения знаниями.

3

Аспекты познавательного интереса.

1. Содержание. 2. Глубина. 3. Устойчивость.

4.Степень дифференцируемости.

5. Степень осознанности.

6. Степень эмоциональной увлеченности.

7. Тенденция формирования. 8. Характер.

9. Области влияния на познавательный интерес.

4

Методы исследования познавательного интереса.

1. Анкеты. 2. Письменные работы.

3. Эксперимент. 4. Интервью.

5. Наблюдения.

6. Монографические изучения учащихся.

5

Показатели проявления познавательного интереса.

1. Характеризующие мыслительную активность.

2. Характеризующее эмоциональные проявления.

3. Характеризующие широту и избирательность интересов.

6

Признаки (критерии познавательного интереса).

1. Эмоционально-познавательное переживание в процессе деятельности.

2. Эмоционально-познавательное отношение к предмету или деятельности.

3. Эмоционально-познавательная мотивированная направленность личности учащихся.

Исходя из показателей изучения познавательного интереса, можно сформулировать уровни и критерии сформированности познавательного интереса, которые представлены в описании экспериментальной части. (Таблица №10)

Рассматривая формирование познавательного интереса школьников 5 – 6 классов, необходимо отметить, что из показателей обучения познавательного интереса для них характерны: прежде всего интересы в широком смысле слова, из объектов подлежит более глубокому изучению содержание учебных предметов, из аспектов – области влияния, характер познавательного интереса и тенденции формирования интересов, из показателей проявления интереса – те, которые характеризуют мыслительную активность; из признаков познавательного интереса – эмоционально-познавательное в процессе деятельности.

Об уровне развития познавательного интереса можно судить по развитию познавательных умений, которые формируются при решении задач повышенной трудности.

Умения, необходимые для решения познавательных задач, получили в теории название познавательные умения. Достаточно исчерпывающей систематики их нет.[32] Ученые преимущественно делят по степени обобщенности:

• конкретные (или предметные), отражающие специфику того или иного учебного предмета и проявляющиеся при усвоении конкретных знаний;

• обобщенные умения (или интеллектуальные), обеспечивающие протекание познавательной деятельности при изучении всех познавательных дисциплин, в силу того, что характерной особенностью их является независимость структуры этих умений от того содержания, на котором совершается умственная задача;

• общие умения самостоятельной познавательной работы (умение работать с книгой, наблюдать и т.д.), усвоению которых учащиеся приходят через усвоение предметных и процессуальных умственных действий.

Отметим особо обобщенные познавательные умения. К ним чаще всего относят: умения анализировать и синтезировать; умения сравнивать; умения выделять главное; умения обобщать; умения классифицировать; умения выделять причинно-следственные связи между явлениями.

Интерес тех учащихся, которые не владеют данными познавательными умениями, не проникает внутрь, он остается поверхностным. Только наличие отработанных познавательных умений может обогатить процесс протекания знаний, т.к. дает возможность ученикам своими силами осуществлять познавательную деятельность, что в свою очередь создает условия для развития познавательного интереса школьников.

Таким образом, можно сделать вывод, что познавательные умения играют большую роль в развитии познавательного интереса. Изменения в операционной сфере деятельности обязательно влекут за собой и изменения в сфере мотивации вместе с ростом познавательных умений растут и интересы, которые в свою очередь побуждают учащихся к поиску и решению новых познавательных задач.

Исходя из выше сказанного, можно выделить обобщенные и частные познавательные умения, характеризующие познавательный интерес школьников. Эти умения представлены в таблице №7.

Следует отметить, что обобщенные и конкретные познавательные умения дают возможность учителю составить план работы по формированию познавательных умений на занятиях и дать возможность оценить уровень владения тем или иным познавательным умением, т.е. оценить уровень развития познавательного интереса.

Выбрав показателями, уровень развития познавательного интереса указателем обобщенных познавательных умений, нами были разработаны дидактические тесты для 5-6 классов, для выявления уровня познавательного интереса.

Таблица№7

Обобщенные и частные познавательные умения.

1.2 умения разлагать исследуемое на части;

1.3 умения соединять исследуемые части в целое;

1.4 умения находить отличия признаков, явлений, событий;

1.5 умения находить сходные черты у признаков, явлений, событий.

2.

Умения выделять главное.

2.1 умения отделять существенное от второстепенных признаков предметов;

2.2 умения устанавливать иерархию признаков, явлений.

3.

Умения обобщать.

3.1 умения выделять в явлениях общее;

3.2 умения объединять явления в одну смысловую группу.

4.

Умения выделять причинно – следственные связи.

4.1 умения выделять причину события;

4.2 умения находить следствие события;

4.3 умения устанавливать те отношения и связи между явлениями, которые невозможно воспринять сразу.

Исследования показывают, что очень большое влияние на формирование познавательного интереса школьников оказывают формы организации учебной деятельности. Четкая постановка познавательных задач урока, доказательное объяснение материала, продуманная структура урока, использование в учебном процессе различных самостоятельных работ - все это является мощным средством развития познавательного интереса. Учащиеся при такой организации учебного процесса переживают целый ряд положительных эмоций, которые способствуют поддержанию и развитию их интереса к предмету.

2.2.2 Основные методические требования к организации процесса обучения данной темы

Требования к ученику

Для проведения спецкурса (факультативных занятий) необходимо выявить уровень подготовки учащихся (полноту их знаний, интеллектуальный уровень), а также их заинтересованность в изучаемом материале (то есть уровень их познавательного интереса).

Уровень подготовки учащихся изучается по результатам их работы на занятиях и по контрольным работам (см. Приложение 5).

Для определения интеллектуального уровня используем тест. Необходимо отметить, что на сегодняшний день единого определения интеллекта нет. Мы будем понимать «интеллект» как понимает его Кондаков Н. И. (Логический словарь справочник, 1975) «Интеллект рассматривается в виде целостной совокупности функции проявлений деятельности высокоорганизованной материи человеческого мозга, природы, общества и самого себя».

По тесту Равена можно выявить уровень интеллекта школьников, это нам необходимо для развития учащихся на спецкурсе (факультативных занятиях). Таким образом, всех учащихся можно разделить на уровни:

• низкий уровень интеллекта;

• ниже среднего уровень интеллекта;

• средний уровень интеллекта;

• уровень интеллекта выше среднего;

• высокий уровень интеллекта;

• высокий незаурядный уровень интеллекта.

Соответственно этой классификации, обучение должно даваться с различной степенью сложности, причем не всегда оценки за успеваемость должны совпадать с уровнем интеллектуального развития учащихся.

М. А. Холодная отмечает парадокс школьных оценок, что существуют учащиеся с высоким уровнем IQ и низкими отметками (именно эта часть учащихся игнорируется учителями). Поэтому курс обучения математики должен быть скорректирован не просто на усвоение математических терминов, а на расширение и усложнение индивидуальных интеллектуальных ресурсов личности средствами математики.[28]

Для определения уровня познавательного интереса учащихся проводится тест, составленный нами на основе изучаемой темы. Данный тест проводится в начале занятий спецкурса и в конце, для того, чтобы отследить уровень развития познавательного интереса учащихся.

Тест для пятиклассников.

Задание №1. Теоретический анализ.

В приведенных словах буквы переставлены местами. Запишите эти слова: 1) ябко; 2) знкрипа; 3) лсчои; 4) тркмеао; 5) лдитеьле.

Задание №2. Выделение существенного.

Найдите и запишите два слова из написанных в скобках, которые наиболее существенны для слова перед скобками:

1. Чтение (слово, глаза, книга, печать, очки);

2. НОД (числа, делитель, делимое, частное, произведение);

3. Делимость (свойства, признак, кратное, операция, деление);

4. Теорема (доказательство, формулировка, необходимость, достаточность);

5. Эратосфен (ученый, простые числа, правила, метод, решето).

Задание №3. Сравнение понятий.

1. Сравни понятия: книга – тетрадь. Общие и отличительные черты выпиши на листе в два столбика.

2. Выбери лишнее понятие.

1. сложение, умножение, деление, слагаемое, вычитание;

2. признак, свойство, теорема, доказательство, лемма;

3. НОД, НОК, делитель, кратное, деление;

4. простое, составное, кратное, единица.

Задание №4. Аналогия.

Даны три слова. Два первых находятся в определенной связи. Третье и одно из пяти слов, приведенных ниже, находятся в такой же связи. Найдите и запишите это четвертое слово.

1. слагаемое : сумма=множители : ?

разность, делитель, произведение, умножение, вычитание;

2. делитель : НОД=кратное : ?

НОК, ОК, ОД, делимость;

3. признак : делимость=Эратосфен : ?

составное число, простое число, множители, свойства, ученый;

4. делитель : делимое=множитель : ?

произведение, частное, множитель, уменьшаемое.

Задание №5. Назови одним общим словом.

1. Восток, запад - …

2. Линейка, тетрадь - …

3. Делитель, кратное - …

4. Простые, составные - …

5. Деление, умножение - …

В данном тесте задание №1 ориентировано на проверку сформированности познавательного умения анализировать, синтезировать (ПУ1), задание №2 ориентировано на проверку сформированности познавательного умения выделять главное (ПУ2), задание №3 ориентировано на проверку сформированности познавательного умения сравнивать (ПУ3), задание №4 ориентировано на проверку сформированности познавательного умения устанавливать аналогии (ПУ4), задание №5 ориентировано на проверку сформированности познавательного умения обобщать (ПУ5).

Таким образом, учитель, имея объективную картину по овладению учащимися умений и навыков, оказывает индивидуальную помощь каждому, учитывая рассмотренные аспекты.

Содержание спецкурса (факультативных занятий) в 5-6 классах

1. Структура занятий в 5-6 классах.

Опытно-экспериментальная работа по формированию познавательного интереса организовывалась в форме факультативных занятий (спецкурса).

Приведем план проведения факультативных занятий (спецкурса) по теме «Отношение делимости» в 5-6 классах, а также задачи, которые необходимы на этих занятиях.

Общая схема факультативных занятий (спецкурса).

1. Каждое занятие начинается с интеллектуальной разминки.

2. Далее небольшие доклады, подготовленные учащимися или самим учителем, рассчитанные на пять минут, (и могут быть интересные, занимательные материалы).

3. Проводится разбор заданий, входящих в домашние задание к этому занятию. Формы проведения проверки этих заданий могут быть разнообразными, например: объяснение решения задачи по готовому чертежу; рассмотрение основных этапов решения; нахождение ошибок в решении, записанном на доске и т.д.

4. Сообщаются понятия, символы, формулы, методы, которые понадобятся при решении задач на данном занятии: либо самим учителем; либо одним или несколькими учениками, получившими соответствующее задание на предыдущем занятии; либо проецируются с помощью кодоскопа; либо прийти к данному методу решения самостоятельно (или коллективно).

5. Решаются задачи на закрепление понятий и методов решения, а также задачи повышенной трудности на развитие познавательного интереса учащихся, их творческих способностей.

6. Задается задание к следующему занятию.

Планирование занятий рассмотрено в приложении 3.

В каждое занятие входили следующие этапы: 1) Мотивационный этап. Формирование интереса у учащихся к задачам повышенной трудности по данной теме и к процессу их решения. В ходе реализации этого этапа учащимся предлагается интеллектуальная разминка на закономерности, на развитие познавательного интереса учащихся. 2) Этап целеполагания. На этом этапе учитель привлекает учащихся к совместной деятельности по формированию целей занятия, обучая учащихся производить при этом разнообразные мыслительные операции: анализ, сравнение, группировка и др. 3) Подготовительный этап. В ходе решения задачи показывается учащимся, что их знаний недостаточно для решения задач повышенной трудности. 4) Основной этап. Этап введения основных понятий и свойств делимости, обучения решению задач повышенной трудности по данной теме. На этом этапе учащиеся учатся проявлять самостоятельность в процессе поиска решения, задавать вопросы по содержанию темы, замечать ошибки у себя и у сверстников исправлять их, анализировать способы решения, выдвигать новые познавательные задачи. Учитель при этом учит устанавливать сходства и различия в типах задач и методах решения, учит объяснять. 5) Этап применения полученных знаний в новых ситуациях. Ставятся новые проблемно-поисковые задачи, учащиеся приступают к самостоятельной частично-поисковой деятельности. 6) Творческий этап. Учащиеся получают на дом творческие задания и исследования задач.

Для примера приведем фрагменты содержания занятия по теме «Отношение делимости целых чисел» в 5 классе. Выбор фрагмента обусловлен значимостью того или иного теоретического момента для обучения познавательным умениям и дальнейшему развитию познавательного интереса.

На первом этапе (мотивационном) учащимся предлагается интеллектуальная разминка (с целью настроя учащихся на восприятие нового материала и повышение их интеллектуального уровня). Учащиеся работают в индивидуальной и коллективной форме. После самостоятельного выполнения задания проходит коллективное обсуждение предложенных способов решения, показываются различные способы, и выбирается наиболее рациональный способ.

На втором этапе (целеполагания) учитель совместно с учениками формулирует цели занятия: 1) познакомиться с основными понятиями теории делимости и со свойствами; 2) рассмотреть различные способы решения задач; 3) развивать умения сравнивать и анализировать.

На третьем этапе (подготовительном) учащимся предлагают задачу, которая не решается обычными способами и выясняется необходимость изучения понятий и свойств делимости. При этом работают учащиеся в парах, затем идет коллективное обсуждение.

На четвертом (основном) этапе происходит введение основных понятий данной темы: кратные, делители и др.; обсуждение методов решения задач на свойства делимости; составление таблицы свойств делимости; закрепление изученного материала. При этом учащиеся работают в парах, обсуждение приемов составления задач идет коллективно, мнение отдельных пар выслушивается всеми учащимися и обсуждается.

На пятом этапе (применения) перед учащимися ставятся задачи повышенной трудности, которые им необходимо решить и попытаться выделить методы решения задач. Учащиеся работают самостоятельно, затем обсуждают свои результаты в парах, далее выносят их на всеобщее обсуждение. Коллективно выдвигается рациональный способ решения задач.

На шестом этапе (творческом) учащиеся получают творческие задания на дом: составить и нарисовать задачу на свойства делимости.

На занятии, фрагменты которого были приведены, решались следующие задачи повышенной трудности:

Интеллектуальная разминка.

№ 1 7384915 849 5173

жаворонок ворон ? (ответ: кожа)

№

**

*

***

**

*

***

№ [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 3 x-3=2 8

8-x=7 5

[pic] x+2=11 ? (ответ: 10)

№

(ответ: 5)

№ 5 27 (15) 42

61 (18) 83

40 ( ? ) 21. (ответ: 7)

Задачи на свойства делимости.

№ [pic] [pic] 1. Заполнить пропуски, определяя натуральные делители числа 20.

[pic] [pic]

20

[pic] [pic]

Решение: Натуральные числа, на которые делится число 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. (ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20).

№2. Среди чисел a, b, c, d выберите числа, не кратные 5: a=23·10; b=123·47; c=23·9+23; d=12·7-12·2.

Решение: Число b не будет кратным 5, т.к. оно не содержит множителей, делящихся на 5. (ответ: b).

№3. Запишите в виде произведения число, которое: а) делится на 3; б) делится на 7; в) делится на 70.

Решение: На 3 делятся: 3, 6, 9,…, т. е. 3=3·1, 6=3·2,…Значит, 3n делится на 3, где n [pic] N. Аналогично 7n делится на 7, 70n делится на 70, где n [pic] N.

(ответ: 3n, 7n, 70n).

№4. Пусть в каждой из 12 школ по 5 пятых классов. А учебников привезли 1188 штук. Достанется ли каждому классу одинаковое количество учебников?

Решение: 1) 1188:12=99 (учебников получит каждая школа); 99 не делится на 5. Значит, поровну разделить учебники между классами не удастся.

(ответ: одинаковое количество каждому классу не достанется, т.к. 99 на 5 не делится).

№5. В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Решение: Таких двузначных чисел только три – это 31, 62, 93 и в каждом из них была зачеркнута первая цифра. В 31 при зачеркивании первой цифры, получили 1. Число 31 уменьшилось в 31 раз. 62:31=2; 93:31=3.

(ответ: в числах 31, 62, 93 зачеркнули первую цифру).

Так как на занятиях организована работа в парах и группах, то при организации самостоятельной работы, и при выдаче домашнего задания, разные учащиеся получают различные задания, ориентированные на их способности и качество успеваемости, уровень познавательного интереса

Таким образом, на занятиях оптимально использованы индивидуальная, парная. Групповая и коллективная работа учащихся на частично-поисковом и творческом уровне деятельности.

Анализ работы учащихся на занятиях (успешное выполнение заданий, итоги контрольных мероприятий, объем и правильность выполнения домашнего задания, и т.д.), анализ уровня овладения указанными учащимися познавательными умениями, наблюдения за данными учащимися на других уроках, опросы учителей, позволили нам сделать следующие выводы: происходит рост овладения познавательными умениями, а значит, растет познавательный интерес у учащихся (данные приведены в 2.3); возрастает познавательная активность учащихся на уроках математики; повышается успеваемость учащихся (в среднем на 5%).

Методы решения задач повышенной трудности.

Состояние математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи. Общепризнанно, что задачи являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития, формирования познавательных умений. От эффективности использования задач в обучении математике зависит качество образования, развитие познавательного интереса учащихся и их дальнейшая практическая деятельность. Поэтому не случайно, что в практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть времени.

Не смотря на это, многие учащиеся при решении задач испытывают большие трудности. Во многом это происходит потому, что математические задачи, содержатся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограниченных одной темой, не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Чаще всего функция таких задач сводится к иллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла, поэтому учащимся известно, каким методом следует решать данную задачу. Этот метод обычно подсказывается названием раздела учебника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т.д. При решении других задач у учащихся возникают трудности по нахождению методов ее решения.[12]

Поэтому мы остановились на задачах повышенной трудности, под которыми мы будем понимать задачи, алгоритм решения которых учащимся неизвестен и решение которых требует многосторонней системы знаний.

Решение таких задач на уроках, занятиях кружка, спецкурса и других видах внеклассных занятий позволяет учащимся накапливать опыт в составлении, наблюдении, выявлять несложные математические закономерности, высказывать догадки, нуждающиеся в доказательстве. Кроме того, эти задачи помогут учителю в воспитании таких нравственных качеств личности как трудолюбие, упорство в достижении цели и др.

Для достижения желаемых результатов используются определенные методы решения задач повышенной трудности:

1. Метод полного перебора. Заключается в том, что при поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и дает решение задачи. Полный перебор требует, как правило, больших усилий и длительного времени. Однако внимательный анализ условия частично позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более удобную, чем «лобовой» перебор.[10]

2. Метод моделирования. Он заключается в составлении математической модели, с помощью которой и решается задача. Математические модели – выражения, уравнения, описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории с помощью системы алгебраических уравнений или неравенств.[10]

3. Метод аналогий. С помощью аналогии сходство предметов распространяется на новое их свойство. Заключение по аналогии является вероятным, а не достоверным. Но аналогия полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом.[20]

4. Метод индукции. Индукция – это метод рассуждения от частного к общему, вывод заключения из частных посылок. Т.е., задачи решаются в несколько этапов и лишь после этого делается окончательный вывод.[20]

5. Метод разбиения на части. Данный метод заключается в решении задачи путем ее разбиения на несколько частей и решении каждой части в отдельности. Затем подводят общий результат.[18]

(Подборка задач повышенной трудности по теме «Отношение делимости» для 5-6 класса в приложении 4).

Требования к учителю

Для проведения спецкурса (факультативных занятий) учитель, прежде всего, должен быть психологически готов и настроен на специфику занятий. Ему необходимо:

• расширить математический кругозор учащихся;

• приобщить их ум к некоторым тонкостям математического мышления;

• познакомить учащихся с историей возникновения некоторых математических идей;

• связать теоретический материал программы с практическим приложением его;

• подобрать, а часто и вновь отыскать соответствующую выбранной теме литературу; подобрать задачи и прорешать их;

• проконсультировать учащихся готовящих доклад;

• проанализировать все решения, предложенные учащимися, внеся необходимые поправки по оформлению;

• подготовить дидактический материал для проведения контрольных и самостоятельных работ;

• подбирать упражнения и задачи, вызывающие у учащихся интерес и желание их решать.[30]

При проведении факультативных занятий (спецкурса) применялись классические методы обучения: беседа, рассказ, разъяснение нового, выражение неизвестного через известное, «привязка» новых знаний к старым (с целью понимания нового), повторение, заучивание (с целью запоминания), выполнение различных упражнений и тренинговых задач (с целью применения знаний по правилу), постановка проблемы, решение задач повышенной трудности, выполнение творческих домашних задач (с целью применения заданий в новых учебных условиях). Метод обучения – это способы совместной деятельности учителя и учащихся на достижение ими образовательных целей.[30]

Для более эффективных результатов спецкурса на каждом этапе занятия использовались различные современные педтехники – методико-педагогические приемы, позволяющие решать поставленные на данном этапе задачи.[31]

На этапе проверки домашнего задания:

• тестовые задания (задания открытой и закрытой формы, задания на соответствие и установление правильной последовательности);

• выполнение учащимися заданий, подобных домашним;

• обращение к учащимся с просьбой продолжить ответ ученика;

• постановка дополнительных вопросов;

• разноуровневые самостоятельные работы;

• техника обучения с опорой на ошибки.

На мотивационном этапе и этапе целеполагания использовались:

• объяснение учащимся целей учебного занятия одновременно с сообщением темы;

• сообщение цели в виде проблемного задания;

• «ассоциативный ряд». Учитель пишет на доске какое-нибудь слово (название темы). Учащимся предлагается записать на отдельных листочках ассоциации, которые у них возникли в связи с представленным на доске словом. Затем учитель собирает листочки и вместе с учащимися анализирует написанное. В результате такого анализа по совпадению ассоциаций определяется обобщенный образ темы. Такая работа позволяет провести классификацию имеющихся у школьников представлений и спланировать изучение новой темы с учетом имеющегося у детей субъективного опыта;

• «мозговая атака».

На этапе изучения нового материала:

• «работа» с определением вводимых понятий (родовое слово и видовые признаки);

• использование обыденных аналогий как способов включения в содержание субъективного опыта учащихся;

• представление изучаемого материала в сравнительных или классифицирующих таблицах;

• экстроактивный режим (рассказ, лекция, сообщение, объяснение).

На этапе проверки знаний:

• «ассоциативный ряд»;

• «пчелиный улей». Учитель дает задание учащимся, в парах обменятся мнениями о том, кто что узнал, и сформулировать два вопроса, которые они хотели бы задать. Далее вопросы задаются и даются на них ответы, либо учителем, либо учащимися. Таким образом, происходит переработка полученной от учителя информации;

• использование заданий на узнавание учащимися изученных познавательных объектов.

На этапе закрепления новых знаний:

• использование взаимообратных задач;

• «вопросно-ответное общение». Каждый записывает вопрос на листочке и пускает по классу, все желающие отвечают, затем разбирают, делают выводы;

• «придумай свои задания».

На этапе применения знаний:

• групповая работа;

• «учебные станции»;

• разноуровневые самостоятельные работы;

• «дебаты «за» и «против»»;

• задания на самостоятельное построение алгоритмов решения опорных типов задач.

На этапе информации о домашнем задании:

• «три уровня домашнего задания»;

• «особое задание»;

• интересная постановка учебной проблемы, если речь идет о познавательных заданиях.

Таким образом, мы остановились на выборе данных педтехник для реализации основной цели спецкурса. Итак, разработав спецкурс по теме «Отношение делимости» в 5 классе и проведя его можно сказать о том, что действительно обучение школьников нужно делать интереснее и привлекательнее, это помогает более эффективному усвоению знаний.

2.3 Результаты экспериментальной работы

Педагогический эксперимент проходил в МОУ СОШ № 148 г. Челябинска в 5 классе.

В задачи педагогического эксперимента входило:

1. Изучить состояние исследуемой проблемы в теории и практике школьного обучения.

2. Познакомиться с опытом работы учителей.

3. Разработать спецкурс (факультативные занятия) по теме «Отношение делимости» в 5-9 классах.

4. Подобрать задачи повышенной трудности по данной теме для 5-6 классов.

5. Разработать тест и контрольные работы для отслеживания результатов развития учащихся.

6. Провести занятия спецкурса с целью повышения качества образования и развития познавательного интереса.

На первом этапе экспериментальная работа заключалась в проведении контрольной работы и теста, для отслеживания уровня успеваемости учащихся и уровня их познавательного интереса.

Уровень успеваемости учащихся.

Данные по успеваемости основывались на анализе и итогах контрольной работы, которая оценивалась по девяти бальной системе. Оценка уровня успеваемости осуществлялась следующим образом. Группа была разделена по четырем уровням успеваемости, исходя из балла контрольной работы. К первому (минимальному) уровню были отнесены те учащиеся, у которых балл по контрольной работе составил 5-6. Ко второму (общему) уровню были отнесены те учащиеся, у которых – 7-8. К третьему (продвинутому) уровню были отнесены те учащиеся, у которых балл 9. Результаты представлены в таблице №8 (см. Приложение 6).

Согласно данным таблицы №8, учащиеся были распределены в группе

по следующим уровням успеваемости (таблица №9).

Таблица №9

Распределение учащихся по уровню успеваемости

Таким образом, на начальном этапе эксперимента большинство учащихся 50 % имеют общий уровень успеваемости, а учащихся с продвинутым уровнем успеваемости всего 15 %, минимальный уровень успеваемости –35%.

Уровень развития познавательного интереса учащихся.

Уровень познавательного интереса учащихся отслеживался на основе бесед с учителями, психологами школы и проведения теста.

Оценивался уровень познавательного интереса согласно четырем критериям, которые представлены в критериально-уровневой шкале (таблица №10).

Таблица №10

Критериально-уровневая шкала определения сформированности у школьников уровня познавательного интереса

В таблице №11 представлены данные по уровню развития познавательного интереса школьников (см. Приложение 6). Анализируя данные этой таблицы, определим сформированность уровня познавательного интереса у школьников на начальном этапе (таблица №12).

Таблица №12

Сформированность уровня познавательного интереса учащихся

Учащихся с нулевым уровнем познавательного интереса 20%, с низким 45%, а с высоким 10%, видно, что у учащихся в целом слабо выражен интерес к познанию, а из познавательных умений более развито ПУ1(умение анализировать).

Таким образом, по результатам исследования: успеваемости и развития уровня познавательного интереса учащихся, развития интеллектуального уровня школьников (данные взяты у психолога школы), учащиеся были разделены на несколько групп: с разным уровнем усвоения материала, успеваемостью, уровнем познавательного интереса. Характеристика этих групп учитывалась при проведении занятий спецкурса.

Итак, учащихся мы разбили на три группы: I группа – 1A, 1B, 1C, 2A; II группа – 2B, 2C; III группа – 2D, 3C, 3D, исходя из того каков их уровень успеваемости и познавательного интереса.

В таблице №13 представлены результаты распределения учащихся по группам.

Таблица №13

Распределение учащихся по группам

I группа - это группа с минимальным и общим уровнем успеваемости и низким, средним и высоким уровнем развития познавательного интереса.

II группа – группа с общим уровнем успеваемости и средним и высоким уровнем познавательного интереса.

III группа – группа с общим и продвинутым уровнем успеваемости и с высоким уровнем развития познавательного интереса.

Таким образом, при построении факультативных занятий (спецкурса), мы учитывали уровень развития познавательного интереса учащихся и уровень успеваемости. Число учащихся, заинтересованных в занятиях спецкурса, из первой группы составило 50 %, что говорит о недостаточном уровне развития познавательного интереса в данном классе.

Второй этап экспериментальной работы заключался в проведении 5 занятий спецкурса в 5 классе (фрагменты одного из занятий представлены в 2.2.2), в котором акцентировалось внимание на решении задач повышенной трудности, методах их решения (разработанный спецкурс представлен в 2.2).

На заключительном этапе экспериментальной работы:

• выявлялся уровень успеваемости учащихся;

• изучался уровень развития познавательного интереса.

Уровень успеваемости учащихся

Данные об успеваемости основывались на итогах контрольной работы. Результаты сформированности уровня успеваемости у учащихся представлены в таблице №14 (см. Приложение 6). Исходя из данных этой таблицы, учащиеся распределились по уровням успеваемости на основании следующих критериев (таблица №15).

Таблица №15

Критериально-уровневая шкала успеваемости

Таблица №16

Распределение учащихся по уровню успеваемости

После проведения спецкурса учащиеся распределились по уровням познавательного интереса, согласно следующим критериям (таблица №17).

Таблица №17

Критерии распределения учащихся по уровням познавательного интереса

Таблица №19

Сформированность уровня познавательного интереса

Однако стоит отметить, число учащихся, имеющих прежний уровень познавательного интереса: в уровне D – 1 учащийся, в C – 3 учащихся, в B – 5 учащихся, в A – 2 учащихся. У всех остальных учащихся уровень познавательного интереса изменился: повысился у 7 учащихся, понизился у 3 учащихся.

Эффективность работы наблюдается и в следующих результатах: ПУ1 повысилось у 8 человек, ПУ2(умение выделять главное) – у 6 человек, ПУ3(сравнивать) – у 8 человек, ПУ4(устанавливать аналогии) – у 6 человек, ПУ5(обобщать) – у 1 человека. Таким образом, наибольшие сдвиги в развитии познавательных умений произошли у ПУ1 и ПУ3.

Отслеживая уровень успеваемости учащихся, необходимо отметить также положительные результаты: количество учащихся, относящихся к продвинутому уровню успеваемости, стало на 5% больше, уменьшилось количество учащихся с низким уровнем развития познавательного интереса.

Подводя итоги, следует отметить, что в целом результаты эксперимента подтверждают гипотезу: решение задач повышенной трудности способствует развитию познавательного интереса и повышению качества образования.

Диаграммы сравнения уровней успеваемости учащихся и уровня познавательного интереса.

Диаграмма №1

[pic]

НЭ – начальный этап, ЗЭ – заключительный этап эксперимента

Диаграмма № 2

[pic]

Выводы по II главе.

1. Полученные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что внедрение в образовательный процесс спецкурса по теме «Отношение делимости» в 5-6 классах и решения задач повышенной трудности по данной теме дает положительные результаты.

При обучении в рамках спецкурса (факультативных занятий):

• повышается познавательный интерес учащихся к предмету;

• повышается качество обучения;

• у детей появляется потребность в приобретении знаний;

• повышается качество выполнения домашнего задания.

2. Результаты проведенного эксперимента убеждают в эффективности используемой формы проведения занятий и эффективности методов обучения решению задач. Так количество учащихся, имеющих продвинутый уровень успеваемости в ЭГ после проведения спецкурса по теме «Отношение делимости» в 5-6 классах увеличилось на 5 % по сравнению с начальным уровнем успеваемости, а имеющих минимальный уровень успеваемости уменьшилось на 5% по сравнению с начальным этапом. Увеличилось число учащихся с высоким уровнем познавательного интереса на 5%.

3. Исходя из данных эксперимента, можно заключить, что учащиеся стали более заинтересованно относится к обучению, к предмету математики. Повысился их познавательный интерес в целом, а в частности: ПУ1 – у 8 человек, ПУ2 – у 6 человек, ПУ3 – у 8 человек, ПУ4 – у 6 человек и ПУ5 – у 1 человека. Каждый ученик стал стремиться к развитию и к более высокой успеваемости.

Заключение

Наша опытно-экспериментальная работа повещена решению задач повышенной трудности по математике по теме «Отношение делимости» в 5 – 6 классах, которые способствуют повышению качества образования и развитию познавательного интереса в 5 - 6 классах.

В ходе исследования нами была изучена теоретическая и учебно-методическая литература по данной теме разработаны факультативные занятия (спецкурс) по теории делимости, по решению задач повышенной трудности, рассмотрены методы решения данных задач.

Результаты опытно-экспериментальной работы подтверждают гипотезу и позволяют сделать следующие выводы:

1. Рационально организованная и систематически проводимая работа на факультативных занятиях (спецкурсе) способствует овладению всеми учащимися глубокими и прочными знаниями, умениями по решению задач повышенной трудности.

2. Правильная организация факультативных занятий (спецкурса) по решению задач повышенной трудности требуют от учителя большого мастерства и высокой методической подготовки:

• учитель организует решение задач повышенной трудности, зная особенности и конкретные затруднения учащихся различных групп в ходе ее выполнения;

• планирует работу, проявляя индивидуально дифференцированный подход к учащимся;

• способствует накоплению определенного фонда знаний и формированию у ребят познавательного интереса.

3. Повышается общая качественная успеваемость по предмету.

4. Увеличивается количество учащихся, работающих самостоятельно и целенаправленно.

Проведенная контрольная работа показала повышение теоретического интереса учащихся к предмету, повышение уровня успеваемости.

Наше исследование показало обще-дидактическую значимость внедрения результатов опытно-экспериментальной работы. Необходимость введения в процесс обучения задач повышенной трудности, развивающих интерес учащихся к предмету математики и уровню качества образования учащихся. В дальнейшем следует продолжить разработку факультативных занятий (спецкурса) по решению задач повышенной трудности.

Библиография

1. Алгебра и теория чисел / Н. А. Казачек, Н. Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1974. – 200 с.

2. Андронов И. Н., Окунев А. К. Арифметика рациональных чисел. – М.: Просвещение, 1990. – 399 с.

3. Арнольд И. В. Теория чисел. – М.: Учпедгиз, 1939. – 288 с.

4. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Учпедгиз, 1960. – 375 с.

5. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. – М.: Наука, 1980. – 94 с.

6. Гайштут А. Упражнения по развитию мышления. Развивающие задачи. – тип ФПУ, Киев, 1994. – 64 с.

7. Галкин Е. В. Задачи с целыми цифрами // Математика в школе, 2000 №3 – 4.

8. Гельфман Э. Г. Дело о делимости. – Томск: Изд-во Томского ун-та, 1992. – 176 с.

9. Германович П. Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. – М.: Просвещение, 1960. – 224 с.

10. Дорофеев В. Г. , Петерсон Л. Г. Математика 5 класс. Ч 1: Учеб. для 5 кл. – «Баллас», «С - ИНФО»,1996. – 176 с.

11. Задачи для математического кружка 5 – 6 классов. Физ.-мат. лицей №31, - Челябинск, 2001. – 88 с.

12. Кордемский Б. А. Очерки о математических задачах на смекалку. – М.: Учпедгиз, 1958. – 116 с.

13. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов. – М.: Просвещение, 1986 – 96 с.

14. Математика. Учеб. пособие для студентов / под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1977. – 351 с.

15. Математика: Учеб. для 5 кл. средней школы / Н. Я. Веленкин, А. С. Чеснаков, С. И. Шварцбурд, В. И. Жохов. – М.: Просвещение, 1992. – 304 с.

16. Математика: Учеб. для 6 кл. средней школы / Н. Я. Веленкин, А. С. Чеснаков, С. И. Шварцбурд, В. И. Жохов. – М.: Просвещение, 1991. – 256 с.

17. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват учреждений / под ред. Дорофеева Г. В., Шарыгина И. Ф. - -М.: Просвещение 1999. – 368 с.

18. Мишин В. И. МПМ В средней школе (частная). – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

19. Морозова Н. Г. Воспитание познавательного интереса у детей в семье. – М.: Изд-во АПНРСФСР,1961. – 224 с.

20. МПМ / под ред. Черкасова Р. С. и др. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

21. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1984. – 159 с.

22. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. Математика: Учеб. для 5 кл. средней школы. – М.: Просвещение, 1992. – 304 с.

23. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. Математика: Учеб. для 6 кл. средней школы. – М.: Просвещение, 1991. – 224 с.

24. Орлова Е. С. А. Я. Коменский и развитие познавательных интересов учащихся: Тез. докл. на междунар. практической конференции. – Челябинск, 1997. – С. 75.

25. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. – М.: Просвещение, 2000. – 240 с.

26. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978. – 400 с.

27. Усова А. В., Вологодская З. А. Внеклассная работа по физике в школе. – Челябинск: ЧГПИ, 1989. – 80 с.

28. Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. – М.: Барс, Томск: Изд-во Томского ун-та, 1997. – 391 с.

29. Хрестоматия по истории математики / под ред. А. П. Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976. – 318 с.

30. Хуторской А. В. Современная дидактика. – С-П.: Питер, 2001. – 544 с.

31. Шамова Т. И., Давыденко Т. М. Управление образовательным процессом в адаптивной школе. – М.: Центр «Педагогический поиск», 2001. – 384 с.

32. Щукина Г. И. Формирование познавательного интереса учащихся в процессе обучения. – М.: Учпедгиз, 1962. – 230 с.

Приложение 1

Задачи, приводимые во всех учебниках.

Делители и кратные.

№1. Найдите все делители и запишите их в порядке возрастания для числа: 34, 44, 66, 100.

Найдите все делители и запишите их в порядке убывания для числа: 36, 55, 46. 99.

№2. Укажите те пары чисел, в которых первое число является делителем второго: 2 и 6, 3 и 5, 3 и 9, 4 и 12, 7 и 28, 5 и 18, 10 и 30.

Назовите те пары чисел, в которых первое число кратно второму: 9 и 3, 10 и 4, 15 и 1, 9 и 2, 24 и 6.

№3. Запишите три последовательных числа, начиная с наименьшего, кратных числу: 2, 6, 14, 17. Подчеркните наименьшее число, являющееся кратным данного числа.

№4. Запишите какие-нибудь два числа, делителем которых является число 15.

Признаки делимости.

№1. Выпиши числа, которые делятся 1) на 5; 2) на 10. 430, 708, 95, 1300, 605, 4001, 90, 175, 104, 800, 34000.

№2. Можно ли из данных цифр составить трехзначное, делящееся: a) на 3; б) на 9: 1) 1, 2 ,5; 2) 2,3, 7; 3) 0,5,4?

№3. Назовите три числа которые: а) делятся на 2 и на 5; б) не делятся ни на 2 ни на 5.

№4. Будет ли а) 2 делителем числа 5319; б) 5 делителем числа 16286; в) 10 делителем числа 87550.

№5. Даны числа: 42, 58, 73, 306, 117, 1017, 250, 99. Выпишите из них отдельно четные числа, отдельно нечетные.

№6. Делится ли на 9 число: 6237, 22445, 123456, 9999999.

№7. Делится ли на 3 число: 1428, 6591, 222333, 108902703.

№8. Из чисел 98, 69, 73, 162 выпишите числа, кратные 3, и расположите их в порядке возрастания.

№9. Следующие числа делятся на 9, отгадайте в них размазанные цифры: 235*, 47*2, 5*65, *711.

№10. Какие цифры следует поставить вместо звездочек в записи 2*5, 46*, чтобы получившиеся числа делились на 3?

Простые и составные числа.

№1. Выпишите из данных чисел: 13, 28, 105, 426, 61, 37, 505 1) составные числа; 2) простые числа.

№2. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберите из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 909 простые числа.

№3. Используя признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, докажите, то данные числа составные: 93, 87, 1191, 3009, 210724?

Разложение чисел на простые множители.

№1. Разложите на простые множители числа: 216, 1024, 60, 400, 1001, 45630.

№2. Найдите все простые делители числа: 300, 512, 625.

№3. Определите, какие из следующих чисел являются простыми, а какие составными. Составные числа разложите на простые множители: 313, 341, 343, 347, 377, 383, 397.

№4. Узнайте по разложению чисел на простые множители, делится ли одно из них на другое. Если делится, то найдите частное: 1) 2·3·5 и 2·5; 2) 5·7·47·67 и 67·7·3.

Наибольший общий делитель.

№1. Найдите все общие делители чисел и подчеркните наибольший: 1) 14 и 22, 2) 33 и 39, 3) 42 и 28, 4) 15, 25 и 35.

№2. Даны разложения двух чисел. Найдете НОД этих чисел: 1) 2·3·7 и 2·5·11; 2) 2·2·3·3·5 и 2·3·5

№3. Найдете НОД числителя и знаменателя: [pic] , [pic] , [pic] .

№4. Являются ли взаимно простыми числа: а) 35 и 40; б) 231 и 280.

№5. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в подарке?

Наименьшее общее кратное.

№1. Найдите НОК чисел: 1) 6 и 8; 3) 34, 51 и 68; 2) 12 и 16; 4) 168, 231 и 60.

№2. Найти НОК чисел а и b, если: 1) а=2·2·3·5·5 и b=2·3·3·3·5;

2) а=3·3·7·7 и b=2·3·3·5·7·7.

№3. Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов.

Приложение 2

Задачи, приводимые не во всех учебниках.

Делители и кратные числа.

• В учебнике (3).

№1. Придумайте несколько чисел, которые имеют только четыре делителя.

№2. Известно, что число делится на 2, 3 и 5. На какие ещё числа делится это число?

• В учебнике (2).

№3. Объясни, почему среди делителей данного числа всегда найдётся наименьшее и наибольшее число.

№4. Объясни, почему среди кратных данного числа найдётся наименьшее, но нет наибольшего числа.

№5. Запиши те значения х, кратные числу 6, при которых неравенство 48<х<94 верно.

Признаки делимости.

• В учебнике (2).

№6. Из цифр 0. 2. 5 и 7 составь по три трёхзначных числа, которые делятся: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10.

• В учебнике (1).

№7. Какие из чисел 200, 320, 3000, 50000, 861. 76540 делятся на 100? Какие из них делятся на 1000? Сформулируйте признаки делимости на 100, 1000.

№8. Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать: а) число, которое делится на 10; б) чётное число?

№9. Какие числа, кратные 5. удовлетворяют неравенству: а) 64<х<78; б) 1<у<30.

• В учебнике (1).

№10. Мама принесла детям три одинаковых подарка. Может ли быть, что во всех этих подарках было 25 конфет? 75 конфет?

№11. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырёхзначное число, делящееся на 3, 9, 6?

• В учебнике (3).

№12. Из цифр 3, 4, 5 составьте трёхзначные числа так, чтобы при записи числа каждая из этих цифр использовались только один раз. Сколько из этих чисел делятся: а) на 2; б) на З; в) на 5; г) на 6; д) на 7; е) на 8?

• В учебнике (2).

№13. Можно ли из данных цифр составить трёхзначное число, делящееся: а) на 3; б) на 9; 1) 1, 2, 5; 2) 2, 3, 7; 3) 0, 5, 4?

№14. Найди числа х. делящиеся: а) на 3; б) на 9, такие, чтобы неравенства были верными: 1) 27<х<42; 2) 32<х<70; 3) 120<х<150.

Простые и составные числа.

• В учебнике (1).

№15. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?

№16. При каких натуральных значениях а произведение 23а является простым числом?

№17. Существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а периметр – простым числом?

№18. Какие простые числа являются решениями неравенства 17<р<44?

Разложение на простые множители.

• В учебнике (2).

№19. Замени звёздочки цифрами, такими, чтобы равенство было верным: 1) 77*=*-5-7-11; 2) 3*5=*-3-5.7

Наибольший общий делитель.

• В учебнике (2).

№20. В первом туристском отряде 24, а во втором 18 туристов. Нужно построить первый отряд в колонну, чтобы в каждом ряду было туристов поровну. Сколько имеется возможностей?

№21. Объясни, почему среди общих делителей данных чисел всегда найдётся наименьшее и наибольшее число.

№22. В шестых классах 36 мальчиков и 48 девочек. Сколько существует возможностей создать группы учащихся, чтобы в группах было по одинаковому числу девочек и мальчиков? Какое может быть наибольшее число таких групп?

• В учебнике (1).

№23. Запишите все дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель – взаимно простые числа.

№24. Какие из следующих утверждений верны: а) два чётных числа не могут быть взаимно простыми; б) чётное и нечётное числа всегда взаимно простые; в) два различных простых числа всегда взаимно простые; г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное.

• В учебнике (1).

№25. Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

№26. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй 20 суток и третий 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание.

• В учебнике (3).

№27. С конечной остановки выезжают по двум маршрутам автобусы. Первый возвращается каждые 30 мин, а второй – каждые 40 мин. Через какое наименьшее время они снова окажутся на конечной остановке вместе?

№28. Возле моего дома останавливаются автобусы, идущие по трём разным маршрутам. Один из них подходит к остановке через каждые 3 мин, другой – через каждые 6 мин, третий -через каждые 10 мин. В 8 ч 45 мин я выглянула в окно: на остановке стояли все три автобуса. В какое ближайшее время на моей остановке окажутся снова три автобуса? В какое ближайшее время на моей остановке окажутся одновременно два автобуса?

• В учебнике (2).

№29. Какое наименьшее число метров материала должно быть в рулоне, чтобы его можно было продать без остатка по 3 м или по 4 м?

№30. В детском велосипеде ведущая шестерня (скреплённая с педалями) имеет 44 зубца, а ведомая шестерня (скреплённая с задним колесом велосипеда) имеет 20 зубцов. Определите наименьшее число оборотов, которое сделает ведущая шестерня, чтобы шестерни заняли первоначальное положение. Сколько оборотов за это время сделает ведомая шестерня?

№31. Маленькая коробка вмещает 24 карандаша, а большая 30 карандашей. Найди наименьшее число карандашей, которое может быть разложено как в маленькие коробки, так и в большие.

Приложение 3

Планирование занятий спецкурса.

5 класс.

Занятие 1 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Вводная беседа учителя о важности «Отношения делимости».

3. Введение понятий делителей и кратные, свойства делимости.

4. Разбор методов решения задач повышенной трудности по данной теме.

5. Домашнее задание: 1) составить текстовую задачу на применение свойств делимости; 2) доклад: «Важность признаков делимости в математике».

Занятие 2 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «Важность признаков делимости в математике».

3. Проверка домашнего задания.

4. Признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 4, на 25.

5. Разбор методов решения задач повышенной трудности по данной теме.

6. Домашнее задание: 1) задачи № 4, 5; 2) Доклад: «История возникновения простых и составных чисел».

Занятие 3, 4 (4 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «История возникновения простых и составных чисел».

3. Проверка домашнего задания.

4. Простые и составные числа, разложение составных чисел на простые множители.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Домашнее задание: 1) задачи № 11, 12; 2) Доклад: «Жизнь и деятельность Эратосфена».

Занятие 5 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «Жизнь и деятельность Эратосфена».

3. Проверка домашнего задания.

4. Признаки делимости на 9, на 3, на 7, на 11, на 13.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Домашнее задание: 1) задачи № 16, 17; 2) Доклад: «Способы нахождения НОД».

Занятие 6 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «Способы нахождения НОД».

3. Проверка домашнего задания.

4. Нахождение НОД и НОК.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Домашнее задание: 1) задачи № 21, 22; 2) Подобрать задачи по данной теме.

Занятие 7 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Проверка домашнего задания.

3. Решение подобранных задач.

4. Решение задач повышенной трудности, подготовка к контрольной работе.

5. Домашнее задание: 1) задачи № 27, 28.

Занятие 8 (2 часа).

1. Проверка домашнего задания.

2. Проведение контрольной работы.

3. Итоги курса.

6 класс.

Занятие 1, 2 (4 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «Жизнь и деятельность Евклида».

3. Проверка домашнего задания.

4. Теорема о делении с остатком.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Понятие о НОД и НОК, методы их нахождения.

7. Решение задач повышенной трудности.

8. Домашнее задание: 1) № 6, 7, № 8, 9. 2) Доклад: «Признак делимости на 4».

Занятие 3, 4 (4 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «Признак делимости на 4».

3. Проверка домашнего задания.

4. . Признак делимости на 8, на 25, на 125.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Домашнее задание: 1) задачи № 16, 17; 2) Приготовить задачи на смекалку.

Занятие 5 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Решение заданных задач на смекалку.

3. Проверка домашнего задания.

4. Обобщенный признак делимости.

5. Решение задач повышенной трудности.

6. Домашнее задание: 1) задачи № 22, 23; 2) Доклад: «Кто занимался изучением дробей».

Занятие 6 (2 часа).

1. Интеллектуальная разминка.

2. Доклад: «Кто занимался изучением дробей».

3. Проверка домашнего задания.

4. Основное свойство дроби.

5. Составление задач и их решение

6. Решение задач повышенной трудности.

7. Домашнее задание: 1) задачи № 27, 28; 2) Подготовка к контрольной работе.

Занятие 7 (2 часа).

1. Проверка домашнего задания.

2. Контрольная работа.

3. Итоги курса.

Приложение 4

Задачи повышенной трудности для 5-6 классов по теме «Отношение делимости».

Задачи на свойства делимости.

1. К двузначному числу приписано такое же число. Может ли образовавшееся четырехзначное число быть простым?

2. Делится ли 1287 на тринадцать?

3. Для учащихся первого класса приготовили одинаковые подарки . Во всех подарках было 120 шоколадок, 280 конфет, 320 орехов. Сколько учащихся в первом классе, если известно, что их больше 30?

4. Числа 4376 и 826 разделили на одно и то же число, и получилось соответственно в остатке 8 и 7. Какое число делили?

5. Какую цифру надо поставить в запись 37856* вместо *, чтобы полученное число делилось и на 2, и на 3?

Задачи на признаки делимости.

6. К числу 15 припишите слева и с права по одной цифре так, что бы полученное делилось на 15.

7. Найти четырехзначное числа, которые делятся на 45, а две средние цифры у них составляют число 97.

8. Найти цифры, отмеченные * в числе 42*4*, если известно, что это число делится на 72.

9. Докажите что все двузначные числа запись которых состоит из двух одинаковых цифр делятся на 11.

10. Д [pic] окажите, если трехзначное число имеет вид а(2а)а, то оно делится на одиннадцать.

11. Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 человек или по12 человек в каждую. В том и в другом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше ста?

12. На складе стоят пять станков массой соответственно 1500, 1200, 800, 750 и 600 кг. Нужно увезти часть станков на машине грузоподъемность три тонны, загрузив ее максимально, но не перегрузив. Какие станки следует загрузить на машину?

13. Покажите, что произведения 19·20·21 и 20·21·22 делятся на 6. Всегда ли делится на 6 произведение трех последовательных чисел?

14. Покажите, что числа, сумма цифр которых не делится на 3, так же не делятся на 3.

15. Напишите какое-нибудь четырехзначное число, не оканчивающееся нулем, такое, чтобы оно делилось на 3, но не делилось на 9.

16. Из цифр 0, 3, 7, 8 составьте шесть чисел, делящихся на 15.

17. Не выполняя сложение, поясните, почему сумма 348+196 делится на два и на четыре.

18. Не перемножая, определите, делится ли произведение 148·75 на 2, на 3,на 4, на 5,на 6?

19. П [pic] одберите число t и цифру a так, чтобы было верно равенство 3·(230+t)=7a1. Является ли найденное вами решение единственным? Если нет, то сколько всего таких решений?

20. С помощью цифр 2, 3, 5, 7 (без повторения) запишите все четырехзначные числа, имеющие делители 2, 4, 5.

21. Докажите, что число 444…44, записанное только четверками, причем их может быть сколько угодно, не делится на 8.

22. Найдите двухзначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

23. Делится ли на 9 число 10³³+8?

Задачи на нахождение НОД.

24. Запишите НОД чисел m и n, если: a) m=2·7, n=2·5²; б) m=3·11, n=5·13; в) m=2·3·13, n=3³.

25. Найдите: а) НОД(147, 504, 1197); б) НОД(696, 1674, 1024, 2048); в) НОД (63,27, 54, 99, 91).

26. Известно, что а) НОД (8, 12, x)=2; б) НОД (252, 168, 2x)=28. Какие множители могут входить в x?

27. У ученика есть несколько монет по пятнадцать копеек. С этими деньгами он приходит в магазин, чтобы купить себе тетрадей, стоящих каждая 12 копеек. Какое наименьшее число тетрадей может купить ученик, если в магазине не оказывается мелочи для сдачи.

Задачи на нахождение НОК.

28. Запишите НОК чисел m и n, если: а) m=2·7, n=2·5²·7; б) m=3·11, n=5·13.

29. Найдите: а) НОК (40, 45, 90, 72); б) НОК (7, 8, 9, 11).

30. Четырехзначное число при делении на 13 дает в остатке 11, при делении на 11 дает в остатке 9, при делении на 7 дает в остатке 5, а на 3 делится нацело. Найдите наименьшее такое число.

31. Сегодня, в воскресенье, из Москвы отправились три теплохода. Через сколько дней все эти теплоходы в воскресенье снова выйдут из Москвы, если первый теплоход выходит в рейс раз в три дня, второй – раз в два дня, третий – раз в шесть дней?

32. Мальчик и девочка измерили одно и то же расстояние в 143м шагами, 20 раз их следы совпали. Шаг девочки 55см. Найти длину шага мальчика

33. Найдите все числа, кратные 5, которые являются решениями неравенства 33<x<67.

Задачи на простые и составные числа.

34. Изучите рисунок:

Каково назначение изображенной машины? Какие числа накапливаются на выходе из машины, если в нее засыпают первые сто натуральных чисел?

35. Являются ли простыми следующие числа: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома?

36. Даны числа: A=2·3·5, B=2·3·5+1, C=2·3·5·7+1. Какие из них простые, а какие составные?

37. В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причем возраст каждого ребенка – простое число. Сколько лет младшему?

38. Нина перемножила четыре простых последовательных числа и получила число, цифра единиц которого 0. Какие числа она перемножила.

Задачи на разложение чисел на множители.

39. Впишите числа в окружности:

а [pic] [pic] )

[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

б [pic] [pic] ) 154=2· ·

40. Выпишите в квадраты цифры:

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] · =201; · =392;

[pic] [pic] [pic] [pic]

· =651.

41. Не производя вычислений, установите, какие из произведений а) 8·55·11; б) 32·15·42; в) 175·16·45 делятся на 2, на 5, на 9.

42. Закончите разложение числа 72 на простые множители:

7 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 2=9·8 72=2·36

7 [pic] [pic] 2=3· ·2 ·

7 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 2= · · · ·

Укажите наибольший простой делитель числа 72.

Приложение 5

Контрольная работа №1.

№ [pic] 1. Заполните пропуски, зная, что в пустых кружках находятся делители числа 20.

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

№2. Запишите в виде произведения чисел: а) делится на 3; б) делится на 7; в) делится на 70.

№3. Какую цифру надо поставить в запись 37856* вместо *, чтобы полученное число делилось и на 2, и на 3?

№4. При каких натуральных значениях a произведение 23a является простым числом?

№5. Запишите все дроби со знаменателем 12, у которого числитель и знаменатель взаимно простые.

Контрольная работа №2.

№1. Известно, что число делится на 2, 3 и 5. На какие еще числа делится это число.

№2. Какие числа, кратные 5 удовлетворяют неравенству; а) 64x7; б) 1y30?

№3. Замени * цифрами, такими, чтобы равенство было верным: 1) 77*=*·5·7·11; 2) 3*5=*·3·5·7.

№4. В шестых классах 36 мальчиков и 48 девочек. Сколько существует возможностей создать группы учащихся, чтобы в группах было по одинаковому числу девочек и мальчиков? Какое может быть наибольшее число таких групп?

№ [pic] 5. Докажите, если трехзначное число имеет вид a(a+b)b, то оно делится на 11.

Приложение 6

Таблица №8

Результаты сформированности уровня успеваемости у учащихся

Таблица №11

Уровень познавательного интереса

Таблица №14

Результаты сформированности уровня успеваемости у учащихся

Таблица №18

Уровни сформированности познавательного интереса