Разработка урока по теме Вписанная и описанная окружности. Свойства описанного четырехугольника

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...

Урок № 60

Тема: «Вписанная и описанная окружности. Свойство описанного четырехугольника ».

Цель:

  • Ввести понятие вписанной окружности и описанного около окружности многоугольника;

  • Рассмотреть теорему о том, что в любой треугольник можно вписать окружность;

  • Повторение: Решение прямоугольных треугольников;

  • Подготовка к ГИА;

  • Развивать память, внимание и логическое мышление у обучающихся;

  • Вырабатывать трудолюбие, целеустремленность, умение работать в парах.

План урока.

  1. Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.


  1. Актуализация знаний и умений обучающихся.

  1. Проверка выполнения домашнего задания. (Разбор нерешенных заданий)

  2. Проверка знания теоретического материала. Из учебника вопросы 1– 20, с. 187–188.

Выполнить устно:

1) а) Докажите, что [pic] АВМ =
= [pic] МСА.

б) АМ = 4, МD = 3, ВD = 4.

Найдите расстояние от точки М
до стороны АС.

[pic]


2) Найдите [pic] МKN и расстояние MN, если ОМ = [pic] , KМ = 3.


[pic]

3) Найдите углы [pic] АВС, если
 [pic] ОАС = 20° и [pic] АОС = 120°.


[pic]

4) стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром О.

а) Найдите ОА, если r = 5 см,
 [pic] А = 60°.

[pic]

б) Найдите r, если ОА = 14 дм,
 [pic] А = 90°.


  1. Повторение: Решение прямоугольных треугольников

  1. Средняя линия треугольника.

  2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

  3. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

  4. Значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов.

  5. Решение задач на повторение.

  1. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 см, боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 120°. Найдите площадь трапеции.

Решение

1) [pic] B = [pic] С = 120°.

[pic] АBЕ = 120° – 90° = 30°.

соs [pic] АBЕ = [pic] .

[pic] ; BE = 3 [pic] (см).

2) sin [pic] АBЕ = [pic] ; AE = 3 (см).

3) АD = ВС + 2АЕ = 4 + 2 · 3 = 10 (cм).

4) SАВСD = [pic] (см2).


  1. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3 см, большая боковая сторона 4 см, а один из углов трапеции равен 150°. Найдите площадь трапеции.

Решение

1) [pic] ЕCD = [pic] BCD – [pic] BCЕ =
= 150° – 90° = 60°.

sin [pic] ЕСD = [pic]

ED = 2 [pic] (см).

2) сos [pic] ЕCD = [pic] ;

[pic] ; CE = 2 (см).

3) АD = ВС + ЕD = 3 + 2 [pic] .

4) SАВСD = [pic] ∙ 2 = 6 + 2 [pic] (см2).


  1. Изучение нового материала.

Изложить в виде лекции п. 74 до замечания 2.


  1. Закрепление изученного материала.

Выполнить №№ 701 (для остроугольного треугольника), 689, 691.

№ 689.

Решение

1) Центр О вписанной окружности искомого радиуса r лежит на биссектрисе СМ треугольника АВС, а так как СМ [pic] АВ, то вписанная окружность касается отрезка АВ в точке М. Поэтому ОМ = r.

I способ.

1. АМ = [pic] AB = 5 см.

2. M и N – точки касания, следовательно, AN = АМ = 5 см, откуда CN = АС – АN = 8 cм.

3. В [pic] АСМ : СМ = [pic] = 12 (см).

4. В [pic] СON : СО2 = СN2 + ON2, то есть

(12 – r)2 = 82 + r2

144 – 24r + r2 = 64 + r2.

r = 3 [pic] .

ОМ = ON = 3 [pic] см.

II способ.

1. В [pic] АСМ : АМ = [pic] AB = 5 см.

СМ = [pic] = 12 (см).

2. Отрезок АО – биссектриса треугольника АМС (так как о – центр вписанной окружности), поэтому [pic] или [pic] ; 13r = 60 – 5r, r = 3 [pic] .

ОМ = ОN = 3 [pic] см.

№ 690.

Решение

1) О – центр вписанной окружности в треугольник АВС, который лежит на высоте (биссектрисе) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

2) ОМ = ОD – радиусы этой окружности.

3) Пусть k – коэффициент пропорциональности, тогда ОВ = 12k см, ОD = ОМ = 5k см.

4) Прямоугольные треугольники ВDС и ВМО имеют общий угол В, и, значит, [pic] ВDС [pic] [pic] ВМО по первому признаку.

5) [pic] .

6) Из прямоугольного треугольника ВDС по теореме Пифагора имеем:DС = [pic] .

7) [pic] ; 5 = [pic] ;

625 = 3600 – 289k2

k2 = [pic] .

8) DC = [pic] = 25 (cм).

№ 693 (а).

Решение

1) АС || ОN, так как АС [pic] СВ и ON [pic] CВ.

СВ || ОK, так как СВ [pic] АС и OK [pic] АС, значит, четырехугольник KONC – прямоугольник, а так как KО = CN = r = ON = KC, то KONC – квадрат.

2) [pic] АKО = [pic] АМО (по катету и гипотенузе), поэтому АK = АМ.

3) [pic] ВNO = [pic] ВМО (по катету и гипотенузе).

4) РАВС = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + NB + CN + KC + АK.

РАВС = 2АМ + 2MВ + 2CN = 2(АМ + МВ + СN).

а) РАВС = 2(АВ + СN) = 2(26 + 4) = 60 (см).

б) Из [pic] АВС, [pic] С = 90° имеем по теореме Пифагора:

АС2 = АВ2 – СВ2 = АВ2 – (CN + NB) = 172 – (5 + r)2

ВС2 = АВ2 – АС2 = АВ2 – (АK + KС) = 172 – (12 + r)2

АВ2 = АС2 + ВС2

172 = 172 – (5 + r)2 + 172 – (12 + r)2

2r2 + 34r – 120 = 0

r2 + 17r – 60 = 0

r = 3 (второй корень не удовлетворяет условию задачи).

РАВС = 2(АВ + CN) = 2(17 + 3) = 40 (см).



  1. Итоги урока.

Подведение итогов урока.


  1. Домашнее задание: вопросы 21, 22, с. 188; №№ 701 (для прямоугольного и тупоугольного треугольников), 637.



6
Читать полностью »