Муниципальное казённое вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение Тугулымская вечерняя (сменная) общеобразовательная школа

Учебное пособие для подготовки к ОГЭ по математике

в 2015-2016 учебном году

(для учащихся очно-заочной формы обучения)

МОДУЛЬ «АЛГЕБРА» ЗАДАНИЯ № 2 и 3

Составила: Т.Н.Сидорова,

учитель математики,

I кв.категории

р.п.Тугулым, 2015 г.

МОДУЛЬ «АЛГЕБРА» ЗАДАНИЯ № 2 и 3

I часть теоретическая

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ

Определение: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называют неотрицательное число, при возведении которого в квадрат получается число a.

Корни могут быть как рациональными числами (числами вида m – целое (0;1; -1; 2; -2;…)

n – натуральное (1;2;3;…)), так и иррациональными числами, то есть бесконечными десятичными непериодическими дробями.

Чтобы найти квадратный корень из числа, необходимо хорошо знать квадраты чисел.

Часто используемые квадраты целых чисел:

Например, , так как 19² = 19*19 = 361 и т.д.

Обрати внимание! , .

; = 9 - рациональные числа.

10

2,2; - иррациональные числа.

Если подкоренное число - десятичная дробь, то необходимо обращать внимание на количество цифр после запятой:

² = 0,3*0,3 = 0,09;

; =? - Устно вычислить невозможно, т.к. результатом является бесконечная десятичная дробь.

Если подкоренное число заканчивается нулями, то необходимо обращать внимание на их количество:

1300; точно вычислить невозможно, т.к. результатом является бесконечная десятичная дробь.

СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

1. Если а ≥ 0, b ≥ 0, то

   1. (Квадрат корня из неотрицательного числа есть само это число);

в) ; г) .

2. Если а ≥ 0, b >0, то

б) ;

СВОЙСТВА СТЕПЕНИ И АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ n - СТЕПЕНИ

Примеры

Любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1: 5= 1, 10= 1 и т.д.

В общем случае: а=1.

Единица в любой степени (кроме 0) равно 1: 1= 1, 1= 1 и т.д.

В общем случае: 1=1.

1. а^х · а^у = а^х+у

2. (а^х)^у = а^ху

3. а^х : а^у = а^х-у

4. а^х · b^х = (аb)^х

5. =

m^1,5 ∙ m^-2 = m^1,5+(-2) = m^-0,5

l,5^3х · 1,5 ^-0,5х = 1,5^2,5х

=(0,25)^-2 = 4² = 16

(5^х)² = 5^2х = (5²)^х = 25^х

m^1,5 : m^-2 = m^1,5-(-2) = m^3,5

l,5^3х : 1,5 ^-0,5х = 1,5^3,5х

3^2х · 5^2х = (3∙5)^2х =15^2х

=3⁴=81

Свойства арифметических корней n-степени

Примеры

1. Если а0, b≥0. то =·

2) Если а0, b>0. то =·

== ==3

3. Если а0, n N, k N, то =

-3=-3=-2

3. Если а0, n N, k N, то=

=

5) Если а0, n N, k N, то=

3. Обрати внимание! Чем число больше положительное число, тем больше и квадратный корень из него.

Если a > b , то √a > √b при а > 0, b ≥ 0.

Например, 37 > 35, значит √37 > √35.

Задача 1:

Сравним √80 и 9. Так как 9 = √81, то можно сравнить числа √80 и √81. Так как

80 < 81, то и √80 < √81, значит, √80 < 9.

Вынесение множителя под знак корня:

1) √12 = √4 · 3 = √4 · √3 = 2 · √3 = 2√3.

2) √a⁵b³ = √ a⁴ · a · b² · b = √ a⁴ · √ b² · √ab = a² b √ab при а ≥ 0, b ≥ 0.

Внесение положительного множителя под знак корня

2 √5 = √4 · √5 = √20.

II часть практическая

Задание 3 . Вычисления.

Задание 3 (тип 1)

Найдите значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

 1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4) 4

Решение.

Последовательно получаем:

[pic] При возведении произведения в степень, возводим в эту степень каждый множитель. При возведении в квадрат корня квадратного, получаем подкоренное выражение.

Правильный ответ указан под номером 1.

Реши по образу самостоятельно:

1. Найдите значение выражения  [pic] .

2. Найдите значение выражения  [pic] .

3. Найдите значение выражения  [pic] .

4. Найдите значение выражения  [pic] .

5. Найдите значение выражения  [pic] .

Задание 3 (тип 2) Найдите значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 5 ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4) 40

Решение.

Найдём значение выражения:

[pic]

Правильный ответ указан под номером: 1.

Реши по образу самостоятельно:

1. Найдите значение выражения:  [pic]

Задание 3 (тип 3) Чему равно значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 6 ; 2) 12 ; 3) 18 ; 4) 36

Решение.

Используем свойства степени:

[pic]

Правильный ответ указан под номером: 3.

Реши по образу самостоятельно:

(6√3)² ; (3√3)²; (4√5)².

Задание 3 ( тип 4)  Найдите значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 198 ; 2)  [pic] ; 3) 3564 ; 4) 2178

Решение.

Найдём значение выражения:

[pic]

Правильный ответ указан под номером: 1.

Задание 3 ( тип 5)  Найдите значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 360 ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Найдём значение выражения:

[pic]

Правильный ответ указан под номером: 4.

Задание 3 ( тип 6)  Найдите значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4) 90

Решение.

Найдём значение выражения:

[pic]

Правильный ответ указан под номером: 4.

Задание 3 ( тип 7)  Найдите значение выражения  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2) 22 ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Применим формулу квадрата суммы: (a+b)² = a ² + 2ab + b ².  

[pic]

Правильный ответ указан под номером: 3.

Задание 3 . Числа.

Задание 3 ( тип 1)  

Расположите в порядке возрастания числа:  [pic] , 7,5,  [pic] .

Решение: Чтобы сравнить числа, необходимо их привести к одному виду:

внесем под знак корня, числа не стоящие под корнем.

=;теперь сравним и запишем в

порядке возрастания( от меньшего к большему).

Ответ:

Реши самостоятельно:

1. Расположите в порядке возрастания числа: 4,5,  [pic] ,  [pic] .

2. Расположите в порядке возрастания числа:  [pic] ,  [pic] , 3,5.

3. Расположите в порядке возрастания числа: 5,5,  [pic] ,  [pic] .

4. Расположите в порядке возрастания числа:  [pic] , 6,5,  [pic] .

5. Расположите в порядке убывания числа:  [pic] ,  [pic] , 4,5.

Задание 3 ( тип 2)  

Значение какого из выражений является числом рациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Упростим каждое выражение.

1)  [pic]

2)  [pic]

3)  [pic]

4)  [pic] (применим формулу квадрат разности (a−b) ²=a ²−2ab+b ² ).    

Рациональным является значение первого выражения.

Задание 3 ( тип 3)  

Значение какого из данных выражений является наименьшим?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Возведём каждое число в квадрат и сравним квадраты этих чисел:

[pic]       [pic]       [pic]       [pic]

Поскольку  [pic]  имеем:

[pic]

Наименьшим является выражение под номером 4.

Задание 3 ( тип 4)  

Какое из чисел  [pic]   [pic]   [pic]  является рациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4) Все эти числа иррациональны.

Решение.

Преобразуем числа:

[pic]

[pic]

Корень из 10 является иррациональным числом, поэтому числа  [pic]  и  [pic] — иррациональны. Число  [pic] является рациональным числом.

Правильный ответ указан под номером: 2.

Задание 3 ( тип 5)  

Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Возведём все числа в квадрат:

[pic]

Заметим, что  [pic]  следовательно,  [pic]  Таким образом, число  [pic]  

принадлежит промежутку [6; 7].

Правильный ответ указан под номером: 4.

Задание 3 ( тип 6)  

Между какими числами заключено число  [pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 8 и 9 ; 2) 72 и 74 ; 3) 24 и 26 ; 4) 4 и 5

Решение.

Сравним квадраты приведённых в условии чисел:

[pic]

[pic]

Число 73 лежит между числами 64 и 81, поэтому  [pic]  заключено между числами 8 и 9.

Правильный ответ указан под номером 1.

Задание 3 ( тип 7)  

Значение какого из данных выражений является наименьшим?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Возведём числа в квадрат:

[pic]

Заметим, что  [pic]  поэтому  [pic]  

Таким образом,  [pic]  — наименьшее из представленных чисел.

Правильный ответ указан под номером: 4.

Задание 3 ( тип 8)  

Сравните числа  [pic]  и 12.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic]

Решение.

В силу цепочки неравенств

[pic]

первое число меньше второго.

Правильный ответ указан под номером 1.

Задание 3 ( тип 9)  

Какое из чисел больше:  [pic]  или  [pic] ?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic]

Решение.

В силу цепочки неравенств

[pic]

[pic]

первое число меньше второго.

Правильный ответ указан под номером 1.

Задание 2 (числа на прямой).

Задание 2 (тип1)

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

Решение: Возведем 7²= 49 65; 8² = 6465, зхначит М соответствует числу .

Ответ: М.

Реши по образцу самостоятельно:

1. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

3. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

4. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

5. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

Задание 2 (тип2)

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

[pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  [pic] ; 2)  [pic] ; 3)  [pic] ; 4)  [pic]

Решение.

Возведём в квадрат числа  [pic]   [pic]   [pic]   [pic] :

[pic]

Число  [pic]  лежит между числами  [pic]  и  [pic]  и ближе к числу  [pic]  Поэтому точкой  [pic]  отмечено число  [pic]

Правильный ответ указан под номером 2.

Задание 2 (тип 3)

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу  [pic]  Какая это точка?

[pic]

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) точка A; 2) точка B ; 3) точка C ; 4) точка D

Решение.

Возведём в квадрат числа  [pic]  7, 8, 9:

[pic]

Число 53 лежит между числами 49 и 64 и находится ближе к числу 49, поэтому  [pic]  соответствует точке A.

Правильный ответ указан под номером 1.

Разноуровневые проверочные работы по теме «Квадратный корень».

С-1. Квадратный корень из степени.

Вариант 1

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ;

в) .

2. Найдите значение корня: а) ; б) ; в) .

3. Упростите выражение: а) ; б) .

4. Сравните числа: и .

Вариант 2

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ;

в) .

2. Найдите значение корня: а) ; б) ; в) .

3. Упростите выражение: а) , при ;

б) , при .

4. Сравните числа: и .

Вариант 3

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ;

в) .

2. Найдите значение выражения:.

3. Упростите выражение: а) , при ; б) .

4. Сравните значения выражений: и .

С-2. Квадратный корень из произведения.

Вариант 1

1. Вычислите значение корня, используя теорему о корне из произведения: а) ; б) ; в) .

2. Вычислите: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е); ж).

Вариант 2

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ; в) .

2. Вычислите: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е); ж).

Вариант 3

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ;

в) .

2. Вычислите: а) ; б) ; в) ;

г); д); е);

ж).

С-3. Квадратный корень из дроби.

Вариант 1

1. Вычислите значение корня, используя теорему о корне из дроби: а) ; б) ; в) .

2. Найдите значение выражения: а) ; б) ; в) ; г) ; д); е).

Вариант 2

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ; в) .

2. Найдите значение выражения: а) ; б) ;

в) ; г) ; д); е).

Вариант 3

1. Вычислите значение корня: а) ; б) ; в) .

2. Найдите значение выражения: а) ; б) ; в) ; г) ; д); е).

Например, [pic] = 5; (√5)⁶ = ((√5)²)³ = 5³ = 5*5*5 = 125 (по свойству a^mn = (a^m)ⁿ ).