09.09.16г.
Тема: Метод математической индукции.
(10 класс)
Цель урока: Рассмотреть суть метода математической индукции. Научить применять его при доказательстве некоторых утверждений.
Ход урока.
1.Устно
2.Объяснение материала
3.Закрепление материала
4.Домашнее задание
5.Итог урока.
1.Устно
а) Приведите примеры утверждений.
б) Какие виды утверждений вы знаете?
(общие и частные)
в) Приведите примеры общих утверждений.
г) Приведите примеры частных утверждений.
2.Обьяснение материала
В математике на основе частных утверждений делают некоторые предположения
О справедливости какого-либо общего утверждения. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.
Джузеппе Пеано показал, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно четырех аксиом. Так аксиома 4 у него говорит : Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказывает для единицы и если из допущения, что она верна для натурального числа и, следует, что она верна для всех натуральных чисел.
ПРИМЕР. Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.
Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений k:
k=1; 1=1=12;
k=2; 1+3=4=22;
k=3; 1+3+5=9=32;
k=4; 1+3+5+7=16=42;
Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)2.
Получим:
1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n2+(2n+1)=(n+1)2, ч.т.д.
Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 22n+1.Он показал, что первые пять числе 220+1=3, 221+1=5,222+1=17, 223+1=257, 224+1=65537 – простые и сделая по индукции предположение, что для всех n числа вида 22n+1- простые.
Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 225+1=4294967297=641∙4700417 – составное число.
Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.
Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств называется методом математической индукции.
В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:
Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:
1)Оно справедливо для n=1;
2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.
3. Закрепление материала.
ПРИМЕР. Методом математической индукции докажите справедливость равенства:
12+32+52+…+(2n-1)2=n2n-1(2n+1)3
Доказательство:
При n=1, 12=12∙1-1(2∙1+1)3=1
2.Пусть при n=k верно неравенство:
12+32+…+(2k-1)2=k2k-12k+13
3.Докажем верность равенству при n=k+1
12+32+…+ (2k-1)2+ (2k+1)2=k2k-1(2k+1)3+(2k+1)2=
= (2k+1)[k2k-1+32k+1]3=2k+12k2-k+6k+33=
= 2k+12k2+5k+33=2k+1k+1(2k+3)3, ч.т.д.
ПРИМЕР. Докажите, что n3- n делится на 3 любых натуральных значениях n.
Доказательство:
1.При n=1 12-1=0 – делится на 3
2. Пусть при n=k (k3-k) – делится на 3, т.е. k3-k=3m
3. Докажем, что (k+1)3-(k+1) – делится на 3.
(k+1)3-(k+1)=k3+3k2+3k+1-k-1=k3- k+3k2+k=3m+3(k+k) делится на 3, т.к. k3-k делится на 3 иk2+k делится на 3, ч.т.д.
4.Домашнее задание.
№1. Методом математической индукции докажите справедливость неравенства:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+n (n+1)(n+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)
№2. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
5.Итог урока.
-В чем же заключается методов математической индукции.
