Урок алгебры в 7 классе
Тема: Решение задач с помощью линейных уравнений
Тип урока: экскурс в историю математики
Цели:
Образовательные:
обобщить знания учащихся о линейных уравнениях;
Закрепить умения и навыки учащихся решать линейные уравнения и задачи с помощью уравнений;
дополнить теоретический материал учебника обзором исторического развития учения об уравнениях.
Развивающие:
развивать навыки устной и письменной речи, вычислительные навыки учащихся;
развивать у учащихся аккуратность оформления записей, интерес и любовь к предмету, память и мыслительные операции (анализ, синтез, обобщение, конкретизация и др.);
формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы.
Воспитательные:
расширить кругозор учащихся, повысить их общую культуру;
воспитывать познавательную активность учащихся;
прививать интерес к изучению математики.
ХОД УРОКА
Решение задач - практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно только подражая образцам и постоянно практикуясь. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
(Д. Пойа)
I.Вступительное слово учителя
Эти слова будут эпиграфом к нашему уроку.
Алгебра, как наука, возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Учение об уравнениях является поныне главным содержанием школьного курса алгебры. Алгебра на протяжении многих столетий развивалась как наука об уравнениях. Сегодня мы с вами совершим экскурс в область истории математики, узнаем: кто же придумал первое уравнение; какие задачи решали с помощью уравнений в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии, Древней Греции; сами решим несколько старинных задач, применяя свои знания об уравнениях и алгоритм решения задач с помощью уравнений.
II.Актуализация опорных знаний
Отправляться на экскурсию в далекое прошлое с багажом надежных знаний теории.
Фронтальная работа с классом (используются сигнальные карточки).
1.Что называется уравнением?
2.Что называется корнем уравнения?
3.Что значит – «решить уравнение»?
4.Какие свойства уравнений вы знаете?
III.Экскурс в историю. Сообщение учеников
1 ученик. Первобытная мама сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать поровну каждому из 4-х детей. Она должна была решить уравнение:
4х=12
х=12:4
х=3
Она решила его без букв, цифр, знаков. Но все-таки решила! Значит, ответить на вопрос кто и когда решил первое уравнение – невозможно.
2 ученик. Уже около 4000 лет вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнения I и II степени умели решать в древности китайские и индийские ученые. Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. Так в папирусе Ахмеса содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ «хау» или «аха». Оно означает «количество» и «куча».
Учитель. А теперь решим несколько задач.
Задача 1.Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найди количество. Решение:
х +х=15;
х=12
Ответ:12.
Задача 2. «Число и его половина составляет 9». Найди число.
РЕШЕНИЕ:
х+х=9;
1,5х=9;
х=6
Ответ: 6
3 ученик. В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению отрезков, представляющих положительные корни уравнений. Зачатки новой, арифметической алгебры встречаются лишь у Диофанта. Этот александрийский ученый стал обозначать первую степень неизвестного буквой греческого алфавита сигма, придумал знаки вычитания и равенства: «исос» - равный.
Самое характерное у Диофанта – решение так называемых неопределенных уравнений. Об этом можно прочесть в книге «За страницами учебника алгебры».
Жил Диофант в III в н.э., остальные факты его биографии исчерпываются таким стихотворением – задачей, по преданию выгравированным на его надгробии:
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекло еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетье; он был осчастливлен
Рожденьем прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни
Прекрасной и светлой дал на Земле
По сравнению с отцом.
И в печали глубокой старец
Земного удела конец воспринял,
Скажи сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант?
РЕШЕНИЕ:
+ + + 5 + + 4 = х
х ( + + + ) + 9 = х, НОК (6,12, 7, 2)=84
х - х = 9, х = 9, х = 84.
Ответ: Диофант прожил 84 года.
4 ученик. В истории арифметики и алгебры большое значение имеют труды Мухаммеда ал – Хорезми. Написанный им в начале IX века алгебраический тракт «Китаб ал-джабр вал-мукабала» является первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре. Для ал-Хорезми алгебра – это искусство решения уравнений, необходимое людям, как писал он «в случаях наследования, наследственных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех деловых взаимоотношениях или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических вычислений и других предметов различного рода…».
Уравнения ал-Хорезми решает с помощью двух приемов:
а) ал-джабр («восстановление») – т.е. перенесения слагаемых из одной части в другую;
б)вал-мукабала («противоставление») – отбрасывания из обеих частей уравнения одинаковых членов, т.е. приведение подобных слагаемых.
НАПРИМЕР: пусть имеется уравнение: 7х-11=3х-3
Прием «ал-джабр» дает: 7х+3=3х+11
Минусов больше нет! Числа восстановились!
Применяя «ал-мукабала», вычитаем 3х и 3 из обеих частей уравнения, после чего получаем: 4х=8.
5 ученик. Но в этом трактате нет двух очень важных для решения уравнений вещей: 1)аль-Хорезми не использовал отрицательных чисел; 2)он совсем не использовал никаких букв и символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, все на словах, все в уме. Такая алгебра – ее позднее назвали «риторической» (от греч. «риторио» - произношу речь) – требовала большого мастерства и была очень трудной. Совсем трудно стало тогда, когда люди научились решать уравнения не только I степени и не только с одним неизвестным.
6 ученик. В развитии алгебры как науки и как учебного предмета большую роль сыграла книга гениального английского физика и математика Исаака Ньютона «Всеобщая арифметика» (1707 г.). Эта книга является продолжением и завершением трудов Виета, Декарта и других ученых в деле перехода от риторической алгебры к символической, современной алгебре. В своей книге Ньютон называет буквы, знаки действий, алгебраические выражения и уравнения языком алгебры. Чтобы решить задачу, пишет Ньютон, нужно лишь «перевести ее с обыкновенного языка на язык символических выражений», язык алгебры.
IV.Самостоятельная работа: решение исторических задач.
1)Задача из «Арифметики» Диофанта: если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше полученной разности. Найти неизвестное число.
РЕШЕНИЕ:
20 + х = 4 (100 – х)
20 + х = 400 – 4 х
5х = 400 – 20
5х = 380
х = 76.
Ответ: число 76.
2)Задача из «Бахшайской рукописи» (VI – VIII вв.)- на березовой коре. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо большего третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?
РЕШЕНИЕ:
х + 2х + 6х + 24х =132
33х = 132
х = 132 : 33
х =4
Ответ: первый дал 4.
3)Задача иранского ученого XVI в. Беха эддина: Раздели 10 на 2 части, разность которых 5.
РЕШЕНИЕ:
х + (х+ 5) =10
2х = 5
х = 5 : 2
х = 2,5
х + 5 = 7,5
V.Итог урока: проверить задачи, оценить.
- Что нового узнали на уроке?
- Как появились уравнения?
- Какие ученые-математики внесли вклад в развитие учения об уравнениях?
- Как раньше записывали и решали уравнения?
Заключительное слово учителя: для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами и многочленами, алгебраическими дробями: уметь раскладывать на множители, раскрывать скобки, приводить дроби к общему знаменателю. Т.о., учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий. Нельзя ограничиваться только целыми положительными числами, нужны все рациональные отрицательные и положительные числа. Практика решения уравнений и потребность сохранения указанного алгоритма породила необходимость расширения понятия числа.
Решение уравнений II степени требует введения новых чисел. Об этом будет идти речь в старших классах.
VI.Домашнее задание
Найти и решить старинные задачи (1-2) способом составления уравнений.
Варианты задач
1.Древнекитайская задача. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнай число фазанов и кроликов.
2.Старинная индийская задача. Из букета цветков лотоса принесли в жертву: Шиве – третью часть, Вишну – пятую часть, Солнце – шестую. Одну четверть получил Бхавани, а остальные шесть лотосов отдали уважаемому учителю. Сколько было цветов в букете?
3.Старинная греческая задача. На вопрос, сколько учеников обучается в школе, Пифагор ответил: «Половина учеников изучает математику, четверть всех учеников – музыку, седьмая часть молчит и, кроме того, есть еще 3 женщины». Сколько учеников было у Пифагора?
4. Старинная китайская задача. Несколько человек вместе покупают барана. Если каждый внесет по 5 монет, то не хватит до стоимости барана 45. Если каждый внесет по 7 монет, то не хватит 3. Сколько стоит баран?
