Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
Цель: использовать производную для анализа функций.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (тест).
Вариант 1
1. Напишите уравнение касательной к параболе f(х) = 2х2 - 4х + 7 в точке с абсциссой x0 = 4.
Ответ: а) у = 8x - 12; б) y = 12x - 25; в) y = 16х - 8; г) у = 2х - 3.
2. Найдите угол между касательными, проведенными из точки А(0; -6) к кривой f(x) = 2х2 + 2.
Ответ: a) arctg 6; б) π - arctg 8; в) π - 2 arctg 8; г) arctg 4.
Вариант 2
1. Напишите уравнение касательной к параболе f(x) = 3х2 + х - 4 в точке с абсциссой х0 = 3.
Ответ: a) y = 18x - 15; б) у = 12х - 21; в) y = 19x - 31; г) у = 6х - 7.
2. Найдите угол между касательными, проведенными из точки А(0; -2) к кривой f(x) = 3х2 +1.
Ответ: a) arctg 3; б) π - 2 arctg 6; в) π - arctg 6; г) arctg 5.
III. Изучение нового материала
Продолжим изучать применение производной к анализу функций и построению их графиков.
1. Исследование функций на монотонность
Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (т. е. промежутков ее возрастания и убывания). Такой анализ легко выполнить с помощью производной. Сформулируем теоремы о возрастании и убывании функции.
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0 (причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция у = f(х) возрастает на промежутке X.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0 (причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция у = f(х) убывает на промежутке X.
[pic] [pic]
Возрастающая функция, f'(x) ≥ 0 Убывающая функция, f'(x) ≤ 0
Пример 1
Исследуем на монотонность функцию f(х) = 3х5 + 2х3 + 4х.
Найдем производную функции: f'(x) = 15х4 + 6х2 + 4. Видно, что при всех значениях х производная f'(х) > 0. Тогда функция f(х) возрастает на всей числовой прямой.
Пример 2
Докажем, что функция f(х) = 3 cos 2x - 10х убывает на всей числовой оси.
Производная данной функции f'(x) = -6 sin 2x - 10. Определим знак этого выражения. В силу ограниченности функции синуса выполняется неравенство -1 ≤ sin 2x ≤ 1, тогда 6 ≥ -6 sin 2x ≥ -6 и -4 ≥ -6 sin 2х ≥ -16. Таким образом, при всех значениях х производная f'(x) < 0. Поэтому данная функция f(х) убывает на всей числовой оси.
Пример 3
Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(х) = 2х3 - 15х2 + 36х - 7. Построим график этой функции.
Найдем производную функции: f'(х) = 6х2 - 30х + 36 = 6(х2 - 5х + 6). Построим диаграмму знаков производной. Приравняем производную к нулю: 6(х2 - 5х + 6) = 0 - и найдем корни этого квадратного уравнения х1 = 2 и х2 = 3. Отметим их на числовой прямой и определим знаки производной. Видно, что на промежутках (-∞; 2]U[3; ∞) производная f(x) ≥ 0. Поэтому функция f(х) возрастает на промежутках (-∞; 2] и [3; ∞). На промежутке [2; 3] производная f'(х) ≤ 0. Следовательно, функция f(х) убывает на промежутке [2; 3].
Найдем значения функции в точках х = 2 и х = 3, а также в точке х = 0: f(0) = -7, f(2) = 21, f(3) = 12. Построим эти точки и учтем монотонность функции. Получим график данной функции.
[pic]
2. Точки экстремума функции и их нахождение
Сначала введем необходимые определения и понятия.
Определение 1. Точку х = х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≥ f(х0).
Определение 2. Точку х = х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≤ f(х0).
[pic]
На приведенных рисунках функции имеют минимум А(-1; -1) и максимум В(-2; 2,5). Последим за абсциссами этих точек. Сначала рассмотрим точку А. Если рассмотреть окрестность точки х0 = 1 (например, интервал (0,5; 1,5)), то для всех точек этой окрестности выполнено неравенство f(х) ≥ f(х0) = -1. Тогда точка х0 = 1 - точка минимума. Обратимся к точке В. Если рассмотреть окрестность точки х0 = -2 (например, интервал (-3; -1)), то для всех точек этой окрестности выполнено неравенство f(х) ≤ f(х0) = 2,5. Поэтому точка х0 = -2 - точка максимума.
Значение функции в точке максимума обозначают «уmах» (при этом максимум носит локальный характер). Наибольшее значение функции в области определения обозначают «унаиб» (глобальный характер). На приведенных рисунках уmах = 2,5,_унаиб не достигается.
Если функция у = f(х) достигает в точке х0 максимума, то наименование «точка максимума» используют как для значения x = x0, так и для точки (x0; f(х0)). Полностью аналогичная ситуация и терминология относятся к минимуму функции.
Точки максимума и минимума функции называют общим термином - точки экстремума.
На рисунках видно, что экстремум достигается в точке x0, где производная f'(x0) = 0 (рис. а), или производная не существует (рис. б). Это же подтверждает следующая теорема.
Теорема 3. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке x = x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.
В некоторых учебниках внутренние точки области определения функции, в которых производная функция равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения, в которых функция непрерывна, но производная не существует, - критическими. В других учебниках эти точки не различают и называют критическими.
Заметим, что теорема 3 является только необходимым (но не достаточным) условием экстремума: из того, что производная f'(x) в точке x0 обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция f(x) имеет экстремум. Например, функция f(x) = x5 имеет производную f'(x) = 5x4 , которая обращается в нуль в точке x0 = 0.
Однако экстремума в этой точке функция f(х) не имеет (происходит изменение кривизны кривой).
[pic]
После приведенных примеров необходимо рассмотреть достаточные условия экстремума.
Теорема 4. Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство f'(x) < 0, а при х > х0 - неравенство f(x) > 0, то х = х0 - точка минимума функции у = f(х);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство f’(x) > 0, а при х > х0 - неравенство f’(x) < 0, то х = х0 - точка максимума функции у = f(х);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки хо знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции).
Для иллюстрации и запоминания теоремы 4 приведем диаграмму.
[pic]
Для исследования непрерывной функции у = f(х) на монотонность и экстремумы приведем алгоритм.
1. Найти производную f'(x).
2. Найти стационарные (f’(x) = 0) и критические (f'(x) не существует) точки функции у = f(x).
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Сделать выводы о монотонности и точках экстремума функции.
Проиллюстрируем этот алгоритм примерами.
Пример 6
Найдем экстремумы функции [pic]
Найдем производную функции: [pic] Приравняем производную нулю: 6(х2 + х - 2) = 0, решим это квадратное уравнение и найдем стационарные точки функции x1 = -2 и х2 = 1. Отметим стационарные точки на координатной оси и построим диаграмму знаков производной f'(x).
Видно, что в точке х = -2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка х = -2 - точка минимума. Найдем минимум функции: [pic] В точке x = 1 знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому критическая точка х = 1 - точка максимума. Найдем максимум функции: [pic]
[pic]
Построим экстремумы функции и нарисуем график данной функции (рисунок приведен с искажением масштаба).
IV. Контрольные вопросы
1. Определение возрастающей (убывающей) функции.
2. Теорема о возрастании (убывании) функции.
3. Точка минимума (максимума) функции.
4. Теорема об экстремуме функции.
5. Стационарные и критические точки производной.
6. Достаточные условия экстремума функции.
7. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
V. Задание на уроках
VI. Задание на дом
VIII. Подведение итогов уроков
5
