МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГПОУ «ГОРЛОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЭКОНОМИКИ»
УТВЕРЖДАЮ:
Зам. директора
_________О.Ю.Цыба
__.__.2015
ИНСТРУКТИВНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
к выполнению практических работ
по дисциплине «Математика»
Специальность: 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Рассмотрено на заседании цикловой комиссии математической и общей естественнонаучной подготовки и рекомендовано к утверждению Протокол № от « » г.
Зав.методическим кабинетом _________________Т.В.Кучеренко
Подготовил преподаватель
Е.В.Мудрецкая
г.Горловка, 2015
Инструктивно-методические материалы к выполнению практических работ по дисциплине «Математика». Подготовил преподаватель высшей квалификационной категории Е.В.Мудрецкая - Горловка: ГПОУ «Горловский колледж промышленных технологий и экономики», 2015.-
81 с.
Представлен: перечень тематических практических работ по дисциплине «Математика», предусмотренных рабочей программой учебной дисциплины для студентов 2 курса дневной формы обучения специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), непосредственно практические задания и методические рекомендации к их выполнению, задания для формирования знаний и умений, задания для закрепления знаний.
Предназначены для организации практических занятий по дисциплине, используется как методическое обеспечение занятий.
Для преподавателей и студентов
Рецензенты:
1. Арчаков А.В., преподаватель Енакиевского металлургического техникума,
специалист высшей категории.
2. Свириденко М.Н., преподаватель Горловского колледжа промышленных технологий и экономики, специалист высшей категории.
СОДЕРЖАНИЕ
практ. зан.
Номер и тема практической работы
с
1
Практическая работа 1
по теме «Действия над матрицами»
5
2
Практическая работа 2
по теме «Вычисление определителей второго и третьего порядка»
11
3
Практическая работа 3
по теме «Нахождение обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы»
14
4
Практическая работа 4
по теме «Решение систем линейных уравнений: задачи с профессиональной направленностью»
18
6
Практическая работа 5
По теме «Вычисление первого и второго замечательных пределов»
23
7
Практическая работа 6
по теме «Вычисление производных сложных функций. Дифференцирование сложной функции.»
26
8
Практическая работа 7
по теме «Решение заданий экономического смысла методом дифференциального исчисления»
30
9
Практическая работа 8
по теме «Вычисление неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»
37
10
Практическая работа 9
по теме «Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и интегрированием по частям»
40
11
Практическая работа 10
по теме «Решение заданий экономического смысла методом интегрального исчисления»
44
13
Практическая работа 11
по теме «Действия над комплексными числами»
49
15
Практическая работа 12
по теме «Выполнение операций над множествами»
56
16
Практическая работа 13
по теме «Нахождение вероятности при повторении испытаний»
60
практ. зан.
Номер и тема практической работы
с
17
Практическая работа 14
по теме «Составление и анализ случайных величин»
68
18,19
Практические работы 15,16
по теме «Составление и анализ случайных величин. Нахождение числовых характеристик.»
74
20
Практическая работа 17
по теме «Решение задач математической статистики»
78
Литература
81
Практическое занятие 1
Практическая работа 1
по теме «Действия над матрицами»
Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки по выполнению элементарных операций на матричном множестве.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Матрицы, виды матриц.
2. Действия над матрицами.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Матрицей называется множество чисел, которые образуют прямоугольную таблицу и содержат m строк и n столбцов
Действия над матрицами:
-умножение матрицы на число:
[pic]
- сумма и разность матрицы
[pic]
- транспонирование
[pic]
- умножение матриц
[pic]
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Даны матрицы А и В. Найти матрицы А+В и 5А, если
[pic]
Решение:
По формуле получим:
[pic]
[pic]
Пример 2
Вычислить произведение матриц А и В, если
[pic]
Решение:
[pic]
[pic]
Пример 3
В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в магазин М2 - 70, а в М3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.
Магазин
М1
М2
М3
1
20
35
10
2
15
27
8
Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,
А = [pic] , В = (50, 70, 130).
Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:
АВT = [pic] [pic] .
Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.
Пример 4
Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.
Расход ткани
Т1
Т2
Т3
Т4
Зимнее пальто
5
1
0
3
Демисезонное пальто
3
2
0
2
Плащ
0
0
4
3
1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?
2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.
3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.
4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.
Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,
A = [pic] ,
тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:
X А = (10,15, 23) [pic] = [pic] =
= (95, 40, 92, 129).
Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор CT:
А CT = [pic] [pic] = [pic] .
Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:
X А C T = (10,15,23) [pic] = [pic] .
Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина
X А P T = (95, 40, 92, 129) [pic] .
Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).
Примеры
Известны матрицы А = [pic] и В = [pic] . Найти Ст , если “C” является результатом указанных действий над матрицами А и В.
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
Известны матрицы А = [pic] и В = [pic] . Найти Ст , если “C” является результатом указанных действий над матрицами А и В.
Задачи для домашнего решения
1.Найти матрицы: 1) 2А+5В; 2)3В-2А; 3) АТ-В; 4) 2АТ+5ВТ, если [pic]
2. Найти матрицы: 1) 3А+4В; 2)7В-2А; 3) АТ-3В; 4) АТ+2ВТ, если [pic]
3. Найти произведение АВ и ВА матриц А и В, если
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
Практическое занятие 2
Практическая работа 2
по теме «Вычисление определителей второго и третьего порядка»
Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки вычисления определителей второго и третьего порядков.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Понятие определителя, его свойства.
2. Вычисление определителей второго порядка.
3. Вычисление определителей третьего порядка.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и вспомогательной диагоналей:
[pic]
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле:
[pic] При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса)
[pic]
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Вычислить определитель:
[pic] .
Решение:
Вычислим определитель по правилу треугольников:
[pic]
Примеры:
Вычислить определители::
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic] ; 5) [pic]
6) [pic] ; 7) [pic] ; 8) [pic] ; 9) [pic] ;
10) [pic] ; 11) [pic] ; 12) [pic] ; 13) [pic] .
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
Вычислить определители:
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic]
Задачи для домашнего решения
Вычислить определители:
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
Практическое занятие 3
Практическая работа 3
по теме «Нахождение обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы»
Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки нахождения обратной матрицы, навыки решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Понятие определителя, его свойства.
2. Вычисление определителей второго порядка.
3. Вычисление определителей третьего и высшего порядка.
4. Миноры и алгебраические дополнения.
5. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
6. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
[pic]
Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы [pic] . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
Находят определитель матрицы А:
Находят алгебраические дополнения всех элементов [pic] матрицы А и
Записывают новую матрицу из алгебраических дополнений:
[pic] [pic]
3. Транспонируют матрицу В.
[pic] = [pic]
Умножить транспонированную матрицу на обратный определитель, т.е.
[pic]
Простейшее матричное уравнение:
Х=В*А-1
Схема решения:
Найти обратную матрицу А-1.
Найти произведение обратной матрицы А-1 на столбец свободных членов , т.е. [pic] .
3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Так как, систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Найти обратную матрицу для матрицы А, сделать проверку, если
[pic]
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
[pic] .
Поскольку detА≠0, то существует обратная матрица А-1. Найдем алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы А.
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Тогда
[pic]
Сделаем проверку:
[pic]
Примеры:
1. Дана матрица А. Найти обратную матрицу. Выполнить проверку
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ;
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
1) [pic] 2) [pic]
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
1. Дана матрица А. Найти обратную матрицу. Выполнить проверку
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ;
4) [pic] ; 5) [pic]
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
1) [pic] 2) [pic]
Задачи для домашнего решения
Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
1) [pic] 2) [pic]
Практическое занятие 4
Практическая работа 4
по теме «Решение систем линейных уравнений: задачи с профессиональной направленностью»
Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки решения систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса для решения задач с профессиональной направленностью.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Понятие определителя, его свойства.
2. Вычисление определителей второго порядка.
3. Вычисление определителей третьего и высшего порядка.
4. Миноры и алгебраические дополнения.
5. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
6. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы, Крамера и Гаусса.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Метод Гаусса:
1. Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной
матрицей. (Системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.) Эти действия называют прямым ходом.
2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход):
- умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число
- сложение и вычитание уравнений
- перестановку уравнений системы
- исключение системы уравнений, в которых все коэффициенты при
неизвестных и свободные члены равны нулю.
Метод Крамера:
Формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, записываются так:
[pic] [pic] или
[pic] [pic] [pic]
Если [pic] , то система имеет единственное решение
Если [pic] , множество решений
Если [pic] , то нет решений
Матричный способ
Х=В*А-1
Схема решения:
Найти обратную матрицу А-1.
Найти произведение обратной матрицы А-1 на столбец свободных членов , т.е. [pic] .
3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Так как, систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Составить план изготовления продукции трех видов с трех видов сырья с целью полной реализации запасов этого сырья. Известны технология затрат каждого вида сырья на изготовление единицы продукции определенного вида А = [pic] и объемы запасов сырья В = [pic] .
Решение:
Пусть ожидаемый план изготовления предусматривает производство:
І вид продукции – „х” условных единиц,
ІІ вид продукции – „у” условных единиц,
ІІІ вид продукции – „z” условных единиц.
Таким образом, для находжения нужного плана необходимо решить матричное уравнение [pic] * [pic] = [pic] , например по схеме Гаусса, тождественно преобразовывая расширенную матрицу следующим образом:
[pic] [pic]
Полученная расширенная матрица задает систему линейных уравнений :
5у = 10,
2х – 2у + z = 1.
Последовательное решение системы, начиная с уравнения, которое содержит только одну переменную , т.е.:
5у = 10 [pic] у = 2,
- х + 3у = 4 [pic] -х + 3*2 = 4 [pic] х = 6 - 4 = 2,
2х – 2у + z = 1 [pic] 2*2 – 2*2 + z = 1 [pic] z = 1.
Таким образом, необходимый план предусматривает изготовление:
І вид продукции – 2 у.е.,
ІІ вид продукции – 2 у.е.,
ІІІ вид продукции – 1 у.е.
Проверка:
Запишем систему, которая соответствует составленному матричному уравнению, и проверим ее на тождественность :
4 [pic] х + 5у + 3z = 21,
3х + 4у + 2z = 16,
5х + 2у + 3z = 17.
[pic]
4*2 + 5*2 + 3*1 = 21,
3*2 + 4*2 + 2*1 = 16,
5*2 + 2*2 + 3*1 = 17.
Таким образом, система уравнений превратилась в тождества, то есть решение задания найдено верно.
Ответ: (2;2;1).
Примеры:
1. Составить план изготовления продукции трех видов с трех видов сырья с целью полной реализации запасов этого сырья. Известны технология затрат каждого вида сырья на изготовления единицы продукции определенного вида (матрица А) и объемы запасов сырья (матрица В).
3 2 2 4
4 3 3
12
14
17
2
2 3
2 1
3 3 2
15
15
14
2.
7 9 2 3
4 5 8
44
25
31
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
1. Для изготовления детских игрушек используются отходы матерчатых материалов (М1, М2, М2) различных размеров. Вычислить количество материала, который расходуется при раскрое, если количество необходимых заготовок представлена таблицей:
2. Самостоятельная работа. Предлагаются 8 вариантов
Составить план изготовления продукции трех видов с трех видов сырья с целью полной реализации запасов этого сырья. Известны технология затрат каждого вида сырья на изготовления единицы продукции определенного вида (матрица А) и объемы запасов сырья (матрица В).
Задачи для домашнего решения
Составить план оптимальной загрузки участка на последовательную обработку продукции трёх видов с целью отсутствия простоев трёх станков во время, которое предусмотрено нормативами для их безостановочной работы. Сведения о сроке обработки каждого вида продукции на соответствующем станке заданы в условных единицах времени матрицей А, время безостановочной работы станков – матрицей В.
1) [pic] , [pic] 2) [pic] , [pic] .
Практическое занятие 6
Практическая работа 5
По теме «Вычисление первого и второго замечательных пределов»
Цель работы: закрепить понятие предела функции , научиться вычислять первый и второй замечательные пределы.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Дать понятие предела функции, свойства пределов.
2. Основные методы вычисления пределов..
3. Вычисление первого и второго замечательных пределов..
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Тригонометрические функции, которые стоят под знаком предела, приводятся к первому замечательному пределу:
[pic]
Дополнительные формулы: [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Второй замечательный предел:
[pic] [pic] [pic]
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
4) [pic] [pic]
Примеры:
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic]
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic] 5) [pic]
6) [pic] 7) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic] 9) [pic]
10) [pic] 11) [pic] 12) [pic]
Задачи для домашнего решения
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
5) [pic]
Практическое занятие 7
Практическая работа 6
по теме «Вычисление производных сложных функций. Дифференцирование сложной функции.»
Цель работы: закрепить понятие производной , научиться вычислять производные первого и второго порядков, используя правила дифференцирования и таблицу производных, вычислять производную сложной функции.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Дать понятие производной функции, производной функции в точке.
2. Сформулировать теоремы про производную суммы, произведения и частного функций. Привести примеры.
3. Записать основные формулы дифференцирования.
4. Правило нахождения производной сложной функции.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Таблица производных основных элементарных функций.
1. (с)/ = 0, с - сonst 9. [pic]
2. (xα)/ = αx α – 1 10. [pic]
3. [pic] 11. [pic]
4. [pic] 12. [pic]
5. [pic] 13. [pic]
6. [pic] 14. [pic]
7. [pic] 15. [pic]
8. [pic] 16. [pic]
17. [pic]
Правила дифференцирования.
1. [pic] - вынесение константы за знак производной.
2. [pic] - производная суммы равна сумме производных.
3. [pic] - производная произведения.
4. [pic] - производная частного.
Пусть функция [pic] - сложная функция.
Теорема. Если y есть дифференцируемая функция от u, а u есть дифференцируемая функция от x, то
y есть дифференцируемая функция по x,
производная y по x равна произведению производной y по u на производную u по x, т.е. если
[pic]
Определение. Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Если функция f ¢ (x) дифференцируема в точке х0 (a, b), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке х0 и обозначают f ′′ (x0), то есть
[pic]
Определение. Пусть функция y = f(x) имеет на интервале (a, b) производные f ¢ (x), f ′′ (x), …, f (n − 1) (x). Если в точке х0 (a, b) существует производная функции f (n−1) (x0), то эту производную называют производной n-ого порядка, то есть
[pic]
где производная нулевого порядка − это функция f(x).
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
1. Найти производные следующих сложных функций.
[pic]
Решение.
[pic]
[pic]
Решение:
Находим производную частного.
[pic]
[pic]
Решение:
[pic]
1. Вычислить производную сложной функции:
1) [pic] ; 3) [pic] ;
2) [pic] ; 4) [pic] ;
5) [pic] ; 6.) [pic] ;
7) [pic] ; 8) [pic] ;
9) [pic] ; 10) [pic] ;
11) [pic] ; 12) [pic] ;
13) [pic] ; 14) [pic] ;
15) [pic] ; 16) [pic] ;
[pic]
2. Найти производную второго порядка
[pic]
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
1. Найти производные следующих сложных функций.
[pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic]
9) [pic] 10) [pic]
2. Вычислите производные при заданных значениях аргумента.
[pic] при x = 0
[pic] при x = [pic]
Задачи для домашнего решения
Вычислить производную функции:
1) [pic] , х0 = π; 2) [pic] ; 3) [pic] ;
4) [pic] ; 5) [pic] ; 6) [pic]
Практическое занятие 8
Практическая работа 7
по теме «Решение заданий экономического смысла методом дифференциального исчисления»
Цель работы: Сформировать умения решать задания экономического смысла методом дифференциального исчисления.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Определение точки минимума и точки максимума.
2. Определение критической точки.
3. Необходимое условие, чтобы точка х0 была точкой экстремума.
4. Алгоритм нахождения критических точек функции.
5. Определение стационарных точек.
6. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).
7. Достаточные условия существования экстремума функции .
8. Достаточный признак возрастания, убывания функции.
9. Алгоритм нахождения экстремумов функции.
10. Нахождение прибыли, дохода, рентабельности, налога на прибыль.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Необходимый признак экстремума. Если x=a является точкой экстремума функции y=f(x) и производная в этой точке существует,
то она равна нулю f(a)=0.
Достаточный признак экстремума. Если производная f '(x) при переходе x через a меняет знак, то а является точкой экстремума функции f(x)
Алгоритм исследования функции на экстремум:
1. Находят производную f '(x)
2. Находят все критические точки из области определения функции.
3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения функции f(x) в каждой экстремальной точке.
Правило нахождения интервалов монотонности f’(x).
1. Вычисляют производную f’(x) данной функции.
2. Находят точки, в которых f’(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
3. Найденными точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f’(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы является интервалами монотонности.
4. Исследуют знак f’(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f’(x)>0, то на этом интервале f(x) возрастает; если же f’(x)<0, то на таком интервале f(x) убывает.
Применение производной в экономике:
Пусть Р – стоимость одного изделия, а “х” – количество изделий, которые изготовлены и проданы за некоторый промежуток времени.
Функция дохода:
Д (х) = Р1 х
Функция прибыли:
П = Д – В
П = Р1 х –В (х)
Рентабельность:
[pic]
Налог на прибыль:
НП=18%∙П
Эластичность функции вычисляется по формуле: [pic]
Это показатель возможного возрастания или функции Z, если аргумент “х” увеличивается на 1 %, а аргумент “у” остается неизменным. Выражается в процентах.
Если эластичность < 1, то функцию называют неэластичной. В этом случае изменение цены повлечет за собой меньшее изменение величины спроса.
Если эластичность > 1, то функцию называют эластичной. Иными словами, изменение цены в данном случае приведет к большему количественному изменению величины спроса.
Если эластичность =1, то говорят о единичной эластичности. В этом случае изменение цены приводит к такому же количественному изменению величины спроса.
Равновесная цена – цена, при которой спрос равен предложению.
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х)=11х2 -8х-3, где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х)=52 -4х . Необходимо:
1. Составить оптимальный план деятельности производства;
2. установить цену;
3. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;
4. вычислить величину ожидаемой прибыли;
5. вычислить величину налога на прибыль;
6. вычислить рентабельность производства.
Решение:
Составим формулу прибыли: П=Д-В=Р∙х-В
Д=(52-4х)∙х=52х-4х2
П=52х-4х2-11х2+8х+3=-15х2+60х+3
П'=-30х+60
П'=0 -30х+60=0
х=2-критическая точка
[pic]
П'(0)=60
П'(3)=-30
Вычислим величину ожидаемой прибыли:
П(2)=-15∙4+60∙2+3=63 (усл.ед)
Установим цену: Р(2)=52-4∙2=44 (усл.ед)
Вычислим величину затрат производства на реализацию этого плана:
В(2)=11∙4-8∙2-3=25 (усл.ед)
Вычислим величину налога на прибыль: НП=0,2∙63=12,6 (усл.ед)
Вычислим рентабельность производства: [pic]
Пример 2
Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П
(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:
1) Равновесную цену
2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.
S= [pic] , П= [pic] Р+0,5
Решение:
1) [pic] = Р+0,5
Р1= —3,5 – не подходит
Р2=2 (ден. ед) – равновесная цена
2) [pic]
[pic]
Для Р=2:
[pic]
Спрос и предложение не эластичны относительно цены, значит, изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.
При увеличении цены Р на 1% спрос уменьшается на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.
Задачи
1. Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х), где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х). Необходимо:
Составить оптимальный план деятельности производства;
вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;
вычислить величину ожидаемой прибыли;
вычислить величину налога на прибыль;
вычислить рентабельность производства.
2. Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П
(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:
1) Равновесную цену
2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.
Закрепление сформированных знаний и учений:
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий
1. Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х), где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х). Необходимо:
1. Составить оптимальный план деятельности производства;
2. установить цену;
3. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;
4. вычислить величину ожидаемой прибыли;
5. вычислить величину налога на прибыль;
6. вычислить рентабельность производства.
2. Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П
(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:
1) Равновесную цену
2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.
Задачи для домашнего решения
1. Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х), где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х). Необходимо:
1. Составить оптимальный план деятельности производства;
2. установить цену;
3. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;
4. вычислить величину ожидаемой прибыли;
5. вычислить величину налога на прибыль;
6. вычислить рентабельность производства.
2. Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П
(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:
1) Равновесную цену
2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.
Практическое занятие 9
Практическая работа 8
по теме «Вычисление неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»
Цель работы: научиться вычислять неопределенный интеграл методами замены переменной и по частям.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
2. Интегрирование методом разложения..
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Метод интегрирования по частям: данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей, которые обозначают u и dv. Множитель u выбирают так, чтоб [pic] было проще найти, а за dv выбирают тот дифференциал, для которого можно найти интеграл.
[pic]
Метод замены переменной: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой мы получим часть подынтегрального выражения, которая осталась.
1. Определяют, к какому табличному интегралу сводится данный интеграл (перед этим преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Заменяют переменным такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой, мы получим оставшуюся часть подынтегрального выражения, не учитывая постоянный множитель.
3. Находим полученный интеграл.
4. Выполняем в ответе обратную замену, то есть переходим к старой переменной.
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Проинтегрировать по частям:
[pic]
Пример 2
Вычислить интеграл методом замены переменной:
[pic]
Пример 3
Вычислить интеграл
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ;
4) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Закрепление сформированных знаний и умений
Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий. Предлагаются 2 варианта:
7 [pic]
[pic]
Задачи для домашнего решения:
Вычислить интеграл:
[pic] ;
[pic] ;
[pic] ;
[pic] ;
[pic] ;
[pic] [pic] .
Практическое занятие 10
Практическая работа 9
по теме «Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и интегрированием по частям»
Цель работы: научиться вычислять определенный интеграл методами замены переменной и по частям.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос
1. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
2. Интегрирование методом замены переменной и по частям в определенном интеграле.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Замена переменной в определенном интеграле
Часто для упрощения вычисления интеграла [pic] приходится заменять подынтегральное выражение или его часть новой переменной. Подстановка должна упрощать вычисление интеграла. При этом замена переменной в определенном интеграле сводится к интегралу с новыми пределами интегрирования. Эти пределы находят так: подставляется сначала нижний предел а заданного интеграла в переменную, найденное значение и будет новым нижним пределом. Потом для определения нового верхнего предела подставляется верхний предел b заданного интеграла в переменную, найденное значение и будет новым верхним пределом..
Выполнив замену, изменив пределы интегрирования, ми не переходим к старой переменной.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Замена происходит так же, как и в неопределенном интеграле. Используется формула: [pic]
Формирование необходимых знаний и умений
Коллективное решение и обсуждение предложенных задач
Пример 1
Вычислить определенный интеграл:
[pic]
Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в [link]
4. электронная библиотека по математике; http://www.mat.net.ua/mat/
Интернет – ресурсы:
1 Образовательный математический сайт: www.exponenta.ru;
2. Сайт учебно-методического журнала Математика: http://mat.1september.ru;
3. Математический портал: http://www.allmath.ru;
4. Сайт тесты по математике: http://www.mathtest.ru.
