МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА
Конспект урока по теме:
«Свойства и признаки параллелограмма»
разработан учителем математики
Нефедовой Е.В.
2016 г.
Свойства и признаки параллелограмма
Загадка
Хоть стороны мои
Попарно и равны, и параллельны,
Все ж я в печали, что не равны мои диагонали,
Да и углы они не делят пополам
Но все ж, скажи, дружок, кто я?
Определение
Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
Значение слова
Параллелограмм ( от греч. parallelos – параллельный и gramme – линия), четырехугольник с попарно параллельными сторонами.
Свойства
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (т. 6.2)
У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны (т. 6.3)
Сумма величин углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна
Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника
Дано: ABCD-пар-м
AC-диагональ
Док-ть: ABC=CDA
Доказательство:
ABC=CDA по 3 сторонам: AB=CD
BC=AD по т. 6.3
AC – общая
Или
ABC=CDA по стороне и прилежащим углам: AC – общая
∟1=∟2 – внутр. н. л. При AD//BC, сек. AC
∟3=∟4 – внутр. н. л. При AB//CD, сек. AC
Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
Дано: ABCD-пар-м
AM-диагональ
Док-ть: ABM: AB=BM
Доказательство:
ABM – равнобедренный, т.к ∟1=∟3 – углы при основании
∟1=∟2=∟3 внутр. н. л.
Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны
Дано: ABCD-пар-м
AM- биссектриса ∟A
CE- биссектриса ∟C
Док-ть: AM//CE
Доказательство:
Т.к. ABCD-пар-м. то ∟A=∟C, значит ∟1=∟3=∟4=∟5
∟5=∟4=∟2
∟2=∟5=∟1, значит
AM//CE, т.к. ∟1=∟2 – соответственно
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, перпендикулярны
Дано: ABCD-пар-м
AE- биссектриса ∟A
BK- биссектриса ∟B
Док-ть:AE┴BK
Доказательство:
ABEK-ромб, т.к. 1) пар-м ∟A+∟B=180
2) AE и BK являются диагоналями и биссектрисами
Значит AE┴BK, т.л. диагонали ромба перпендикулярны
В параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма
Дано: ABCD-пар-м
BK и BF-высоты ∟B
Док-ть: ∟1=∟2
Доказательство:
KBFD-четырехугольник
∟K+∟1+∟F+∟D=360
∟1+∟D=360-180=180
∟1=180-∟D=∟A
Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до прямых, на которых лежат его стороны – величина постоянная для данного параллелограмма
Доказательство:
Признаки
(т. 6.1) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
ACBD
AO=CO
BO=DO
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
AB=CD
AB//CD
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
AB=CD
AB//CD
Если в четырехугольнике противолежащие стороны и противолежащие углы равны, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
AB=CD
AB//CD
Надо доказать, что AB//CD и BC//AD
∟A+∟B+∟C+∟D=360 (Сумма углов двух треугольников, например, ABD и CBD)
Значит, 2∟A+2∟B=360
∟A+∟B=180 – в.о. при BC и AD, сек. AB, значит BC//AD
∟С+∟B=180 – в.о. при AB и CD, сек. BC, значит AB//CD
ABCD – параллелограмм по второму признаку: AB=CD и AB//CD
Если диагонали четырехугольника разбивают его на 2 равных треугольника, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
ABC=CDA
Т.к. ABC=CDA, то AB=CD и BC=AD –соответственно, значит ABCD – параллелограмм по третьему признаку
