Пояснительная записка
Рабочая программа представляет собой своеобразный курс теории вероятностей и математической статистики в задачах. На начальном этапе работы с книгой предполагается первичное ознакомление с основными понятиями. Следующий этап – обращение к обучающему модулю, в котором изложены основы комбинаторики, теории случайных величин и начало математической статистики и в котором учебный материал иллюстрируется многочисленными примерами. Контрольный блок содержит теоретические упражнения, тренировочные задания, и проверочные задания двух типов: традиционного содержания в виде тестов со свободно конструируемыми ответами и подборку тестовых заданий, в которых предполагаются как выбор ответов, так и установление соответствий, и конструирование ответов. Результат тестирования могут служить основанием для оценки уровня усвоения курса.
Начиная со второй половины прошлого века наблюдается всё более возрастающий интерес к теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и к применению вероятностно-статистических методов в самых разнообразных областях науки, техники, производства и экономики. Изучение различного рода случайных явлений, стохастических отклонений от нормы является важным средством предотвращения чрезвычайных ситуаций, техногенных катастроф, выпуска некачественной и ненадежной продукции и т.п.
С развитием современных средств вычислительной микропроцессорной техники расширяются возможности хранения, поиска и обработки больших массивов вероятностно-статистической информации о реальных объектах, выявления причинно следственных связей между процессами и явлениями. Методы теории вероятностей и математической статистики находят все большее применение, например, к анализу ошибок разного рода измерений, а также в физике, биологии, экологии, социологии, в телефонии и процессах обслуживания и т.д.
Тематический план дисциплины
2
2
12
2.9.Повторение опытов. Формула Бернулли
2
2
13
2.10.Предельные теоремы в схеме Бернулли
2
2
Раздел 3. Случайные величины.
20
14
3.1.Ряд распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики
2
2
15
3.2. Функция распределения
2
2
16
3.3.Плотность распределения
2
2
17
3.4. Случайные величины: типовые задачи.
2
2
18
3.5. Специальные виды распределений
2
2
19
3.6. Нормальное распределение
2
2
20
3.7. Типовые задачи на специальные распределения
2
2
21
3.8.Статистическое распределение выборки
2
2
22
3.9.Статистические оценки параметров распределения
2
2
23
3.10. Математическая статистика: типовые задачи
2
2
Всего
46
Содержание рабочей программы по дисциплине
Раздел 1. Элементы комбинаторики
1.1.Кортежи. Прямые произведения.
Пусть даны множества G1, G2, G3, …, Gn Кортежем длины n, составленными из элементов этих множеств, называется любая последовательность вида g=(g1, g2, …,gn), где gkGk, 1 k n. Кортежи длины 2, т.е. кортежи вида (g1, g2), называются упорядоченными парами; кортежи длины 3 – упорядоченными тройками и т.д. Декартовым произведением G1x…xGn множеств G1, G2, G3, …, Gn называется множество всех G кортежей вида g=(g1, g2, …,gn).
1.2.Размещения, перестановки, сочетания.
Пример. Брошены два игральных кубика. Найти количество всевозможных вариантов (всевозможных пар) очков на впавших гранях.
Решение. Следует найти количество упорядоченных пар (g1, g2), где gk – число очков, выпавших на k-й игрального кубика, k=1,2. Значение g1 – любое из чисе1.2.3,…, 6. В паре с фиксированным (выбранным) g1 может оказаться любое g2{1,2,…,6}, т.е. таких пар будет 6, соответственно количеству возможных значений g2. Учитывая, что выбор g1 возможен тоже шестью способами, имеем все упорядоченные пары в количестве 6*6=36.
1.3.Число элементов в объединении множеств.
Задание 1. Логин должен начинаться с английской буквы S и состоять из четырех букв (в английском алфавите 26 букв). Сколько можно образовать логинов, если
а) все буквы в нём должны быть различными?
б) буквы могут повторяться?
Раздел 2. Теория вероятности и математическая статистика.
2.1.Алгебра событий
Во множестве событий вводятся следующие действия.
Сложение событий. Событие А=А1+А2+А3+…+Аn называется суммой конечного количество событий А1,А2,А3,…,Аn, если событие А состоит в наступлении хотя бы одного из указанных Аk, k=1,2,….
Событие А=А1+А2+А3+…+Аn+… называется суммой бесконечного количества событий, если событие А состоит в наступлении хотя бы одного из указанных k=1,2,….
Умножение событий. Событие В= А1,А2,А3,…,Аn называется произведением конечного количества событий А1,А2,А3,…,Аn, если событие В состоит в совместном наступлении всех указанных Аk, k=1,2,….
2.2.Классическая вероятность
2.3. Относительная частота и статистическая вероятность
2.4.Геометрическая вероятность
2.5.Вероятность произведения событий
2.6.Вероятность суммы совместимых событий
2.7.Формулы полной вероятности и формулы Бейеса
2.8.Классическая вероятность, относительная частота, геометрическая вероятность: типовые задачи
2.9.Повторение опытов. Формула Бернулли
2.10.Предельные теоремы в схеме Бернулли
Раздел 3. Случайные величины.
3.1.Ряд распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики
3.2. Функция распределения
3.3.Плотность распределения
3.4. Случайные величины: типовые задачи.
3.5. Специальные виды распределений
3.6. Нормальное распределение
3.7. Типовые задачи на специальные распределения
3.8.Статистическое распределение выборки
3.9.Статистические оценки параметров распределения
3.10. Математическая статистика: типовые задачи
4. Задачи для самостоятельного решения
1. Рассматриваются следующие события: А – первое из электронных писем содержит навязчивую рекламу (СПАМ), В – второе письмо содержит СПАМ. Выразить с помощью операций сложения и умножения через события А и В и (или) им противоположные следующие события:
а) событие С – ни одно из писем не содержит СПАМ;
б) хотя бы одно письмо содержит СПАМ;
в) только одно письмо содержит СПАМ.
2. Бросили две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна семи;
б) сумма выпавших очков равна семи, на меньше десяти;
в) произведение выпавших очков больше пяти, но не превосходит восьми.
3. Владелец банковской карты забыл PIN-код и, помня только, что все четыре цифры различные, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что PIN-код набран правильно.
4. на книжной полке в произвольном порядке расставлены пять книг по высшей математике, три книги по теоретической механике и семь книг по сопромату. Студент наудачу берет три книги. Найти вероятность того, что извлеченными книгами являются:
а) все книги по высшей математике;
б) две книги по высшей математике и одна книга по сопромату;
в) все три книги по различным предметам.
5. После летнего ремонта в классе расставили в случайном порядке двадцать письменных столов. Найти вероятность того, что столы бут расставлены в прежнем порядке.
6. В прямоугольник вписаны две окружности равного радиуса, касающиеся друг друга внешним образом. В прямоугольник случайным образом брошена точка. Какова вероятность того, что она не попадет ни в один из кругов?
7. Внутри круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг:
а) квадрата;
б) правильного треугольника.
8. Для студента вероятность сдать экзамен по высшей математике на оценку удовлетворительно равна 0,4; на оценку хорошо и отлично соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен на оценку выше удовлетворительной.
9. Из 33 карточек, содержащих каждую букву русского алфавита, извлекли одну из другой и выложили слева на право шесть карточек. Найти вероятность того, что получится слово «ТЕОРИЯ».
10. Абитуриент сдает три экзамена. Вероятность сдать экзамен по русскому языку равны 0,8 и 0,6. Найти вероятность следующих событий:
а) абитуриент сдаст все три экзамена; б) абитуриент не сдаст ни один экзамен;
в) абитуриент сдаст только экзамен по русскому языку;
г) абитуриент сдаст только один экзамен;
д) абитуриент сдаст хотя бы один экзамен.
4
