МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 7
СТАНИЦЫ ПЕРЕЯСЛОВСКОЙ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
БРЮХОВЕЦКИЙ РАЙОН
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ.
Работу выполнили учащиеся 10 класса
Губанов Р., Коряк И.
Учитель математики Демиденко Н. И.
Ст. Переясловская 2015 год
Рецензия на работу «Преобразование графиков».
Данная работа выполнена учащимися 10 класса Губановым Р. И Коряк И. Она посвящена одному из основных понятий современной математики - функциональной зависимости. Цель этой работы – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и графиками. Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделов школьного курса математики. Графики широко используются в технике, лежат в основе работы многих самопишущих автоматических приборов. Владение техникой построения графиков помогает решать многие сложные задачи. Кроме этого, построение графиков представляет большой интерес для учащихся.
При выполнении заданий учащиеся продемонстрировали умение строить графики и выполнять их преобразования, рассмотрели применение графического метода при решении уравнений с параметрами. Выполнение данных заданий сыграет большую роль при подготовке к единому государственному экзамену и изучении высшей математики в вузе.
Учитель математики Н. И. Демиденко
Содержание.
Вступление. 2
Понятие функции и графика. 2
Преобразование графиков: 2
перенос вдоль оси ординат;
перенос вдоль оси абсцисс;
сжатие (растяжение) вдоль оси ординат;
сжатие (растяжение) вдоль оси абсцисс.
Действия над функциями: 6
сумма (разность) функций;
произведение функций;
частное двух функций;
функции, содержащие операцию взятие модуля.
Обратная функция. 12
Применение графического метода при решении 14
уравнений с параметрами.
Список используемой литературы. 17
Вступление.
Понятие функциональной зависимости является одним из центральных понятий в математике. Графическое изображение функции даёт наглядное представление о поведении функции в целом. Графики можно строить с помощью полного исследования функции, но довольно часто при построении графиков можно избежать подобных исследований, применяя преобразования графиков.
Применение графического способа очень удобно при решении уравнений с параметрами. Такие задания вызывают серьёзные трудности логического характера. Каждое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписывать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Легче это сделать с помощью графического представления. Графический способ также уместен, когда надо не решить уравнение, а указать сколько решений оно имеет в зависимости от параметра.
Понятие функции и графика.
В окружающей нас жизни нет явлений или обстоятельств, которые не зависели бы от каких-либо причин их вызывающих, от других обстоятельств, от условий и т.д. Рост ребёнка зависит от возраста, пройденный путь – от времени и скорости, цена за товар – от его количества и качества и т.д. Такие связи называются функциональными. В бытовом смысле они удобны для прогнозирования , исследования. В науке же соответствие, по которому для каждого значения переменной получаем определённое числовое значение, называется функцией.
Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.
Областью определения функции называется множество всех значений аргумента х, для которых выражение f(x) определено.
Областью значений функции называется множество всех значений у, таких что f(x)=y.
Графиком функции у = f(х) называется совокупность точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)),где х «пробегает» всё множество D(f).
Без графиков сейчас не представляется даже информация о текущих экологических и социальных проблемах. График – это язык, средство для передачи ёмкой, качественной информации.
Преобразование графиков.
График функции y=f(x)+b при b > 0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вверх. Аналогично, ординаты графика функции y=f(x)-b при b>0 для всех значений x на b единиц меньше соответствующих ординат графика функции у = f(x). Следовательно, график функции y=f(x)-b при b>0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вниз
Общее правило построения графика y=f(x)+b при произвольном b: строим график функции y=f(x) и переносим его вдоль оси ординат на |b| единиц вверх при b >0 или вниз при b<0 или, строим график функции y=f(x) и перенесем ось абсцисс на |b| единиц вверх при b >0 или на |b| единиц вниз при b<0.
Пример 1. Построить график функции y = [pic] .
Построим сначала график функции y = [pic] . Затем перенесем его на [pic] единицы вверх. Получаем график функции y = [pic]
[pic]
График функции y=f(x+a) может быть получен параллельным переносом графика функции у = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при а > 0 или вправо на |a| единиц при а< 0
Для построения графика функции y=f(x+a) следует построить график функции у =(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при а >0 или на |a| единиц влево при a<0
Пример 1. Построить график функции y=(x-2)2Строим сначала график функции у = х2, затем переместим его на две единицы вправо и получаем в системе координат хОу график функции у = (х-2)2
[pic]
Для построения графика функции у = А∙f(х) следует построить график функции у = f(х) и увеличить его ординаты в А раз при А > 1 (растянуть график вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в [pic] раз при А < 1 (сжать А график вдоль оси ординат).
Пример 1. Построить график функции y=-4x2 . Строим сначала график функции у = х2, затем сжимаем его вдоль оси ординат в 4 раза и отображаем относительно оси Ох , получим график у=-4х2.
[pic]
Для построения графика функции y=f(kx) следует построить график функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (сжать график вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в [pic] раз при k< 1 (растянуть график вдоль оси абсцисс)
Пример. Построить график функции у = cos [pic] .
[pic]
3.Действия над функциями.
Суммой двух функций f(x) и g(x) называется функция h(x) с областью определения, являющейся общей частью областей определения f(x) и g(x), при этом значение функции h(x) равны f(x) + g(x).
Ординаты графика суммы функций получаются путем сложения ординат графиков складываемых функций для каждого значения аргумента (для каждой абсциссы) из области определения суммы. Другими словами, чтобы построить график функции h(x)=f(x)+g(x) нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) в одной и той же системе координат, а затем в каждой точке к отрезку, изображающему ординату первого графика, построить отрезок, изображающий ординату второго графика, при этом второй отрезок накладывать вверх, если g(x) > 0, и вниз, если g(x) <0.
Аналогично определяется разность двух функций и строится ее график. При построении графика разности можно поступить иначе: построить график функции y=f(x) и y=g(x), затем график функции y=g(x) отобразить симметрично относительно оси Ox, тем самым получится график функции y=-g(x),и, наконец, складываются графики функций y=f(x) и y=-g(x).
Пример 1. Построить график функции y=x + [pic]
Строим графики функций у = x и у = [pic] . Для каждого значения x (x [pic] ) складываем соответствующие ординаты, получаем график:
[pic]
Произведения двух функций f(x) и g(x) называется функция h(x) с областью определения, являющейся общей частью областей определения f(x) g(x), при этом значении функции h(x) равны f(x) [pic] g(x).
Ординаты графика произведения функций получаются путем умножения ординат графиков исходных функций соответствующих одному и тому же значению аргумента (для каждого значения аргумента из области определения произведения). Другими словами чтобы построить график функции h(x) = f(x) [pic] g(x), нужно построить графики функций y=(x) и y=g(x) в одной и той же системе координат, а затем в каждой точке перемножить длины отрезков, изображающие ординаты графиков, и построить отрезок полученной длины с учетом знака произведения. Множество точек с полученными ординатами представляет график функции y=f(x) [pic] g(x)
Пример 1. Построить график функции y=x∙cos x
Функция y=x∙cos x является нечетной (она представляет собой произведения четной и нечетной функций), поэтому ее график будет симметричным относительно начала координат и его достаточно построить лишь для x [pic] 0. Строим графики функции y=x и y=cos x и перемножаем значения ординат этих графиков. Затем, что в точках x= [pic] , в которых cos x=0, функция равна нулю. В точках х=2 [pic] , где cos x =1, произведение равно 2 [pic] , т.е. эти точки лежат на прямой y=x, а в точках x= [pic] , где cos=-1, произведение равно –( [pic] ), т.е. эти точки лежат на прямой y=-x.
[pic]
Частным двух функцийf(x) и g(x) называется функция h(x), у которой область определения получается следующим образом: из общей части областей определения f(x) и g(x) нужно удалить все значения, при которых g(x)=0? При этом значении функции h(x)= [pic] .График функции у = [pic] можно получить следующим образом: представим функцию в виде y=f(x) [pic] , построим графики y=f(x) и y= [pic] , а затем построим график произведения
y=f(x) * [pic] . Для того чтобы построить график функции y= [pic] , надо построить график функции y=g(x), разделить единицу на ординаты графика y=g(x) (с учетом знака) и получить ординаты графика. Заметим, что в тех точках, где функция y=g(x) имеет нули, функция y= [pic] не определена и, как правило, имеет вертикальные асимптоты.
Пример 1. Построить график функции y= [pic] .
Строим график функции y=cos x, а затем делим единицу на соответствующие ординаты этой функции. При этом получаем, что при приближении к точкам x= [pic] график функции y= [pic] «уходит» в [pic] в зависимости от знака cos x, т.е. прямые x= [pic] являются вертикальными асимптотами.
[pic]
Пусть требуется построить график функции [pic] По определению модуля имеем [pic]
Пример 1. Построить график функции y= [pic] .
Сначала строим график функции у = (х- 1)2 – 4 и части, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси абсцисс.
[pic]
Построение графика функции у =f( [pic] ).
Данная функция является чётной, поэтому построим её график для х≥0 и затем отобразим симметрично относительно оси ординат.
Пример 2. Построить график функции у=х2 -4 [pic] +3. При х ≥ 0 имеем у=х2 – 4х +3=(х-2)2 – 1. Построим этот график при х ≥ 0 и отобразим симметрично относительно оси ординат.
[pic]
Если выражение, задающее функцию, содержит несколько модулей, то в этом случае область определения разбивают на промежутки знакопостоянства выражений, стоящих под знаками модулей, и получим на каждом промежутке выражение, не содержащее модулей. После этого строим график нашей функции на каждом промежутке.
Пример 1. Построить график функции у= х – [pic]
y= [pic]
[pic]
Обратная функция.
Функцию, принимающую каждое своё значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Пусть f – произвольная обратимая функция. Для любого числа [pic] из её области значений Е(f) имеется в точности одно значение [pic] , принадлежащее области определения D(f), такое что f( [pic] )= [pic] . Поставив в соответствие каждому [pic] это значение [pic] , получим новую функцию g с областью определения Е(f) и областью значений D(f). Например, для обратимой функции f(x)=kx+b (k [pic] значение новой функции g в произвольной точке задаётся формулой
[pic]
Если функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что f(y)=x, то говорят, что функция g- обратная функция к f.
Утверждение. Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой у = х.
Теорема. Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определённая в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей)
Пример. Построить графики функций y=log2 x и y=2x.
[pic]
Использование графического метода при решении
уравнений с параметрами.
Пример 1. Сколько решений имеет уравнение [pic] = а.
Решение.
Построим графики функции y= [pic] и y=a.
[pic]
Из рисунка видно, что:
При а >0 графики пересекаются в двух точках, значит, уравнение имеет 2 решения x=a или x=-a.
При a=0 точка пересечения одна, значит, решение единственное x=0.
При a<0 графики функции не пересекаются, решений нет.
Ответ: при a>0 x= [pic] a,
При a=0 x=0
При a<0 решений нет
Пример 2. Решить уравнение [pic] =a для всех значений параметра.
Решение:
Построим график функции у= [pic] и у=а
При a>0 графики функций пересекаются в двух точках, решений два x= [pic]
П [pic] ри a [pic] 0 графики функций не пересекаются – решений нет
y=a, a>0
y=a, a=0
y=a, a<0
Ответ: при a>0 x= [pic]
при a≤0 решений нет
Пример 3. Для каждого параметра a решить уравнение [pic] =a
Р [pic] ешение.
[pic]
y=a,(a>2)
y=2
y=0
y=a,(a<2)
При a<2, решений нет
При a=2 решениями будут все числа из интервала [pic]
При a>2 уравнение имеет два решения x= [pic]
Ответ: при a<2 решений нет.
при a=2 x [pic]
при a>2 x= [pic]
Пример 4. Найти число решений уравнения [pic] =a в зависимости от параметра а.
Решение.
Построим графики функций y= [pic] и y=a
[pic]
y=a, a>4
y=4
y=a, 0
y=a, a=0
y=a, a<0
При а>4 -два решения
При а=4 -три решения
При 0<а<4 -четыре решения
При а=0 -два решения
При а<0 -нет решения.
Литература.
Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. Москва, 1978.
Крейнин Я. Л. Ф. Функции, пределы, уравнения и неравенства с параметрами. Москва, 1995.
Литвиненко В.Н, Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Москва, 1995.
Яремчук Ф. П., Рудченко П. А. Алгебра и элементарные функции. Киев, 1987.
19
