Обзорная лекция по теме "Векторы и операции над ними" для учащихся 10 классов.
Опр. Отрезок называют направленным, если на нём задано упорядочение точек от одного конца к другому. Если — начальная точка в этом порядке, а точка — последняя, то говорят, что задан направленный отрезок с началом и концом , который обозначают символом «». Нулевым направленным отрезком называют отрезок, который превратился в точку. Ненулевые направленные отрезки и называют равными, если обычные отрезки и имеют общую середину; нулевые равны по определению.
Следствие (о разности координат). Направленные отрезки равны тогда и только тогда, когда разность одноимённых координат конца и начала одного направленного отрезка равна разности одноимённых координат конца и начала другого.
Доказательство: Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат . Пусть . По определению равенства направленных отрезков, отрезки и имеют общую середину. Запишем факт совпадения середин с помощью формулы координат середины отрезка: . Умножая обе части этих равенств на два, получим . Затем перенося в одну часть координаты концов одного отрезка, выводим в итоге .
Проводя рассуждения в обратном порядке, заключаем равенство направленных отрезков.▅
Лемма (о транзитивности равенства направленных отрезков). Если и , то .
Доказательство: Если хотя бы один из данных направленных отрезков нулевой, то утверждение очевидно по следствию о разности координат. Рассмотрим случай ненулевых направленных отрезков.
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат . Пусть . По определению равенства направленных отрезков, отрезки и имеют общую середину и отрезки и имеют общую середину. Запишем факт совпадения середин для каждой пары отрезков с помощью формулы координат середины отрезка:
;
.
Сложив покоординатно односторонние части этих равенств друг с другом, получим.
Уничтожая одинаковые слагаемые в разных частях равенств, выводим соотношения: .
Из них следует, что отрезки и имеют общую середину, а это по определению означает, что .▅
Опр. Пусть введена в пространстве прямоугольная декартова система координат . Радиус-вектором называют направленный отрезок, с началом в точке . Координатами радиус-вектора называют координаты точки . Нулевым называют радиус-вектор .
Опр. Углом между радиус-векторами и называют . Суммой радиус-векторов и называют новый радиус-вектор с координатами, равными сумме координат точек и . Если сумма оказалась равной , то называют противоположенным и обозначают символом «», то есть .
Следствие (о противоположенном радиус-векторе). Противоположенный радиус-вектор имеет координаты, противоположенные одноимённым координатам исходного.
Лемма (правило параллелограмма). Суммой ненулевых радиус-векторов и , образующих ненулевой неразвёрнутый угол, является радиус-вектор такой, что отрезок является диагональю параллелограмма со смежными сторонами и .
Доказательство: Пусть и , тогда по определению координат радиус-вектора и Пусть — середина отрезка . Возьмём точку таким образом, чтобы точка была серединой отрезка . Тогда по формуле координат середины отрезка получим:
Отсюда следует, что . Следовательно по определению, . С другой стороны, в четырёхугольнике диагонали и пересекаются в точке и делятся ею пополам. Следовательно, точки лежат в одной плоскости и, по теореме, является параллелограммом. Значит, отрезок есть диагональ параллелограмма со смежными сторонами и .▅
Опр. Вектором называют множество направленных отрезков, равных радиус-вектору . Координатами вектора называют координаты соответствующего радиус-вектора. Суммой векторов и противоположенным вектором называют векторы, порождённые соответственно суммой и противоположенным радиус-векторами. Разностью векторов и называют новый вектор . Вектор может также обозначаться символом .
Следствие (о координатах вектора). Если и , то .
Доказательство: Пусть и , тогда по определению координат радиус-векторов и . Следовательно, имеет координаты , а это по определению и есть .▅
Опр. Пусть задана точка и . Тогда говорят, что вектор отложен от точки .
Данный направленный отрезок единственен по следствию о разности координат, то есть если , то .
Лемма (правило треугольника). .
Доказательство: По определению суммы векторов и : . Последнее означает, что координаты вектора совпали с координатами вектора .
Таким образом, по следствию о разности координат, множество направленных отрезков, порождённое радиус-вектором , совпало с множеством направленных отрезков, порождённым радиус-вектором . А это по определению и означает, что .▅
Опр. Углом между ненулевыми векторами и называют угол между соответствующими им радиус-векторами. Ненулевые векторы и называют сонаправленными и обозначают , если угол между ними равен нулю. Ненулевые векторы и называют противоположено направленными и обозначают , если угол между ними равен развёрнутому. Векторы и называют коллинеарными и обозначают , если они являются сонаправленными, либо противоположено направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы называют компланарными, если соответствующие им радиус-векторы лежат в одной плоскости.
Опр. Произведением вектора на число называют вектор . Скалярным произведением векторов и называют число , которое вычисляют по формуле . Модулем вектора называют число .
Следствие (о модуле). равен длине отрезка .
Доказательство: Пусть и , тогда . По определению модуля вектора:
.▅
Теорема (основные свойства операций над векторами). Для любых векторов и чисел справедливы утверждения:
;
;
;
;
;
;
.
Теорема (критерии коллинеарности и компланарности). Пусть даны ненулевые векторы :
;
;
;
.
Теорема (о скалярном произведении)., где угол между векторами и .
Теорема (о разложении вектора по трём некомпланарным векторам). Пусть даны некомпланарные векторы . Тогда любой вектор трёхмерного пространства можно представить в виде , где коэффициенты определяются единственным образом.
