Оглавление
Введение.
Данная курсовая работа по предмету «Дифференциальные уравнения» рассчитана на умение применять полученные теоретические и практические навыки для решения задачи
Цель работы:
Решить поставленную задачу, применяя теорию и практику.
Глава 1. Теория.
Теорема Гробмана – Хартмана.
Пусть O – грубая неподвижная точка некоторого диффеоморфизма T . Тогда существуют окрестности U1 и U2 точки O, в которых диффеоморфизм T и его линейная часть топологически сопряжены.
В случае негрубой неподвижной точки подобное утверждение неверно. Это легко показать, если матрица A линейного отображения
= Ax
имеет мультипликаторы, равные 1 по модулю. Здесь можно добавить в правую часть нелинейный член g(x) так, что новое отображение
= Ax + g(x)
не будет топологически сопряжено со своей линейной частью.
Например, одномерное отображение
= x + x2
имеет только одну неподвижную точку O (см. рис. 3.4.2), тогда как все точки
являются неподвижными точками для соответствующего линеаризованного
отображения
[pic]
Рис. 1. Ступенчатая функция Ламерея. График функции f(x) = x + x2 касается
биссектрисы в неподвижной точке типа седло-узел
Рассмотрим другой пример: отображение
= −x + x3 ,
имеющее устойчивую неподвижную точку O (см. рис. 3.4.3), не сопряжено с линейным отображением
= x ,
для которого все точки (кроме O) периодические с периодом 2.
[pic]
Рис. 2. Спираль Ламерея отображения x = −x + x3. Вне начала координат
производные отображения меньше 1 по абсолютной величине; неподвижная точка является устойчивой
В качестве следующего примера рассмотрим линейное отображение, имеющее неподвижную точку с парой комплексно сопряженных мультипликаторов e±iω:
= x cos ω − y sin ω ,
= x sin ω + y cosω .
Все траектории лежат на инвариантных окружностях, расположенных симметрично относительно точки O(0, 0). Это отображение не сопряжено с отображением
= x cos ω − y sin ω − x(x2 + y2) cosω ,
= x sin ω + y cos ω − y(x2 + y2) cosω ,
траектории которого стремятся к точке O по спиралям.
В том случае, когда все мультипликаторы неподвижной точки O диффеоморфизма T меньше 1 по абсолютной величине, все положительные полутраектории стремятся к O. Если все мультипликаторы лежат вне единичной окружности, отрицательная полутраектория точки из малой окрестности точки O стремится к неподвижной точке. При положительных итерациях отображения T все траектории (кроме самой точки) покидают окрестность неподвижной точки.[1]
В случае седла, т. е. когда есть мультипликаторы как внутри, так и вне
единичной окружности, неподвижная точка имеет (локально) устойчивое
инвариантное многообразие Wsloc и неустойчивое инвариантное многообразие Wuloc, которые являются образами инвариантных подпространств s и u соответствующей линеаризованной системы относительно гомеоморфизма η, устанавливающего топологическую сопряженность. Следовательно, положительная полутраектория любой точки в многообразии Wsloc лежит в нем полностью и стремится к седловой точке O. С другой стороны, отрицательная полутраектория произвольной точки в многообразии Wuloc лежит полностью в Wuloc и стремится к O. Размерность устойчивого (неустойчивого) многообразия равна числу мультипликаторов, лежащих внутри (вне) единичной окружности. Траектории точек, не лежащих в Wsloc ∪ Wuloc, проходят мимо седла.
Очевидно, если один диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки сопряжен другому в окрестности другой неподвижной точки, то размерности устойчивых (неустойчивых) многообразий обеих этих
седловых точек должны быть равны (для сохранения общности, полагаем,
что Wu = {∅} и dimWu = 0 в случае устойчивой неподвижной точки; и Ws = {∅}, dimWs = 0 в случае, когда точка вполне неустойчива). Однако, в отличие от случая грубых положений равновесия, не только одни лишь размерности устойчивого и неустойчивого многообразий являются инвариантами относительно локальной топологической сопряженности.
Чтобы найти другие инварианты, заметим, что теорема Гробмана –Хартмана допускает следующее обобщение:
В некоторой окрестности начала координат линейное невырожденное отображение, не имеющее мультипликаторов на единичной окружности, топологически сопряжено с любым достаточно близким отображением.
Из этого, в частности, вытекает то, что любые два близкие линейные
отображения топологически сопряжены. Таким образом, для двух произвольных матриц A0 и A1, отображения
и
будут топологически сопряжены, если можно построить такое семейство
матриц A(s), непрерывно зависящее от параметра s ∈ [0, 1], что A(0) = A0 и
A(1) = A1, при условии, что все матрицы A(s) являются невырожденными
и не имеют собственных значений на единичной окружности.[2]
Глава 2. Практика
Формулировка задачи.
Найти траектории для уравнения при . Нарисовать фазовый портрет в каждом из случаев.
Решение.
Заменим уравнение системой уравнений
;
Найдем неподвижные точки. Для этого решим систему
;
Заметим что неподвижная точка будет в случае , т. к.
, следовательно неподвижная точка в случае имеет координаты
Рассмотрим систему для каждого случая.
.
Определим вид точки. Для этого построим якобиан
Посчитаем его для нашей неподвижной точки
Решим уравнение
Полученные значения показывают, что наша неподвижная точка – седло, неустойчивое.
Найдем уравнение траектории
;
;
;
-
;
;
.
;
;
Используемая литература.
Оболенский А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. Учебно – методическое пособие. Для студентов математических специальностей вузов.
Тураев Д. В., Чуа Л., Шильников Л. П., Шильников А. Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 428 стр.
