МОУ «Средняя общеобразовательная школа №24»
город Подольск
Московская область
Доклад
«Симметрия кристаллов»
Выполнила:
Орлова
Ольга Романовна,
ученица 10 класса «Г»
Научный руководитель:
Елющев Олег Владимирович,
учитель
математики
2012 год.
План.
I Вступление. Понятие симметрии.
II Основная часть.
1)равные части и фигуры в геометрии и в кристаллографии;
2)кристаллы и их строение;
3)элементарные ячейки к кристалле;
4)симметрия и анизотропия кристаллических многогранников;
5)симметрия и ее элементы;
6)группы или виды симметрии;
7)сингонии кристаллов;
8)три категории, в которые объединяются сингонии;
9)симметрия реальных кристаллов;
III Вывод. Симметрия как кристаллофизический метод исследования.
Симметрия кристаллов.
Греческое слово "симметрия" в переводе на русский язык означает "соразмерность". В целом же, симметрию можно определить как способность к закономерному повторению фигурой своих частей. Представление о симметрии широко распространено в повседневной жизни. Симметричными называются, например, венчики цветов, крылья бабочки, снежные звездочки. Человечество издавна пользовалось понятием о симметрии, применяя его в самых разнообразных областях своей деятельности. Однако математическая разработка учения о симметрии была осуществлена лишь во второй половине XIX века.
Симметричная фигура должна состоять из закономерно повторяющихся равных частей. Поэтому в основе представления о симметричных фигурах лежит понятие о равных частях.
"Две фигуры называются взаимно равными, если для каждой точки одной фигуры имеется соответственная точка другой фигуры, причем расстояние между двумя любыми точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответственными точками другой".
Понятие равенства фигур, согласно данному определению, значительно шире соответственного понятия, принятого в элементарной геометрии. В элементарной геометрии равными называются обычно такие фигуры, которые при наложении одна на другую совпадают всеми своими точками. В кристаллографии равными считаются не только такие совместимо - равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.
До сих пор говорилось о геометрических фигурах. Переходя к кристаллам, надо помнить, что они представляют собой реальные тела и что равные их части должны быть не только геометрически равными, но и физически одинаковыми.
Вообще же кристаллами обычно называются твердые тела, образующиеся в природных или лабораторных условиях в виде многогранников.
Поверхность таких многогранников ограничена более или менее совершенными плоскостями - гранями, пересекающимися по прямым линиям - ребрам. Точки пересечения ребер образуют вершины.
Геометрически правильная форма кристаллов обуславливается, прежде всего, их строго закономерным внутренним строением.
Все кристаллы построены из материальных частиц, геометрически правильно расположенных в пространстве. Упорядоченное распределение атомов, ионов, молекул отличает кристаллическое состояние от некристаллического, где степень упорядоченности совершенно ничтожна.
Во всех кристаллических структурах можно выделить множество одинаковых атомов, расположенных наподобие узлов пространственной решетки. Чтобы представить себе такую решетку, необходимо мысленно заполнить пространство без остатка множеством равных параллелепипедов, параллельно ориентированных и смежных по целым граням. Простейший пример подобных параллелепипедальных систем представляет собой совокупность кубиков или кирпичиков, вплотную приложенных друг к другу. Если в таких воображаемых параллелепипедах выделить соответственные точки, например, их центры или любые другие точки, то можно получить так называемую пространственную решетку. Выделенные соответственные точки называются узлами. В реальных структурах кристаллов места узлов пространственных решеток могут заниматься отдельными атомами, ионами или группами атомов.
Решетчатое строение характерно для всех кристаллов без исключения.
Таким образов, наиболее полное определение кристалла будет звучать так: кристаллами называются все твердые тела, в которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены закономерно в виде узлов пространственных решеток.
Твердые тела, в которых частицы располагаются беспорядочно, называются аморфными. Примерами аморфных образований служат стекла, пластмассы, смолы, клей. Аморфное вещество не является устойчивым и обнаруживает с течением времени тенденцию к кристаллизации. Так стекло "закристаллизовывается", образуя агрегаты мелких кристаллов.
Примерами кристаллов могут служить кубики поваренной соли, заостренные на концах шестигранные призмы горного хрусталя, восьмигранники алмаза, двенадцатигранники граната.
В современном описании минерала обязательно указываются параметры его элементарной ячейки - наименьшей группы атомов, параллельным перемещением которой можно построить всю структуру данного вещества. Несмотря на то что количество атомов в элементарной ячейке и их тип у каждого минерала различны, в природных кристаллах существует всего семь типов элементарных ячеек, которые, повторяясь миллионы раз в трехмерном пространстве, образуют различные кристаллы. Каждый тип ячейки соответствует определенной сингонии, что позволяет разделить все кристаллы на семь групп.
Облик кристаллов во многом зависит от формы элементарных ячеек и их расположения в пространстве. Из кубических элементарных ячеек можно получить большие кубические кристаллы. В то же время ступенчатое расположение "кубиков" позволяет создавать более сложные формы.
Элементарные ячейки всегда выстраиваются таким образом, что грани растущего кристалла и образуемые ими углы располагаются не случайно, а в правильном порядке. Каждый тип грани имеет определенное положение относительно оси, плоскости или центра симметрии, которыми обладает тот или иной минерал. Кристаллография основана на законах симметрии, в соответствии с которыми проводится классификация кристаллов по определенным сингониям.
В природе, в научных и заводских лабораториях кристаллы растут в виде красивых, правильных многогранников с плоскими гранями и прямыми ребрами. Симметрия и правильность внешней формы природных кристаллических многогранников - отличительная особенность кристаллов, но не обязательная. В заводских и лабораторных условиях часто выращивают кристаллы не многогранные, но их свойства от этого не изменяются. Из природных и искусственно выращенных кристаллов вырезают пластинки, призмы, стержни, линзы, в которых уже нет следов внешней многогранной формы кристалла, но сохраняется удивительная симметрия структуры и свойств кристаллического вещества.
Опыт показывает, что если поместить обломок или пластинку из кристалла в раствор или расплав того же вещества и дать им возможность свободно расти, то опять вырастет кристалл в форме правильного, симметричного многоугольника. Это происходит из-за того, что скорость роста кристаллов в разных направлениях различна. Это лишь один пример анизотропии физических свойств кристалла.
Анизотропия и симметрия - характерные особенности кристаллов, обусловленные закономерностью и симметрией их внутреннего строения. В кристаллическом многограннике и в вырезанной из него пластинке одинаково закономерное, симметричное, периодическое расположение частиц. Частицы, из которых сложены кристаллы, образуют правильные, симметричные ряды, сетки, решетки.
Камни, металлы, химические продукты - органические и неорганические, в том числе такие сложные, как волокна хлопка и искусственного шелка, кости человека и животных, и, наконец, такие сложно организованные объекты, как вирусы, гемоглобин, инсулин, ДНК и многие другие, имеют закономерное внутреннее строение. Каждому кристаллическому веществу присущи определенный порядок, характерный "узор" и симметрия в расположении частиц, установившиеся расстояния между частицами, причем все эти закономерности можно определить качественно и количественно.
Все сказанное относится к идеально развитым кристаллам. Но в природе редко встречаются совершенные геометрические формы. Чаще всего кристаллы деформируются в результате неравномерного развития граней или имеют прерывистые, изогнутые линии, сохраняя при этом углы между различными гранями. Кристаллы могут расти в виде геометрически упорядоченных агрегатов или в полном беспорядке. Нередко минералы демонстрируют сочетание различных кристаллографических форм. Иногда росту кристалла мешают определенные препятствия, из-за чего внутренняя кристаллическая структура не находит идеального отражения во внешней форме, и минерал образовывает незакономерные сростки ил плотные массы. Вместе с тем, согласно закону постоянства гранных углов, в кристаллах определенного вещества и величина граней, и форма их могут изменяться, но углы между соответственными гранями остаются постоянными. Поэтому при изучении симметрии и вообще геометрии реальных кристаллов необходимо основываться на углах между гранями.
Знакомясь с данным разделом кристаллографии, не обойтись без использования геометрически правильных многогранников, представляющих идеализированные модели тех или иных кристаллов.
Учение о симметрии кристаллов основывается на геометрии. Однако своим развитием этот раздел науки обязан главным образов ученым, работавшим в области кристаллографии. Наиболее блестящие достижения связаны с именами кристаллографов, среди которых выделяются фамилии двух русских академиков - А.В.Гадолина и Е.С.Федорова.
Теперь необходимо рассказать о самой симметрии и ее элементах. В определении симметрии упоминалось о закономерном повторении равных частей фигур. Для уточнения понятия об указанной закономерности пользуются воображаемыми вспомогательными образами (точками, прямыми, плоскостями), относительно которых правильно повторяются равные части фигур. Такие образы носят название элементов симметрии.
Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы ( точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур.
Примерами упомянутых элементов являются: центр инверсии, оси и плоскости симметрии.
Центром инверсии называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Подобная точка в геометрии называется центром симметрии.
Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально - равные части, расположенные относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение.
Осью симметрии называется прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части фигуры.
Чтобы охарактеризовать ту или иную ось, необходимо выяснить величину наименьшего угла поворота, приводящего фигуру в совмещение. Такой угол носит название элементарного угла поворота оси.
Элементарный угол поворота любой оси симметрии содержится целое число раз в 360°:
где n- целое число, называющееся порядком (наименованием) оси.
Порядок оси симметрии отвечает числу, показывающему, сколько раз элементарный угол поворота содержится в 360°. Одновременно порядок оси дает число совмещений фигуры самой с собой при полном повороте вокруг данной оси.
Каждой оси соответствует свой элементарный угол поворота:
при n=1 α=360°
n=2 α=180°
n=3 α=120°
n=4 α=90°
n=5 α=72°
n=6 α=60° и т.д.
В геометрии существует бесконечный ряд осей различных целых наименований. Однако симметрия кристаллов описывается конечным набором осей. Их число ограничивается фактом существования пространственной решетки. Решетка накладывает запрет на реализацию в кристаллах осей пятого порядка и осей выше шестого порядка.
Кроме того, существуют так называемые инверсионные оси.
Инверсионной осью называется такая прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.
Подобный элемент симметрии представляет как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии, действующих не порознь, а совместно. Участвуя лишь в качестве составной части инверсионной оси, центр инверсии может не проявляться в виде самостоятельного элемента симметрии. На всех моделях, где приходится определять инверсионные оси, центра инверсии нет.
В кристаллографии совокупность элементов симметрии называют видом симметрии кристаллического многогранника.
Все группы (виды) симметрии кристаллов получил в 1820 г. немецкий профессор минералогии И.Гессель. Их оказалось 32. Однако его результаты не были замечены научной общественностью отчасти по причине неудачного изложения, отчасти потому, что статья Гесселя была опубликована в малодоступном издании.
Независимо от Гесселя вывод 32 групп (видов) симметрии кристаллов осуществил в 1867 году российский академик, профессор Артиллерийской академии, кристаллограф - любитель, генерал А.В.Гадолин. Его работа была сразу высоко оценена специалистами.
Группы симметрии кристаллов или, как их принято называть, виды симметрии, удобно разделить на системы, объединяющие группы со сходными элементами симметрии. Таких систем шесть - триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, гексагональная и кубическая.
Кристаллографы, изучающие внешнюю форму кристаллов и их строение, часто выделяют из гексагональной системы тригональные кристаллы. Таким образом, все кристаллы при этом делятся на семь сингоний (от греческого "син" - вместе, "гония" - угол): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В кристаллографии сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений. Существенно отметить, что пространственные решетки, относящиеся к кристаллам одной и той же сингонии, должны обладать элементарными ячейками с одинаковой симметрией.
Названия сингоний объясняются следующим образом: в кристаллах триклинной сингонии все три угла между ребрами параллелепипеда являются косыми [клино (греч.) - наклонять]. В кристаллах моноклинной сингонии между указанными ребрами имеется лишь один косой угол (два другие - прямые). Ромбическая сингония характеризуется тем, что относящиеся к ней простые формы нередко имеют форму ромбов.
Названия "тригональная", "тетрагональная", "гексагональная" сингонии указывают на типичную симметрию относящихся сюда кристаллов. Тригональная сингония часто называется ромбоэдрической, так как для большинства видов симметрии этой сингонии характерна простая форма, называемая ромбоэдром.
Кристаллам кубической сингонии свойственны пространственные решетки, элементарные параллелепипеды которых по форме представляют кубы.
Триклинная сингония. Сингония с самыми примитивными кристаллическими формами и очень простой симметрией. Характерной формой триклинной сингонии является косоугольная призма. Типичные представители: бирюза и родонит.
Моноклинная сингония. Характерны призмы с параллелограммом в основании. К моноклинной сингонии относятся кристаллы таких минералов, как алебастр, малахит, нефрит.
Ромбическая сингония. Характерными формами являются ромбическая призма, пирамида и бипирамида. Среди типичных минералов этой сингонии топаз, хризоберилл, оливин.
Тригональная сингония. Простыми формами являются тригональные призмы, пирамиды, бипирамиды, а также ромбоэдры и скаленоэдры. Примером минералов тригональной сингонии служат кальцит, кварц, турмалин.
Гексагональная сингония. Типичные формы: 6- или 12- гранные призмы, пирамиды и бипирамиды. В этой сингонии выделяются берилл, ванадинит ( используется как руда ванадия).
Тетрагональная сингония. Простыми формами являются тетрагональные призмы, пирамиды и бипирамиды. В этой сингонии кристаллизуются циркон и рутил.
Кубическая сингония. Простые формы: куб, октаэдр, тетраэдр. В кубической сингонии кристаллизуются флюорит, алмаз, пирит.
Сингонии, в свою очередь, группируются в три категории: низшую, среднюю, высшую.
Кристаллы низшей категории характеризуются наличием нескольких единичных направлений (единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется единичным) и отсутствием осей симметрии порядка выше 2. Сюда относятся три сингонии: триклинная, моноклинная и ромбическая.
Кристаллы средней категории обладают одним единичным направлением, совпадающим с единственной осью порядка выше 2. Сюда также принадлежат три сингонии: тригональная, тетрагональная и гексагональная.
В кристаллах высшей категории при отсутствии единичных направлений всегда имеется несколько осей порядка выше 2. Сюда относится одна кубическая сингония.
До сих пор рассматривались идеализированные модели кристаллических многогранников.
Значительно сложнее определять симметрию реальных кристаллов. Выше отмечалось неравномерное развитие симметричных граней кристаллов вследствие неодинакового притока к ним питающего раствора. В связи с этим куб реального кристалла нередко получает форму уплощенного или вытянутого параллелепипеда. Мало того, иногда наблюдается даже частичное отсутствие симметричных граней. Поэтому, исходя из внешних форм реальных кристаллов, легко ошибочно понизить их действительную симметрию.
На помощь здесь приходят точные измерения углов между гранями, по которым нетрудно восстановить истинную симметрию многогранника. Однако нередко происходят и обратные ошибки, когда кристаллам приписывается более высокая симметрия по сравнению с действительной.
Также интересно, что одни и те же вещества при разных условиях могут образовывать совершенно разные кристаллические структуры, а следовательно, и разные минералы. Ярким примером служит углерод: если у него гексагональная сингония, то образуется графит, если кубическая - алмаз.
Итак, симметрия, периодичность и закономерность структуры - основные характеристики кристаллического состояния вещества.
То, как кристалл устроен изнутри, неизбежно отражается на его внешнем облике и на его форме. Форма кристалла позволяет предполагать, в каком порядке соединились частицы в его структуре. И конечно, можно с большой уверенностью говорить, что в октаэдрическом кристалле флюорита, шестиугольной пластинке графита и пластинчатом кристалле барита частицы расположены по-разному. А вот в "кубиках" галита и галенита они размещаются очень похоже, хотя эти минералы имеют разный химический состав.
Все эти отличия и сходства помогает описать симметрия.
Однако симметрия не ограничивается выявлением закономерностей в расположении частиц в пространственных решетках и во внешней форме кристаллов. Кроме того, все физические свойства тесным образом связаны с симметрией. Она определяет, какими физическими свойствами может или не может обладать той или иной кристалл. Она диктует количество независимых величин, необходимых для полной характеристики данного физического свойства, и направления их измерений по отношению к элементам симметрии, т.е. определяет характер анизотропии физических свойств. Более того, оказалось возможным приписать симметрию математическим величинам - скалярам, векторам, описывающим физические свойства кристаллов. И, наконец, самим физическим явлениям в кристаллах можно приписать ту или иную симметрию, совпадающую с симметрией математических величин, которые описывают эти явления.
Симметрия пронизывает всю кристаллофизику и выступает как специфический метод исследования физических свойств кристаллов.
Поэтому основным методом кристаллографии является установление симметрии явлений, свойств, структуры и внешней формы кристаллов.
Список литературы
1. А.С.Сонин. "Курс макроскопической кристаллофизики", М., "Наука", 2006г.
2. М.П.Шаскольская. "Кристаллография", М., "Высшая школа", 1984 г.
3.Г.М.Попов, И.И.Шафрановский. "Кристаллография", М.,"Высшая школа",1972 г.
4. М.Аксенова, В.Володин. Энциклопедия для детей. Геология, М., "Аванта +", 2006 г.
5.А.Жаркова. "Минералы. Сокровища земли", М., "Де Агостини", 2009 г.
Пояснительная записка.
Темой моего реферата является симметрия кристаллов. Цель моего реферата - рассказ о симметрии кристаллов. Задачами моей работы являются изучение элементов симметрии, рассказ о значении симметрии в изучении свойств кристаллов, обобщение полученных данных. Предметом моего исследования являются кристаллы. Во время проведения исследования я пользовалась разнообразной литературой. Одним из главных источников была книга М.П.Шаскольской "Кристаллография", содержавшая много статей о строении кристаллов и самой симметрии. Также я пользовалась книгой Г.М.Попова, И.И.Шафрановского "Кристаллография", где нашла большое количество интересной информации. Для более подробного анализа и рассказа о симметрии кристаллов я использовала другую литературу, журналы и энциклопедии.
Тезисы.
Греческое слово "симметрия" в переводе на русский язык означает "соразмерность". В целом же, симметрию можно определить как способность к закономерному повторению фигурой своих частей.
В кристаллографии равными считаются не только такие совместимо - равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.
Все кристаллы построены из материальных частиц, геометрически правильно расположенных в пространстве. Упорядоченное распределение атомов, ионов, молекул отличает кристаллическое состояние от некристаллического, где степень упорядоченности совершенно ничтожна.
Кристаллами называются все твердые тела, в которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены закономерно в виде узлов пространственных решеток.
В современном описании минерала обязательно указываются параметры его элементарной ячейки - наименьшей группы атомов, параллельным перемещением которой можно построить всю структуру данного вещества.
Анизотропия и симметрия - характерные особенности кристаллов, обусловленные закономерностью и симметрией их внутреннего строения.
Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы ( точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур.
Центром инверсии называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Подобная точка в геометрии называется центром симметрии.
Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально - равные части, расположенные относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение.
Осью симметрии называется прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части фигуры.
Инверсионной осью называется такая прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.
Все кристаллы при этом делятся на семь сингоний (от греческого "син" - вместе, "гония" - угол): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В кристаллографии сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений.
Одни и те же вещества при разных условиях могут образовывать совершенно разные кристаллические структуры, а следовательно, и разные минералы. Ярким примером служит углерод: если у него гексагональная сингония, то образуется графит, если кубическая - алмаз.
То, как кристалл устроен изнутри, неизбежно отражается на его внешнем облике и на его форме. Форма кристалла позволяет предполагать, в каком порядке соединились частицы в его структуре.
Кроме того, все физические свойства тесным образом связаны с симметрией. Она определяет, какими физическими свойствами может или не может обладать той или иной кристалл. Она диктует количество независимых величин, необходимых для полной характеристики данного физического свойства, и направления их измерений по отношению к элементам симметрии, т.е. определяет характер анизотропии физических свойств.
Симметрия пронизывает всю кристаллофизику и выступает как специфический метод исследования физических свойств кристаллов.
Поэтому основным методом кристаллографии является установление симметрии явлений, свойств, структуры и внешней формы кристаллов.
Приложение.
