Методическая разработка по математике Многогранники для студентов 1 курса

Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курский базовый медицинский колледж»

Щигровский филиал

Методическая разработка по дисциплине

«Математика»

Раздел « Многогранники »

Подготовил: преподаватель математики Шаталова Н.В.

Щигры, 2016 г.

Содержание.

Пояснительная записка 3

1. Определение многогранника 4

2. Призма. Свойства призмы. Виды призм и их свойства 5 –10

3 Параллелепипеды и их виды. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Куб 10–13

4. Таблица нахождения площадей поверхности и объемов призмы, параллелепипеда, куба 14

5. Виды призм 14

6. Определение диагонального сечения призмы 14-16

7. Задания к теме: «Призма» 16-17

8. Тест по теме: «Призма» 17-18

9. Пирамида: ее виды и свойства. Правильная пирамида. Объем пирамиды.19-25

10. Усеченная пирамида 26 – 27

11. Тест по теме: «Пирамида» 27-28

12. Правильные многогранники. Виды правильных многогранников 30-32

13. Дополнительный материал по теме «Правильные многогранники» 31 - 32

11. Практические задания 32 – 34

12. Контрольные вопросы 35

Пояснительная записка.

Данное методическое пособие содержит опорные конспекты для студентов 1 курса СПО по теме: «Многогранники».Конспекты составлены в соответствие с тематикой и содержанием, охватывающим требования учебника «Геометрия» А. В. Погорелова.

Основные задачи методической разработки:

1) В доступной форме дать студента все основные определения, свойства, формулы, которые встречаются в данной теме.

2) Проиллюстрировать основные определения рисункамис разъяснениями сути определения.

3) Расположить материал так, чтобы поиск нужной информации был достаточно прост.

Для решения последней задачи в материале выделено, что необходимо выучить, на что особо обратить внимание, приведены примеры задач с решениями, рисунками, ответами, для самоконтроля предложены вопросы.

Методическое пособие рекомендуется для студентов не достаточно хорошо освоивших данную тему, а так же для студентов пропустивших урок по какой – либо причине.

Основные требования к знаниям и умениям по данной теме:

Студент должен уметь: изображать многогранники на рисунке, решать типовые задачи, используя теоретические знания по теме, правильно использовать термины.

Студент должен знать: многогранника, призмы и ее свойства, виды призм, определение параллелепипеда, его виды и свойства, формулы нахождения площади боковой поверхности призмы, площади полной поверхности призмы, формулу нахождения объема призмы, параллелепипеда, куба, определение правильного многогранника, виды правильных многогранников, определение пирамиды, основные элементы пирамиды (основание, боковые ребра, боковые грани, вершина, высота), определение правильной пирамиды, определение апофемы, определение усеченной пирамиды, формулы нахождения боковой поверхности правильной пирамиды, объема пирамиды.

Тема: Определение многогранника.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Плоские многоугольники называются гранями многогранника.

Ребрами многогранника называются стороны его граней.

Вершинами – вершины граней.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону (лежит в одном полупространстве) относительно плоскости каждой его грани.

[pic]

Тема: Призма. Свойства призмы. Виды призм и их свойства.

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников

[pic]

Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие вершины, - боковыми ребрами призмы.

А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания призмы.

А1А2В2В1, А2А3В3В2, …., АnА1В1Вn – боковые грани призмы,

А1В1, А2В2, …, АnВn –боковые ребра призмы.

Обрати внимание: призма обозначается последовательным названием ее оснований:

А1А2…АnВ1В2…Вn.

Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой – либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания (или расстояние между плоскостями оснований призмы)

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

[pic] ОО1 – высота призмы, [pic]

В1D – диагональ призмы.

Четырехугольная призма

Шестиугольная призма

[pic]

[pic]

[pic]

Свойства призмы.

1) Основания призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

2) Боковые ребра призмы параллельны и равны.

3) Боковые грани призмы – параллелограммы

Виды призм.

Прямая призма.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

[pic]

АВСА1В1С1 – прямая призма.

Наклонная призма.

Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.

[pic] КLMК1L1M1 – наклонная призма.

Свойства прямой призмы:

Основания прямой призмы – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые ребра прямой призмы параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований (являются высотами). Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Правильная призма.

Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

[pic]

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания и длины бокового ребра.

Sбок.=Pосн.*h.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и площади боковой поверхности

Sпол.=2Sосн.+ Sбок.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

V=Sосн.*h

где V - объем призмы,

Sосн- площадь основания призмы,

h- высота призмы.

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см², а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

[pic]

Решение.

Правильный четырехугольник - это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см.

Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна

√( 12² + 12² ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:

√( ( 12√2 )² + 14² ) = 22 см

Ответ: 22 см

Задача.

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

[pic]

Решение.

Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a² + a² = 5²

2a² = 25

a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h² + 12,5 = 4²

h² + 12,5 = 16

h² = 3,5

h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a² + 4ah, S = 25 + 4√12,5 * √3,5 , S = 25 + 4√43,75 ,

S = 25 + 4√(175/4) , S = 25 + 4√(7*25/4) , S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см² .

Ответ: 25 + 10√7

Задача (воспользуйся планом решения и реши задачу).

Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и точку М – середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45⁰, сторона основания 4 см. Найдите боковую поверхность призмы.

План решения.

1) Построй линейный угол двугранного угла между сечением АВМ и основанием призмы АВС.

2) Из прямоугольного треугольника МСН определи угол МСН

3) Треугольник АВМ – равнобедренный (докажи).

4) Найди СН.

5) Найди МС.

6) Вычисли периметр основания.

7) Вычисли боковую поверхность призмы.

Sбок. пов.= 48 см².

Тема: Параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм.

Обрати внимание: так как параллелепипед является призмой, то все свойства призмы справедливы и для параллелепипеда.

[pic]

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

АВСД и А1В1С1Д1, АА1В1В и ДД1С1С, АА1Д1Д и ВВ1С1С – противолежащие грани.

Грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными.

[pic] ТЕОРЕМА Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

ТЕОРЕМА Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке иточкой пересечения делятся пополам.

. [pic]

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.

Виды параллелепипедов. Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Обрати внимание: прямой параллелепипед является прямой призмой, основание которой – параллелограмм.

Свойства прямого параллелепипеда:

1) Основания прямого параллелепипеда – равные параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.

2) Боковые ребра прямого параллелепипеда параллельны, равны и перпендикулярны плоскостям оснований. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.

3) Противолежащие боковые прямого параллелепипеда – равные прямоугольники. Плоскости боковых граней перпендикулярны плоскостям оснований.

4) Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

. [pic] Запомни: длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

Теорема:Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

[pic]

[pic]

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда (в том числе основания) — равные прямоугольники.

2. Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда параллельных, равны и перпендикулярны плоскостям оснований.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и точкой пересечения делятся пополам.

5. Диагональные сечения прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины, высоты.

где V - объем призмы,

а-длина призмы, в – ширина призмы,

h- высота призмы.

Куб.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.

[pic]

Свойства куба:

1. Все грани куба равные квадраты.

2. Из каждой вершины куба исходят три взаимно перпендикулярных равных ребра.

З. Все двугранные углы куба — прямые.

4. Диагонали куба с ребром а равны а√3 и точкой пересечения делятся пополам.

5. Диагональное сечение куба с ребром а — прямоугольник со сторонами а и а√2.

Формула объема куба:

V=а³,

а – длина ребра.

Площадь полной поверхности куба равна

Sпол. пов.= 6а²

Таблица нахождения площадей поверхности и объемов призмы, параллелепипеда, куба. [pic]

Виды призм.

[pic] Определение диагонального сечения призмы.

Секущая плоскость многогранника — любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Сечение многогранника — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис.1). Назовите сечение параллелепипеда.

[pic] Диагональным сечением призмы называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

[pic]

- Сечением призмы плоскостью, параллельной основаниям, является многоугольником,

равным многоугольникам оснований.

- Сечением призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, является параллелограммом.

[pic] [pic]

Исследуйте сечения куба на рисунке и ответьте на следующие вопросы:

[pic]

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

- может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Задача( разбери готовое решение):

Все ребра призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Углы ВАА1и САА1 равны 60⁰ каждый. Найдите расстояние от точки С1до плоскости СА1В1, если площадь грани АВВ1А1 равна 8.

[pic]

Реши самостоятельно и сверь ответ:

1. Найдите сторону основания и высоту правильной четырехугольной призмы, если ее боковая поверхность равна 8 см², а полная поверхность равна 40 см².

Ответ: 4см; 0,5 см.

2. В прямом параллелепипеде с высотой √15 м стороны основания АВСD равны 2 м и 4 м, диагональ АС равна 5 м. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через вершины В и D.

Ответ: S = 15 м².

Тест

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна [pic] , а высота-5. Найдите объем призмы.

1)15 [pic] 2)45 3)10 [pic] 4)12 [pic] 5)18 [pic]

2. Выберите верное утверждение.

1)Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

2)Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле

V=0,25а²h [pic] -где а- сторона основания, h-высота призмы.

3)Объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

4)Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле V=a²h-где а- сторона основания,h-высота призмы.

5)Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле V=1.5а²h [pic] , где а- сторона основания,h-высота призмы.

3.Сторона основания правильной треугольной призмы равна [pic] . Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, которая проходит под углом 45° к основанию. Найдите объем призмы.

1)9 [pic] 2)9 3)4,5 [pic] 4)2,25 [pic] 5)1,125 [pic]

4. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13, а одна из диагоналей-24. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14.

1)720 [pic] 2)360 [pic] 3)180 [pic] 4)540 [pic] 5)60 [pic]

5.Найдите объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой,равной [pic] .

1)18 [pic] 2)36 3)9 [pic] 4)18 5)6 [pic]

Ответы.

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

- многоугольник называется основанием пирамиды;

- треугольники называются боковыми граням,

- ребра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются ее боковыми ребрами,

- общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды,

-объединение боковых граней пирамиды называется ее боковой поверхностью.

- перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется

высотой пирамиды.

Рассмотри рисунок:

[pic]

МАВС – треугольная пирамида, треугольник АВС – основание, точка М – вершина,

МА, МВ, МС – боковые ребра пирамиды, МАВ, МАС, МВС – боковые грани пирамиды, МН – высота.

[pic] Площадь полной поверхности пирамиды находится по формуле: Sпол.=Sосн.+Sбок.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

Sбок= S1+S2+…+Sn

Объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.

[pic]

[pic]

Решите задачи по готовым чертежам .

[pic] Задача 1. (рис. 3)

Дано: АВСD – правильная пирамида, АВ =3; AD= [pic] . Найти: а)Sосн; б) АО; в) DO г) V.

Задача 2. (рис. 4)

Дано: АВСDF– правильная пирамида, [pic] .

Задача 3. (рис. 5)

Дано :АВСDEKF – правильная пирамида, [pic]

Найти: а) Sосн ; б) V.

Задача 4. (рис. 6)

[pic]

Найти:V.

Задача (разбери и запомни): Основанием четырехугольной пирамиды является параллелограмм со сторонами 20 см и 36 см. площадь основания равна 360 см2. Н – точка пересечения диагоналей, СН – высота, равная 12 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.

[pic]

Дано: SАВСД – пирамида,

АВСД – параллелограмм,

АВ = 20 см, АД= 36 см,

SАВСД= 360 см2,

Н – середина диагоналей АС и ВД,

SН – высота, SН= 12см.

Найти: Sбок.

Решение:

SАВСД = АД*КМ

360 = 36*х, х = 10

SАВСД = РQ*СД

РQ = 18см

SQ = (92+122)1/2 = 15см.

SМ = (122+52)1/2 = 13,

SМ перпендикулярна АД,

SQ перпендикулярна СД

SАSД = SSВС = 0,5 АД*SМ = 0,5*36*13 = 234 см².

SАВS = SСДS = 0,5*СД*SQ = 0,5*20*15 =150 см²,

Sбок = 2*234 + 2*150 = 768см²

Ответ: 768см².

Задача

[pic]

[pic]

Реши задачу самостоятельно и сверь ответ:

Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислить высоту пирамиды. Ответ:12см.

Правильная пирамида.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. Все апофемы равны друг другу.

Обрати внимание на рисунок:

[pic]

МР – апофема пирамиды, или, что то же самое, высота боковой грани. (МР перпендикулярна АС).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле:

Sбок. =Росн.hбок.

Некоторые свойства правильной пирамиды:

- все боковые ребра равны между собой;

-все боковые грани – равные равнобедренные треугольники;

- все двугранные углы при основании равны;

- все плоские углы при вершине равны;

- все плоские углы при основании равны;

- апофемы боковых граней одинаковы по длине.

Реши задачу, используя план решения.

Задача: Апофема правильной четырехугольной пирамиды 6см, высота пирамиды равна 32см. Найти сторону основания пирамиды.

План решения:

1) Запиши данные решения задачи.

2) Сделай рисунок.

3) Запиши, что нужно найти, используя буквенные обозначения.

4) На рисунке сделай дополнительные построения: соедини основание высоты пирамиды и основание апофемы.

5) Рассмотри получившийся прямоугольный треугольник.

6) Вырази из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора неизвестный катет.

7) Подставь в полученную формулу цифровые значения и вычисли.

8) Найди сторону основания пирамиды.

9) Запиши ответ.

Реши задачу и сверь ответ:

Задача: В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 4см, а боковое ребро – 5см. Найди: а) сторону основания пирамиды;

б) высоту пирамиды.

Ответ: а) 6см; б) 4см.

Исторический материал.

Одним из примеров правильной пирамиды являются египетские пирамиды.

Первую пирамиду долго строили и перестраивали, всё это заняло 29 лет. Получилась шести ступенчатая пирамида. Издали она выглядит как шесть поставленных друг на друга масштаб. Ступенчатая форма пирамиды означала лестницу с шестью ступеньками, ведущую к площадке наверху (седьмой ступеньки). И это число – семь – совпадает с количеством планет, известных древним египтянам. Так же оно символизирует семь стадий, которые, по мнению древних, преодолевает душа в потустороннем мире.

[pic]

Усеченная пирамида.

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотри рисунок:

[pic]

АВСА1В1С1 – усеченная пирамида

АВС – нижнее основание усеченной пирамиды;

А1В1С1 – верхнее основание усеченной пирамиды;

ОО1 – высота усеченной пирамиды;

АСС1А1, ВСС1В1, АВВ1А1 – боковые грани усеченной пирамиды.

НН1 – высота боковой грани усеченной пирамиды.

Запомни: основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Обрати внимание на свойства усеченной пирамиды и используй при решении задач:

- боковые ребра и высота пирамиды разделяются на пропорциональные отрезки;

- в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;

- площади сечения и основания будут относиться между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

На рисунке изображена усеченная пирамида ABCDA1B1C1D1. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях (ABC)и(B1C1D1), называют основаниямиусеченной пирамиды, остальные грани называют боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани - трапеции. Усеченную пирамиду, которая получается из правильной пирамиды, также называют правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобокие трапеции, их высоты называют апофемами.

[link] и ее сечением, которое параллельно основанию.

Sбок. =(р1 + р2)l

Объем усеченной пирамиды: [pic] , где h - длина высоты усеченной пирамиды, S1 и S2 - площади оснований.

Реши типовые задачи:

1)Основание пирамиды – квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найти боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20дм, а высота 21дм.

Ответ: 10 м².

2) У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.

Ответ: 35/6см, 20/3см, 15/2см.

3) Высота пирамиды равна 16м. Площадь основания равна 512м². На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50м²?

Ответ: 11м.

Тест.

1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. Найдите объем призмы.

а) 10 см³, б) 42 см³, в) 60 см³, г) 30 см³.

2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см³. Чему равна высота?

[pic]

3. Объем пирамиды равен 56 см³, площадь основания 14 см². Чему равна высота?

а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.

4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

[pic]

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

а) 50 см³, б) 48 см³, в) 16 см³.

6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см³, высота 9 см. Найти сторону основания.

а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.

7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см³, площадь нижнего основания 36 см², верхнего 9 см². Найдите высоту пирамиды.

а) 1см, б) 15 см, в) 10см.

8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

[pic]

Таблица ответов.