Тема 1. Квадратный трехчлен
Ц е л и: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Квадратный трехчлен»; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.
М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.
Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
I. Лекция «Квадратный трехчлен».
Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач элементарной математики.
Квадратным трехчленом называется выражение
ах2 + вх + с, а 0.
Выражение х2 + рх + q называют приведенным квадратным трехчленом.
Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.
Теорема Виета. Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена
ах2 + вх + с
и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения:
[pic]
Обратная теорема Виета. Если числа х1 и х2 таковы, что
х1 + х2 = –р; х1 · х2 = q,
то х1 и х2 – корни приведенного квадратного трехчлена х2 + рх + q.
Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима лишь для приведенного квадратного уравнения.
Следствия из теоремы Виета. Пусть х1 и х2 – корни квадратного трехчлена х2 + рх + q, тогда
х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2 = р2 – 2q,
х13 + х23 = (х1 + х2)(х12 + х22 – х1х2) = –р(р2 – 3q) = –р3 + 3рq;
х14 + х24 = (х12 + х22 – 2х1х2) = (р2 – 2q)2 – 2q2 = р4 – 3р2q + 2q2.
Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений: Д = в2 – 4ас ≥ 0; х1х2 = [pic] > 0, при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие
х1 + х2 = – [pic] > 0,
и оба корня отрицательны, если
х1 + х2 = – [pic] < 0.
Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения
х1·х2 = [pic] < 0.
В квадратном трехчлене всегда можно выделить квадрат двучлена
ах2 + вх + с = а [pic] =
= [pic] .
Т. о. , ах2 + вх + с = [pic] .
Аналогично, для приведенного квадратного трехчлена х2 + рх + q имеем:
х2 + рх + q = [pic] .
Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде
ах2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2).
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то трехчлен можно представить в виде ах2 + вх + с = а(х – х1)2.
Если дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, то квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.
II. Практические упражнения.
Пример 1. х1 и х2 – корни квадратного трехчлена.
х2 + 6х + q удовлетворяют условию х2 = 2х1. Найдите q, х1, х2.
Р е ш е н и е.
Из теоремы Виета следует, что х1 + х2 = 3х1 = –6, т. е. х1 = –2 и х2 = 2х1 – 4. Тогда q = х1х2 = 8.
Пример 2. Найдите [pic] , где х1 и х2 корни квадратного трехчлена 2х2 – 3х – 9.
Р е ш е н и е.
Преобразуем выражение
[pic] = [pic] = [pic] .
По теореме Виета х1 + х2 = [pic] и х1х2 =– [pic] ,
поэтому имеем [pic]
Пример 3. Дано изображение графика функции у = ах2 + вх + с. Определите знаки коэффициентов а, в, с.
[pic]
III. Закрепление.
№ 5 (а–г); 16 (а; б) *.
Повторить изученный материал. Примечание: * Здесь и далее: см. Дидактический материал для учащихся. Домашнее задание. № 5 (д; е; ж); 9, 16 (в; г).
Ц е л и: проверить усвоение учащимися материала; добиться безошибочного определения корней квадратного трехчлена и разложения на множители; познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного трехчлена; закрепить умения учащихся применять разложение квадратного трехчлена на множители при упрощении выражения.
М е т о д о б у ч е н и я: беседа, объяснение, письменные и устные упражнения.
Ф о р м а к о н т р о л я: самостоятельная работа.
I. Фронтальный опрос.
II. Организация учащихся на выполнение самостоятельной работы.
III. Самостоятельная работа (выполняется на заранее подготовленных листах, см. приложение 1).
Проверяется на этом же уроке.
IV. Объяснение новой темы «Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена ах2 + вх + с».
Ч а с т н ы е с л у ч а и нахождения корней квадратного трехчлена
ах2 + вх + с
1) если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = [pic] .
П р и м е р: 2х2 + 3х – 5; х1 = 1, х2 = – [pic] .
Следовательно, 2х2 + 3х – 5 = 2(х – 1) (х + [pic] ) = (х – 1)(2х + 5).
2) если а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = – [pic] .
П р и м е р: 2х2 + 3х + 1, х1 = –1, х2 = – [pic] .
Следовательно, 2х2 + 3х + 1 = [pic] (х + 1)(2х + 1).
3) Если а = с = п, в = п2 + 1, т. е. пх2 + (п2 + 1)х + п,
то х1 = –п, х2 = – [pic] .
П р и м е р: 2х2 + 5х + 2, х1 = –2, х2 = – [pic] .
Следовательно, 2х2 + 5х + 2 = [pic] (х + 2)(2х + 1).
4) Если а = с = п, в = –(п2 + 1), т. е. пх2 – (п2 + 1)х + п,
то х1 = п, х2 = [pic] .
П р и м е р: 3х2 – 10х + 3, х1 = 3, х2 = [pic] .
Следовательно, 3х2 – 10х + 3 = [pic] (х – 3)(3х – 1).
5) Если в приведенном квадратном трехчлене второй коэффициент четный, то можно пользоваться следующей формулой х2 + рх + q, где р – четное.
[pic] .
П р и м е р: а) х2 – 10х + 21
[pic]
х1 = 5 + 2 = 7
х2 = 5 – 2 = 3
б) х2 – 2 [pic] + 5
[pic]
[pic] , но лучше решить используя формулу квадрата двучлена [pic] .
V. Закрепление.
Устно. Найдите корни квадратного трехчлена.
1) 3х2 + 4х + 1; 6) 5х2 + 26х + 5;
2) 5х2 – 4х –9; 7) 13х2 – 18х + 5;
3) 4х2 – 17х +4; 8) 100х2 – 97х – 197;
4) 7х2 + 2х – 5; 9) х2 + 17х – 18;
5) 5х2 – х – 6; 10) 10х2 – 101х + 10.
VI. Решение упражнений.
Пример. Упростите выражение.
[pic] .
Р е ш е н и е.
х2 – 3х + 2, его корни х1 = 1, х2 = 2.
3х2 + 7х – 10, его корни х1 = 1, х2 = – [pic] .
5 – 4х – 9х2 = –(9х2 + 4х –5), его корни х1 = –1, х2 = [pic] .
Исходное выражение перепишем в виде:
[pic]
О т в е т: 3(3х – 2).
VII. Самостоятельная работа учащихся.
Решить самостоятельно № 15 (1), 19 (а).
VIII. Подведение итогов.
Домашнее задание. № 15 (2, 3); 16 (д, е); 19 (б, в).
Тема 2. Исследование корней квадратного трехчлена
Расположение корней квадратного трехчлена.
Примеры применения свойств квадратного
трехчлена при решении задач
Ц е л и: познакомить учащихся с особенностями расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости; рассмотреть примеры на расположение корней квадратного трехчлена.
М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, письменные упражнения.
Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
I. Объяснение нового материала (лекция).
На доске заранее вывешивается таблица (Приложение 2).
В ходе объяснения учитель использует таблицу.
Лекция-объяснение.
Решение задач, для которых характерны следующие формулировки: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами р и q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и q и т. п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.
Приведем данные утверждения в удобной для решения форме.
Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x) = ax2 + вх +с (положим х1 < х2), у которого Д = в2 – 4ас > 0, а ≠ 0 и даны А и В – некоторые точки на оси ОХ.
Тогда
1. (Т а б л и ц а 1.) Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А
тогда и только тогда
[pic] или [pic]
Если в первой системе объединить условие (1) и (3), а во второй условие (4) и (6), то данные системы можно свести к одной.
[pic]
2. (Т а б л и ц а 2.) Корни лежат по разные стороны от числа А, т. е.
х1 < А < х2,
тогда и только тогда
[pic] или [pic]
Как и в предыдущем случае данное условие можно записать одним неравенством
а f(A) < 0.
3. (Т а б л и ц а 3.) Оба корня больше числа А, то есть
x1 > A и x2 > A,
тогда и только тогда, когда
[pic] или [pic]
Объединяя в первой системе условие (1) и (3), а во второй системе условие (4) и (6), получим одну систему:
[pic]
4. (Т а б л и ц а 4.) Оба корня лежат между точками А и В, т. е.
А < x1 < В и А < x2 < В,
тогда и только тогда, когда
[pic]
Как и в предыдущих случаях можно значительно облегчить задачу, записав вместо двух систем одну
[pic]
5. (Т а б л и ц а 7). Корни лежат по разные стороны от отрезка [А; В],
т. е.
х1 < А < В < х2
тогда и только тогда, когда
[pic] или [pic]
данные две системы записываем одной
[pic]
II. Закрепление.
Пример 24. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения
х2 + (4а + 5)х + 3 – 2а = 0?
Р е ш е н и е.
Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения, причем х1 < 2 < х2.
Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трехчлена и придем к следующей системе:
[pic]
Или 17 + 6а < 0, откуда а < [pic] .
О т в е т: а < [pic] .
Пример 25. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х2 + ах + 1 различны и лежат на отрезке [0; 2].
Р е ш е н и е.
Изобразим схематически условие задачи
[pic]
[pic] [pic] [pic]
Если а [pic] , то корни данного квадратного трехчлена принадлежат отрезку [0; –2].
О т в е т: [pic] .
IV. Самостоятельное решение задач (если останется время).
№ 20 (а); 21 (а).
V. Итоги занятия.
Домашнее задание. № 20 (б), 21 (б), 26, 28; проработать теоретический материал.
Ц е л ь: закрепление особенностей расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.
М е т о д о б у ч е н и я: беседа, объяснение, тренировочные упражнения.
Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
I. Проверка домашнего задания.
II. Решение примеров.
№ 52.
Уравнение ах2 + 8х + с = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а и с?
Р е ш е н и е.
З а м е ч а н и е. Если коэффициент при х2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай а = 0.
При а = 0, уравнение имеет вид
8х + с = 0, х0 = 1, с = –8.
При а ≠ 0, [pic] = 0, [pic]
а = с = –4.
О т в е т: а = с = –4.
№ 49.
В уравнении х2 + ах + 12 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
Р е ш е н и е.
Разность корней х2 – х1 = [pic] = 1, откуда а = ± 7.
О т в е т: ± 7.
Т а б л и ц а к заданиям 53, 54.
[pic]
№ 53.
При каких а корни уравнения х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеют разные знаки?
Р е ш е н и е.
Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
а·f(A) < 0 (II)
f(0) = a2 – a – 6 < 0,
0 < a < [pic] .
О т в е т: (0; [pic] ).
III. Самостоятельное решение примеров с комментированием.
1. № 54.
При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?
Р е ш е н и е.
Нас интересуют параболы I и III (См. рис.). Они характеризуются тем, что
[pic] или [pic]
откуда а (–6; –2) (3; +∞).
О т в е т: (–6; –2) (3; +∞).
2. При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных отрицательных корня?
Р е ш е н и е.
Парабола I на рисунке (см. рис.).
Получаем систему уравнений
[pic] и [pic]
Откуда а (–6; –2).
О т в е т: (–6; –2).
IV. Итоги занятия.
Домашнее задание. № 35, 38, 44, 50.
Семинар
Ц е л ь: способствовать выработке навыка решения задач, основанных на исследовании корней квадратного трехчлена.
Х о д з а н я т и я
I. Проверка домашнего задания.
Задания, вызвавшие затруднения, решить у доски.
II. Повторение изученного материала.
III. Выполнение упражнений.
№ 36. О т в е т: (–∞;∞).
№ 39. О т в е т: 2.
№ 42. О т в е т: в; с > 0.
№ 51. О т в е т: [pic]
№ 56. О т в е т: [pic] .
Можно предложить учащимся решить тесты (№ 6 и 7), которые имеются в приложении 6.
Домашнее задание. № 37, 40, 43, 55.
Ц е л и: проверить усвоение учащимися изученного материала; продолжить решение задач по изучаемой теме.
Х о д з а н я т и я
I. Графический диктант.
[pic]
а) х2 – 6х;
б) х2 – 10х + 25;
в) х2 – 6х – 16;
г) 3х2 – 2х – 1;
д) х2 – 2х – 24;
е) х2 – 2х = (х – 2)2 + 4;
ж) ах2 – 4х + 5 = 0.
О т в е т ь т е н а в о п р о с ы:
[pic]
Учитель имеет возможность быстро проверить правильность решения, разобрать неверно решенные задания.
II. Проверка домашнего задания.
III. Решение упражнений.
№ 45, 47, 57.
IV. Подведение итогов.
Домашнее задание. № 46, 58, 11, 13, 18 (а; в).
Проверочная работа
Ц е л ь: проверить степень усвоения учащимися изученного материала.
В а р и а н т I
1. Упростите выражение
[pic] .
2. Не решая квадратного уравнения 3х2 + х – 13 = 0,
найдите [pic]
а) [pic] ; б) х12 + х22; в) [pic] .
3. По графику функции у = ах2 + вх + с найдите знаки коэффициентов а; в; с.
4. При каких значениях а уравнение ах2 + 6х + 2а + 7 = 0 имеет один корень.
5. При каких значениях а уравнение х2 – 2ах + а2 + 2а – 3 = 0:
а) не имеет корней;
б) имеет положительные корни.
О т в е т ы: 1) 9х + 5;
2) а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;
3) а 0; в 0; с 0;
4) 1; –4,5; [pic] ;
5) а) а [pic] ; б) (1; [pic] .
В а р и а н т II
1. Упростите выражение
[pic] . [pic]
2. Не решая квадратного уравнения 3х2 – х – 11 = 0, найдите
а) [pic] ; б) х12 + х22; в) [pic] .
3. По графику функции у = ах2 + вх + с найдите знаки коэффициентов а; в; с.
4. При каких значениях а уравнение ах2 + 8х + а + 15 = 0 имеет один корень.
5. При каких значениях а уравнение х2 – 2ах + а2 + 2а – 3 = 0:
а) имеет корни разных знаков;
б) имеет два разных отрицательных корня.
О т в е т ы: 1) х2;
2) а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;
3) а 0; в 0; с = 0;
4) [pic] ; 1; –16;
5) а) (–3; 1); б) а –3.
Домашнее задание. Учащиеся обмениваются карточками с заданиями. Сильным учащимся можно предложить попробовать решить задания № 64, 65.
Решение разнообразных заданий.
Заключительное занятие
Ц е л ь: закрепить навык решения различных задач с применением утверждений о расположении корней трехчлена.
М е т о д ы з а н я т и й: беседа, решение упражнений.
Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.
Х о д з а н я т и я
I. Анализ проверочной работы.
II. Проверка домашнего задания.
III. Решение упражнений.
№ 60.
При каких значениях а уравнение х2 + 2(а – 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?
Р е ш е н и е.
Если один из корней положителен, то другой может быть (1) отрицательным, (2) равным нулю и (3) положительным (при этом может совпасть, а может не совпасть с первым).
Рассмотрим каждый случай в отдельности:
[pic]
Объединяя все три случая, получаем а (–∞; –1].
О т в е т: (–∞; –1].
№ 61.
Среди всех квадратных трехчленов у = х2 + рх + q, которые принимают только неотрицательные значения, найдите тот, в котором сумма р + q наименьшая.
Р е ш е н и е.
Если для всех действительных х квадратный трехчлен у = х2 + рх + q принимает только неотрицательные значения, то
[pic] , т. е. [pic] .
Принимая во внимание это неравенство, получаем
р + q ≥ [pic] = [pic] ,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда [pic] , а [pic] .
Тогда р = –2; q = 1.
О т в е т: р = –2; q = 1.
№ 64.
При каких значениях а уравнение х2 + 2(а – 1)х + а – 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?
Р е ш е н и е.
Требуемые значения параметра являются решениями системы
[pic] [pic]
Откуда а [pic] .
№ 71.
При каких значениях а уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 имеет четыре разных корня?
Р е ш е н и е.
После замены t = x2 получается уравнение t2 + (1 – 2a)t + a2 –1 = 0.
Первоначальное уравнение имеет четыре различных решения только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, т. е.
[pic]
Решив систему, получим а [pic] .
О т в е т: [pic] .
IV. Подведение итогов.
Дидактический материал для учащихся
Упражнения
1. Заполните следующую таблицу:
(Приняты следующие названия: а – старший коэффициент, с – свободный член.)
а) х2 – 2х б) 5х2 – 7х – 1
в) х2
г) х2 + рх + q
д) 2x2 – mx + m –2
е) (х – 4)2
ж) (х – 3)(х – 4) – 2
з) (х + а)2
и) х2 – р2
2. Выделите квадрат двучлена в следующих трехчленах:
а) х2 + 2х; д) х2 + рх + q;
б) 2х2 + 4х; е) ах2 + вх + с;
в) х2 – 5х; ж) 4х2 – тх + т – 2.
г) х2 + 2рх;
3. Найдите дискриминанты квадратных трехчленов:
а) х2 + 1; е) х2 + рх + q;
б) х2; ж) х2 + рх;
в) 2х2 – 6х – 20; з) ах2 + вх;
г) 13х2 + 1942х – 1955; и) ах2 + с;
д) 4х2 – 12тх + 9т2; к) ах2.
4. Разложите квадратный трехчлен на множители:
а) х2 – 2х – 3; г) 7х2 – 5х – 12;
б) 4х2 – 7х + 13; д) х2 + (3 + k)х – 3;
в) 4х2 – 12тх – 16т2; е) а2х2 – 2ах – 8.
5. Пусть х1 и х2 – корни квадратного трехчлена х2 + рх + q. Выразите данные выражения через коэффициенты р и q.
а) х12 + х22; д) [pic] ;
б) х13 + х23; е) [pic] ;
в) х14 + х22; ж) |х1 – х2|.
г) [pic] ;
6. Дан квадратный трехчлен 6х2 – 5х + 1. Найдите:
а) [pic] ; б) х12 + х22; в) [pic] .
7. Дан квадратный трехчлен 3х2 + 8х – 1. Найдите:
а) х12 + х22; б) х1 х22 + х2 х13; в) [pic] ; г) х14 + х24.
8. Дан квадратный трехчлен 2х2 – 5х – 4. Найдите:
а) [pic] ; б) х1 х24 + х2 х14; в) [pic] ; г) х15 + х25.
9. Пусть х1 и х2 – корни квадратного трехчлена 4х2 – 6х – 1. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
а) х1 х22 и х2 х12; б) [pic] ; в) [pic] .
10. Разложите на множители квадратный трехчлен, предварительно решив соответствующее квадратное уравнение:
а) х2 – 6х + 7; к) –х2 + 6х + 27;
б) х2 – 15х + 26; л) 4х2 + 28х + 49;
в) х2 + 7х – 44; м) 9х2 – 48х – 64;
г) х2 + 25х + 100; н) х2 + 3х – 108;
д) х2 – 17х + 72; о) х2 + 5,9х + 8,5;
е) х2 – 17х + 72; п) 30х2 + 37х + 49;
ж) 2х2 + 3х – 6,48; р) 6х2 – 7х + 1;
з) 2у2 – у – 6; с) 4х2 – 12тх – 16т2.
и) 16х2 – 56х + 45;
11. Разложите на множители трехчлен:
а) у2 – ау – (ав + в2);
б) z2 – (2ав + с) + 2авс;
в) х2 + ах – (а [pic] + в);
г) (1 – а2)х2 – 4ах – (1 – а2).
12. Разложите на множители квадратный трехчлен относительно х и у:
а) 5х2 – 7ху + 2у2;
б) 6х2 + 17ху + 11у2;
в) х2 – 2ху + 3у2;
г) х2 – 3ху – 40у2.
13. Сократите дробь:
а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .
14. Пусть х1 – один из корней квадратного трехчлена ах2 + вх + с. Докажите, что ах2 + вх + с = а(х + х1 + [pic] )(х – х1).
15. Сократите дроби
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ;
4) [pic] .
16. Дано изображение графика функции у = ах2 + вх + с. Определите знаки коэффициентов а; в; с.
[pic]
а) б) в)
[pic] [pic] [pic]
г) д) е)
17. При каком соотношении между коэффициентами а, в, с квадратный трехчлен ах2 + вх + с является полным квадратом?
18. Не вычисляя корней х1 и х2 уравнения 3х2 – 8х + 5 = 0, найдите:
а) х12 + х22; в) [pic]
б) х1х23 + х2х13; г) х14 + х24.
19. Пусть х1 и х2 – корни квадратного трехчлена 2х2 – 7х – 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) [pic] ; б) х1 х22 и х2 х12; в) [pic] .
20. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение:
а) 3х2 – 2х + а = 0;
б) (2а – 1)х2 + 2х – 1 = 0;
в) ах2 – 3х – 1 = 0;
г) ах2 – (2а – 1)х + а + 2 = 0
имеет два действительных и различных корня.
21. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней:
а) х2 – 4х + а = 0;
б) 5х2 – 6ах + 1 = 0;
в) (1 – а)х2 + 4х – 3 = 0;
г) (3а – 5)х2 – (6а – 2)х + 3а – 2 = 0.
22. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение имеет действительные корни.
а) х2 – 4х + а = 0; в) (1 – 3а)х2 – 4х – 3 = 0;
б) ах2 – 9х – 2 = 0; г) (а – 1)х2 – (2а + 3)х + а + 5 = 0.
23. Найти наименьшее значение квадратного трехчлена:
а) f(x) = x2 – 2x – 3;
б) f(x) = (2x + 1)(3x + 2).
24. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 +(4а + 5)х + 3 – 2а = 0?
25. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х2 + ах + 1 различны и лежат на отрезке 0; 2.
26. При каких значениях а уравнение х2 –(2а – 1)х + 1 – а = 0 имеет два различных действительных положительных корня?
27. При каких значениях а уравнение х2 –(2а + 4)х – 5 – 2а = 0 имеет два различных действительных отрицательных корня?
28. При каких значениях а уравнение х2 –(2а – 6)х + 3а + 9 = 0 имеет корни разных знаков?
29. При каких значениях а уравнение х2 –(а – 2)х – 2 – 3а = 0 имеет корни х1 и х2 такие, что х1 0; х2 0; |x1| х2?
30. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения
х2 +(а + 1)х – 2а(а – 1) = 0 меньше, чем 1.
31. Найдите все значения а, при которых один из корней уравнения
х2 –2ах + а2 – 1 = 0 меньше 1, а другой – больше 1.
32. Найдите все значения а, при которых корни уравнения
х2 – 4х – (а – 1)(а – 5) = 0 больше, чем 1.
33. Найдите все значения а, при которых корни уравнения
х2 –2 (а – 1)х + а + 1 = 0 больше, чем 1.
34. При каких значениях а один из корней уравнения
х2 –2 (а + 1)х + 4а + 1 = 0 меньше 1 , а другой – больше 1?
35. При каких значениях а уравнение ах2 – 4х + 5 = 0 не имеет корней?
О т в е т: а 0,8.
36. При каких значениях а уравнение х2 – 2ах – 1 = 0 имеет два различных корня?
О т в е т: (–∞; +∞).
37. При каких значениях а уравнение 2х2 + (3а + 1)х +а2 + а + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
О т в е т: (–∞; –3] [5; +∞).
38. Уравнение ах2 + bх + 5 = 0 имеет корень, равный 1. Чему равны а и b?
О т в е т: 0; –5; 5; –10.
39. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения 5х2 – 7х + а = 0 относятся как 2 к 5?
О т в е т: 2.
40. В уравнении ах2 + 8х + 3 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась 1.
О т в е т: 4; –16.
41. При каких а сумма квадратов корней уравнения
х2 – 2ах + 2 (а + 1) = 0 равна 20?
О т в е т: –2; 3.
42. При каких в и с уравнение с + bх – 2х2 = 0 имеет один положительный и один отрицательный корень?
О т в е т: с 0, b R.
43. Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения х2 – (а + 1)х + 2 = 0 больше а, другой – меньше а?
О т в е т: а 0.
44. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
х2 + (а + 1)х + 2 = 0 имеет два разных корня одного знака.
О т в е т: а 2.
45. В уравнении х2 – 4х + а = 0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите а.
46. В уравнении х2 – 2х + а = 0 квадрат разности корней равен 16. Найдите а.
47. При каких а сумма корней уравнения х2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней?
48. При каких значениях р и q корни уравнения х2 + рх + q = 0 равны р и q?
49. В уравнении х2 + ах + 12 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
О т в е т: 7.
50. При каких а сумма квадратов корней уравнения 2х2 + 4х + а = 0 равна 6?
О т в е т: –2.
51. При всех а решить уравнение ах2 – 2х + 4 = 0.
О т в е т: [pic] .
52. Уравнение ах2 + 8х + с = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а и с?
53. При каких а корни уравнения х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеют разные знаки?
54. При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?
55. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а – 3)х2 – 2ах + 6а = 0 положительны?
О т в е т: 3; [pic] .
56. При каких а все получающиеся корни уравнения
(1 + а)х2 – 3ах + 4а = 0 больше 1?
О т в е т: [pic] .
57. Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения х2 + х + а = 0 будут больше, чем а.
О т в е т: а –2.
58. При каких значениях а оба корня уравнения 4х2 – 2х + а = 0 заключены между –1 и 1?
О т в е т: –2; [pic] ).
59. При каких значениях а уравнение х2 + 2(а – 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень.
О т в е т: (–∞; –1].
60. При каких значениях а уравнение х2 + 2(а – 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один отрицательный корень?
61. Среди всех квадратных трехчленов у = х2 + рх + q, которые принимают только неотрицательные значения, найдите тот, в котором сумма р + q наименьшая.
62. Даны два уравнения ах2 + х + 1 = 0 и х2 + ах + 1 = 0. Найдите все а, при которых эти уравнения имеют по крайней мере один общий корень.
63. Коэффициенты двух квадратных трехчленов а1х2 + 2в1х + с1 и а2х2 + 2в2х + с2 являются действительными числами, которые удовлетворяют условию а1а2 – 2в1в2 + с1с2 = 0.
Известно, что один из этих квадратных трехчленов не имеет действительных корней. Докажите, что тогда корнями другого квадратного трехчлена являются различные действительные числа.
64. При каких значениях а уравнение х2 + 2(а – 1)х + а – 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящие по модулю 5?
65. При каких значениях а один из корней уравнения х2 + 2(а – 1)х + а – 5 = 0 по модулю больше 1, а другой – меньше 1?
О т в е т: (–∞; –2) (2; +∞).
66. При каких значениях а точка 2 не лежит между двумя различными корнями уравнения х2 – 2(а – 1)х + 2а + 5 = 0
О т в е т: а [pic] .
67. При каких значениях а один из корней уравнения х2 – 4ах + 1 = 0 положителен, а другой – не меньше а?
О т в е т: а [pic] .
68. При каких значениях а уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 имеет четыре различных решения?
О т в е т: (1; [pic] ).
69. При каких значениях а уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 имеет три разных решения?
О т в е т: а = –1.
70. При каких значениях а уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 имеет два разных решения?
О т в е т: [pic] .
71. При каких значениях а уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 имеет одно решение?
О т в е т: а = –1.
72. При каких значениях а уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 1 = 0 не имеет решений?
О т в е т: (–∞; –1) ( [pic] ; +∞).
Приложение 1
Задания для самостоятельной работы
Учащимся предлагается следующее задание. Это упражнение занимает немного времени, но польза от него огромная.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Приложение 2
Исследование корней квадратного трехчлена
х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + вх + с; Д 0.
Пусть f(x) = ах2 + вх + с.
[pic]
Окончание табл.
[pic]
Приложение 3
График квадратичной функции
Функция, заданная формулой у = ах2 + вх + с, где х, у – переменные, а а, в и с – заданные числа, причем а 0, называется квадратичной.
Областью определения квадратичной функции является множество R.
Графиком функции у = ах2 + вх + с является парабола. Если а 0, то ветви параболы направлены вверх, если а 0, то ветви параболы направлены вниз. Осью симметрии параболы служит прямая х = [pic] . Ось симметрии разделяет параболу на две бесконечные симметричные друг другу части.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
х0 = [pic] ; у0 = у(х0) = – [pic] .
Квадратичную функцию у = ах2 + вх + с всегда можно привести к виду у = а(х + k)2 + р путем выделения полного квадрата следующим образом: сгруппировать два первых слагаемых и вынести коэффициент а за скобки:
[pic] .
[pic] =
= [pic] =
= [pic] =
= [pic] = [pic] .
Здесь х0 = k = [pic] , у0 = р = [pic] .
Точка с координатами (–k; р) есть вершина параболы.
График квадратичной функции у = а(х + k)2 + р получается из графика у = ах2 с помощью параллельного переноса вектором т (k; p).
Перечислим основные свойства квадратичной функции и ее графика.
К в а д р а т и ч н а я ф у н к ц и я п р и а 0:
– убывает на (–∞; х0), график – ниспадающая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вверх;
– возрастает на (х0; +∞), график – восходящая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вверх;
– наименьшее значение, равное у0, функция принимает при х = х0 в вершине параболы;
– вся парабола, кроме вершины, расположена выше прямой у = у0, параллельной оси ОХ.
К в а д р а т и ч н а я ф у н к ц и я п р и а < 0:
– возрастает (–∞; х0), график – восходящая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вниз;
– убывает на (х0; +∞), график – ниспадающая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вниз;
– наибольшее значение, равное у0, функция принимает при х = х0 в вершине параболы;
– вся парабола, кроме вершины, расположена ниже прямой у = у0, параллельной оси ОХ.
По коэффициентам параболы устанавливаем ее основные геометрические характеристики:
– ветви обращены вверх при а > 0;
– вниз при а < 0;
– ось симметрии – прямая х = [pic] , параллельная оси ОУ;
– вершина – точка с координатами х0 = [pic] , у0 = – [pic] ;
– точка пересечения с осью координат – точка оси ОУ с ординатой, равной свободному члену с, т. к. у(0) = с.
По этим сведениям и по нескольким отмеченным точкам с координатами (х; у(х)) изображают примерный вид параболы.
Вид параболы сообщает некоторые сведения о коэффициентах квадратного трехчлена.
Пример 1. По виду графика функции у = ах2 + вх + с определить знаки коэффициентов а; в; с.
Р е ш е н и е. Ветви параболы обращены вниз, значит
а < 0. х0 > 0; х = [pic] >0, откуда [pic] < 0 и т. к.
а < 0, то в > 0. Парабола пересекает отрицательную полуось ОУ, значит, с < 0.
О т в е т: а < 0, в > 0, с < 0.
[pic]
Положение параболы относительно оси ОХ зависит от знака дискриминанта Д = в2 – 4ас и знака а.
[pic]
Приложение 4
Математический диктант
Вариант I [Вариант II]
1) Квадратный трехчлен –2х2 + вх + с [–5х2 + вх + с] имеет корни [pic] и –31 [–63; [pic] ]. Найти в и с.
2) Трехчлен разложили на множители 4(х + 8)(х – 19) [3(х – 5)·(х + 9)]. Каковы его корни х1 и х2?
3) Корни трехчлена –8; 0,5 [–0,3; 7], а первый коэффициент –3 [–5]. Записать этот трехчлен в виде, разложенном на множители.
О т в е т ы: Вариант I.
1) в = –61; с = 31;
2) х1 = –8; х2 = 19;
3) –3(х + 8)(х – 0,5).
Вариант II
1) в = –314 [pic] ; с = 21;
2) х1 = 5; х2 = 19;
3) –5(х + 0,3)(х – 7).
Приложение 5
Нахождение наибольшего (наименьшего)
значения трехчлена
1) При каком значении х квадратный трехчлен х2 + 6х + 7 принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?
Р е ш е н и е.
Обозначим у = х2 + 6х + 7.
Выделим квадрат двучлена у = х2 + 6х + 7 = (х + 3)2 – 2.
Так как для любых х имеем (х + 3)2 ≥ 0, то наименьшее значение выражения (х + 3)2 – 2 принимает при х + 3 = 0 х = –3, при х = –3, у = –2.
О т в е т: –2.
2) При каком значении х квадратный трехчлен [pic] принимает наибольшее значение? Чему равно это значение?
Р е ш е н и е.
Обозначим это выражение через у. Выделим квадрат двучлена
у = [pic] = [pic] , для всех х имеем:
[pic] , [pic] , то выражение
у = [pic] может принимать сколь угодно малые значения, наибольшее значение у принимает при [pic] , т. е. при х = [pic] . При х = [pic] , у = [pic] .
О т в е т: [pic] .
Р е ш и т ь с а м о с т о я т е л ь н о:
1) Найти наименьшее значение выражения 2х2 – 5х + 4.
2) Найти наибольшее значение выражения –2х2 + 8х – 7.
Приложение 6
Задания для подготовки к тестированию
по математике
Исследование квадратного трехчлена и решение квадратных уравнений.
1) (1; +∞); 2) (–3; 1); 3) (–∞; –3)(1; +∞);
4) (0; +∞); 5) (–3; 0)
2
Если точка (0; 8) принадлежит параболе с вершиной в точке (1; 1), то уравнение параболы имеет вид
1) у = –7х2 + 8;
2) у = –8х2 + 8;
3) у = 7х2 – 14х + 8;
4) у = –3х2 – 4х + 8;
5) у = –9х2 + 2х + 8
3
Квадратный трехчлен у = х2 – ах + а + 3 можно представить в виде квадрата двучлена, если а удовлетворяет условию
1) а {–3; 1};
2) а {6; –2};
3) а {3; 1};
4) а {–2; 5};
5) а {–6; 2}
4
Парабола у = ах2 + 3х + а – 4 имеет с осью абсцисс две общие точки, если а удовлетворяет условию
1) а (4,5; ∞);
2) а (–0,5; ∞);
3) а (–∞; 4,5);
4) а (–0,5; 4,5);
5) а (–0,5; 0) (0; 4,5)
5
Если х –4; 4, то множеством значений функции у = |х2 – 9| является промежуток
1) 0; 7; 2) 7; 9;
3) (7; 9; 4) 0; 9;
5) (0; 9)
6
Корни квадратного трехчлена
у = (а – 1)х2 + ах + 1 отрицательны, если а принадлежит промежутку
1) (1; 2) (2; +∞);
2) (1; +∞); 3) 1; 2;
4) 2; +∞;
5) 1; 2) (2; +∞)
7
График квадратного трехчлена у = ах2 + + (а – 3)х + а имеет общие точки с полуосью ОХ, если а принадлежит промежутку
1) (–3; 3]; 2) (–∞; 3];
3) (0; 1]; 4) (–3; 0);
5) (1; 3)
8
Квадратный трехчлен сх2 – 2сх + 1 положителен при всех значениях х R, если
1) с < 0; 2) с < 1;
3) с ≠ 0; 4) с (0; 1);
5) с [0; 1]
Приложение 7
Задания для подготовки к тестированию
по математике
Приложения теоремы Виета.
1) х2 – 4х – 143 = 0; 2) х2 – 4х – 151 = 0;
3) х2 + 4х – 143 = 0;
4) х2 + 4х – 151 = 0;
5) х2 – 4х – 147 = 0
2
Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен [pic] , имеет вид
1) х2 – 10х + 43 = 0;
2) х2 + 10х + 7 = 0;
3) х2 + 10х – 43 = 0;
4) х2 – 10х – 7 = 0;
5) х2 – 10х + 7 = 0
3
Сумма кубов корней уравнения х2 + 3х – 2 = 0 равна
1) 33; 2) 62; 3) –62;
4) –45; 5) 14
4
Если х1 и х2 корни уравнения х2 – 5х – 17 = 0, то значение выражения х1–2 + х22 равно
1) [pic] ; 2) [pic] ;
3) – [pic] ; 4) [pic] ;
5) – [pic]
5
Если х1 и х2 корни уравнения 2х2 – 4х – – 7 = 0, то значение выражения
[pic] равно
1) 37; 2) 14; 3) –6,5;
4) 23; 5) –14,5
6
Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2х2 –(а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению при а, равном
1) [pic] ; 2) 2; 3) – [pic] ;
4) 0; 5) –2
7
Корни уравнения х2 – (а – 3)х + (а – 4) = 0 имеют разные знаки и положительный корень больше абсолютной величины отрицательного, если а удовлетворяет условию
1) 3 а 4; 2) а 4;
3) а 3; 4) а 5;
5) а 0
Продолжение табл.
1) (0; ∞); 2) (0; [pic] ); 3) (0; [pic] ); 4) (0; [pic] );
5) ( [pic] ;∞)
9
Корни уравнения (2а + 1)х2 + (а +2)х + [pic] = 0 отрицательны, если а принадлежит промежутку
1) [pic] ;
2) [pic] ;
3) [pic] ;
4) [pic] ;
5) [pic]
10
Отношение корней уравнения
ах2 – (а + 3)х + 3 = 0 равно 3, если а принадлежит множеству
1) {1; 9}; 2) {1; 3};
3) { [pic] ; 1}; 4) {–1; 2};
5) {–9; 1}
11
Корни уравнения х2 – 6х + q= 0 удовлетворяют условию 7х1 + 3х2 = –10, если q равно
1) –91; 2) 91; 3) –30;
4) 30; 5) 18
12
Если х1 и х2 корни уравнения 24х2 + 8х – 15 = 0, то значение выражения х12 + х22 + х1х2 равно
1) [pic] ; 2) [pic] ;
3) 49; 4) – 49; 5) [pic]
13
В уравнении х2 + ах + а = –2 отношение корней равно 2, если а принимает значения
1) [pic] ; 2) {12; –3};
3) [pic] ; 4) {–2; 1};
5) {4; 3}
14
Сумма кубов корней уравнения
15х2 + 10х – 3 = 0 равна
1) [pic] ; 2) [pic] ;
3) [pic] ; 4) [pic] ;
5) [pic]
Приложение 8
Франсуа Виет
(Биографическая справка)
Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году (1540–1603) в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глубоко знать математику. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астрономии так и не написал. Свою знаменитую теорему, которая известна под названием терема Виета, он доказал в 1591 году. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.
Во время войны Франции с Испанией Виет оказал большую услугу своей родине – он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шифра волшебству чародея.
В работе «Введение в аналитическое искусство» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобретенных символов. В названном трактате Виет использовал алгебраические выкладки при рассмотрении вопросов геометрии.
Виет ввел в алгебру общую символику. Числовые коэффициенты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый термин – коэффициент, позаимствовав из латинского языка слово coefficiens – «содействующий». Знаки «+» и «–» он употреблял в современном значении, неизвестные обозначал буквами латинского алфавита.
