Тема урока: Текстовые задачи на работу
Цели:
Обучающая: научить применять полученные на уроках знания по решению текстовых задач из ОГЭ разного вида и разного уровня сложности; создать условия для формирования у обучающихся навыков решения задач на работу и прочно укрепить их; познакомить обучающихся со способами решения задач по данной теме.
Развивающая: развивать логическое мышление, познавательный интерес к математике как науке, развивать память; формировать математическую речь, вырабатывать умения сравнивать и анализировать.
Воспитательная: развивать аккуратность, трудолюбие, воспитывать инициативность, добросовестное отношение к учёбе.
Ход урока
Этапы урока:
1 Организационный момент.
2. Введение нового материала.
3. Решение задач.
4. Домашнее задание и итоги урока.
Деятельность учителя:
-Сегодня мы с Вами познакомимся с тем, как решать задачи на работу. Перед тем как мы приступим к решению задач, запишем основные правила и формулы, которые мы должны знать при решении различных задач на работу.
Деятельность учащихся: Слушают учителя, отвечают на вопросы и записывают всё в тетради.
Деятельность учителя:
-Основными компонентами этого типа задач являются:
Работа (1);
Время (t);
Производительность труда (P).
-Содержание задач данного типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют некоторое количество человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объём всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объём работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением [pic] .
-Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа:
Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим, у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.
Тогда [pic] – производительность труда первого рабочего,
[pic] – производительность труда второго рабочего.
[pic] – совместная производительность труда.
[pic] – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.
-Решим теперь следующие задачи. Запишем условие первой задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-В издательстве двум сотрудникам Оле и Кате поручили отредактировать рукопись объемом 360 страниц. Оля, отдав Кате 40 страниц рукописи, взяла остальные себе. Катя выполнила свою работу за время, в 4 раз меньшее, чем Оля свою. Найдите, сколько страниц рукописи Оля должна была сразу отдать Кате (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
1 способ решения
-Если Катя выполнила свою работу за x дней, то она редактировала по [pic] страниц в день, а Оля – по [pic] страниц в день. Поэтому Оле нужно было разделить 360 страниц в отношении [pic] и отдать из них одну часть, то есть [pic] страниц Кате.
2 способ решения
-Катя редактировала 40 страниц рукописи за время в четыре раза меньше, чем Оля 320 страниц рукописи. Если бы они работали с одной скоростью, то за время в четыре раза меньше, она должна была бы отредактировать 80 страниц. Значит, она работает со скоростью [pic] скорости первого работника, и для того чтобы они закончили одновременно, работа должны быть разделена между ними в отношении 1:2. Таким образом, Оля должна отдать Кате [pic] страниц.
-Запишем ответ.
Ответ: 120.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Запишем условие второй задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-Бассейн наполняют водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 14 ч, включили вторую трубу. Вместе они проработали 4 ч и заполнили бассейн. Определите, за сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно, если первой требуется для этого на 8 ч больше, чем второй?
-Решим задачу алгебраическим способом.
-Примем объём бассейна за 1. Пусть за x ч вторая труба может наполнить бассейн, тогда за (x + 8)ч – первая труба. Первая труба за 1 ч наполняет [pic] часть бассейна, а вторая - [pic] часть. Первая труба была открыта 18 ч и наполнила за это время [pic] часть бассейна, а вторая за 4 ч наполнила [pic] часть бассейна.
-Составим уравнение:
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
-Решая квадратное уравнение [pic] , мы получаем два корня x1 = 16, x2 = -2.
-x2 = -2 не удовлетворяет условию задачи. Значит, вторая труба наполнит бассейн за 16 ч, а первая – за 16 + 8 = 24 (ч).
- Запишем ответ.
Ответ: 24 часов и 16 часов.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Запишем условие третьей задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-На столе одновременно зажжены две свечи разной толщины, но одинаковой длины. Первая сгорает за 8 часов, а вторая – за 6 часов. Определите, через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй?
-Решим задачу алгебраическим способом. Пусть t ч – количество минут одновременного горения свечек.
-По условию задачи мы знаем, что две свечи имеют длины, причём их длина не выражена в единицах измерения, значит, примем длину свечей за 1 единицу. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 8 часов, а другая – за 6 часов. Следовательно, [pic] - скорость сгорания первой свечи; [pic] - скорость сгорания второй свечи.
-Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.
[pic] - длина огарка первой свечи; [pic] - длина огарка второй свечи.
-По условию задачи от первой свечи остался огарок в 7 раз длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение [pic] .
-Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения: [pic] .
-Мы ответили на главный вопрос задачи: через 5,76 часа огарок первой свечи будет в 7 раз длиннее огарка второй свечи. Выразим результат времени в минутах, для этого 5,76 умножим на 60 минут. Получаем 345 минут 6 секунд.
-Запишем ответ.
Ответ: 345 минут 6 секунд.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Запишем условие следующей задачи.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-Загружаясь в каждом рейсе полностью, три машины перевозят пшено. За один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, а 1-я и 3-я вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Определите, какое количество пшена перевозит за один рейс 2-я машина, если известно, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена.
-Решим задачу алгебраическим способом. Введём новые переменные. Пусть x тонн – грузоподъёмность 2-ой машины за один рейс. По условию задачи известно, что за один рейс 1-я и 2-я машины перевозят вместе 9 тонн пшена, значит, (9–х) тонн – грузоподъёмность 1-ой машины за один рейс; у тонн – грузоподъёмность 3-й машины. По условию задачи 1-я и 3-я машины вместе за два рейса перевозят столько же пшена, сколько 2-я за 6 рейсов. Тогда можем составить уравнение: 2(9 – х + у) = 6х.
-Также по условию задачи, мы знаем, что некоторое количество пшена 2-я и 3-я машины перевозят вместе, совершая в 2 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы 3-й машине для перевозки того же количества пшена. Тогда можем составить уравнение: x + у = 2у.
-Так как главным вопросом задачи является значение переменной x, то из второго уравнения выразим у через х. Имеем у = х. Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо у. Получаем уравнение с одной переменной 2(9 – х + x) = 6х.
-Раскрыв скобки, решим уравнение 18 = 6х. Получим его корень х = 3. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны пшена перевозит за один рейс 2-ая машина.
-Запишем ответ.
Ответ: 3 тонны.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Итак, следующая задача.
Деятельность учащихся: Записывают условие и решение задачи.
Деятельность учителя:
-Две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем первая. Определите, за сколько минут вторая труба наполняет этот бассейн?
-Решим данную задачу алгебраическим способом. Пусть t (мин.)-время, за которое вторая труба заполняет бассейн, тогда (t – 12) (мин) - понадобится первой трубе на наполнение бассейна. Так как в условии задачи не даны единицы измерения объёма бассейна, то примем этот объём за 1 единицу.
-Мы можем выразить производительность работы первой и второй труб, то есть производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит: [pic] .
-Из условия задачи известно, что вместе две трубы наполняют бассейн за 8 минут. Значит, их производительность равна [pic] бассейна в минуту. Получим уравнение: [pic] .
-Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем: [pic] .
-Решая квадратное уравнение –t2 + 28t – 96 = 0, умножим обе части уравнения на –1. Получаем: t2 – 28t + 96 = 0. Какие числа являются корнями этого уравнения?
Деятельность учащихся:
-t1 = 4 и t2 = 24.
Деятельность учителя:
-По смыслу задачи время работы второй трубы должно быть больше 12, так как вторая труба наполняет бассейн на 12 минут дольше, чем вторая.
-Значит, значение t=4 является посторонним решением. Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 24 минуты. Мы ответили на главный вопрос задачи.
- Запишем ответ.
Ответ: 24 минуты.
Деятельность учащихся: Записывают ответ.
Деятельность учителя:
-Сегодня мы с вами вспомнили, как решать задачи на работу, какие нужно знать формулы.
-Что вы узнали нового на сегодняшнем уроке?
-Чему научились?
-Что необычного и интересного было на занятиях?
-В каких задачах вы столкнулись с трудностями?
Деятельность учащихся: Отвечают на вопросы учителя и получают на раздаточном материале домашнее задание.
Деятельность учителя:
-Домашнее задание на раздаточном материале:
Задача 1. Работая вместе, двое рабочих Пётр и Николай могут закончить свою работу за 15 дней. После 10 дней совместной работы Пётр заболел, и Николай закончил работу один, проработав еще 6 дней. Определите, за сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?
Решение. Пусть Пётр может выполнить работу за x дней, а Николай за y дней. Каждый из них выполняет в день [pic] и [pic] части работы соответственно, а работая вместе [pic] часть. Получаем уравнение: [pic]
За 6 дней совместной работы Пётр и Николай выполнили: [pic] работы. Николай работал еще 6 дней, выполнив [pic] часть всей работы. Зная, что вся работа была сделана, составим уравнение: [pic] .
Получили систему уравнений:
[pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Получили, что если каждый из них будет работать отдельно друг от друга, то Пётр сможет выполнить работу за 90 дней, а Николай за 18 дней.
Ответ: 90 дней, 18 дней.
Задача 2. Заказ на 160 деталей Вова выполняет на 1 час быстрее, чем Петя. Найдите, сколько деталей в час делает Петя, если известно, что Вова за час делает на 5 деталь больше?
Решение. Пусть x деталей в час делает Петя, тогда Вова делает (x + 5)деталей в час. Так как [pic] , время работы Вовы равно [pic] , время работы Пети равно [pic] .
P
t
A
Вова
[pic]
[pic]
150
Петя
[pic]
[pic]
150
Вова выполнил заказ на 5 часов быстрее. Следовательно, время Вовы на 5 меньше, чем время Пети, то есть: [pic] .
Составим уравнение:
[pic]
[pic] ; [pic] ;
Решая квадратное уравнение, мы получим два корня x1 = -30 и x2 = 25.
По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x1 = -30 – посторонний корень.
Следовательно, мы получили, что Петя делает 25 деталей в час.
Ответ: 25.
Задача 3. Лена и Света, работая вместе, выполняют работу за 15 дней. Определите, за сколько дней, работая отдельно друг от друга, выполнит эту работу Лена, если она за 4 дня выполняет такую же часть работы, какую Света — за 5 дней?
Решение. Так как в задаче не сказано о том, какая это работа, чему равен её объем, то работу мы примем за единицу.
Пусть X - производительность Лены, тогда Y - производительность Светы. Из условия мы знаем, что Лена за 4 дня делает такую же часть работы, какую Света - [pic] за 5 дней. Значит, [pic] . Отсюда, следует, что работая вместе, Лена и Света сделали всю работу за 15 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] .
Мы получили, что Лена за день выполняет [pic] всей работы. Следовательно, на всю работу Лене понадобится 9 дней.
Ответ: 9.
Задача 4. Первая бригада может убрать поле за 16 дней. Чтобы выполнить эту же работу второй бригаде нужно 50% этого времени. После того как в течение 4 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Определите, сколько дней работали две бригады вместе?
Решение. Производительность 1-ой бригады [pic] . Время работы 1-ой бригады 16 дней, тогда 50% от 16 дней будет 8 дней (0,50 [pic] 16 = 8) – время работы 2-ой бригады. Производительность 2-ой бригады: [pic] .
Объём работы 1-ой бригады за 4 дня: [pic] .
Всю работу примем за 1 единицу, тогда осталось выполнить: 1 - [pic] ;
Производительность двух бригад вместе: [pic] + [pic] . Пусть Х время их совместной работы, тогда получаем уравнение: ( [pic] )Х= [pic] .
[pic] ; [pic] ; [pic] ; X=4.
Ответ: вместе две бригады работали 4 дня.
Задача 5. Ученик тратит на изготовление 462 деталей на 22 часа больше, чем мастер на изготовление 924 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?
Решение. Пусть x деталей в час делает ученик, тогда мастер делает (x + 4) детали в час. На изготовление 462 деталей ученик потратит [pic] ч, а мастер тратит [pic] ч на изготовление 924 деталей.
Составим уравнение по условию задачи: [pic] .
Решим уравнение:
[pic] [pic] 84 – 21x – x(x+4) = 0; x2 + 25x – 84 = 0.
Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. По смыслу задачи значение детали в час x должно быть неотрицательной величиной, значит, корень x1 = -28 – посторонний корень. Следовательно, мы получили, что ученик делает 3 детали в час.
Ответ: 3.
