Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Степени с целым показателем, квадратные корни и алгебраические выражения».
Данное задание проверяет умение выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений и применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни.
Справочные материалы.
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен и обозначается . Число называется подкоренным числом.
Свойства квадратных корней (для а≥0, b≥0).
Например:
2.
Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
,
b>0
Например:
3.
При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
Например:
Степенью называют выражение , - основание степени, - показатель степени.
-
раз
Степень с нулевым показателем.
- Если , то
Например:
Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя.
- Если и натуральное число, то
Например: =
Степень с дробным показателем.
Для того, чтобы возвести действительное число в степень нужно извлечь корень – ой степени из m-ой степени этого числа .
- Если - натуральные числа, , то
Например: = = = 8.
Свойства степеней с рациональным показателем.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются =
Например:
2.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются
Например:
3.
Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей
=
Например:
4.
Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя)
( =
Например:
5.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются
) =
Например:
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
Формулы сокращённого умножения.
Формула разности квадратов
- = ( - b)
Формула квадрата разности
= - 2 +
Формула квадрата суммы
= + 2 +
Формула разности кубов
- = ( + )
Формула суммы кубов
= ( - )
Стандартный вид положительного действительного числа.
Любое положительное число можно представить в виде , где , а - целое число. Говорят, что число записано в стандартном виде, показатель называют порядком числа. Например: Пусть , тогда в стандартном виде .
Сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:
Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры — как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.
Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.
Примеры заданий с решениями.
№1. Найдите значение выражения .
1)
2) -5
3)
4) 5.
Решение.
Применяем свойства степеней
Ответ: 3.
№2. Какое из данных чисел ; является рациональным?
1)
2)
3)
4) ни одно из этих чисел.
Решение.
По определению [link]
23. Найдите значение выражения .
1) 0,00000116
2) 0,000116
3) 11600000000
4) 0,0000116.
24. Расположите в порядке возрастания числа .
1) 2, 4, 3
2) 3, 4, 2
3) 2, 3, 4
4) 4, 2, 3.
25. Расположите в порядке убывания числа .
1) 4, 7,
2) , , 7
3) , , 7
4) ), 7, .
