ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.

1 [pic]
. Решение иррациональных уравнений.

1. 1. Метод подстановки.

1.1.1 Решите уравнение [pic] .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

[pic] , [pic] .

Тогда, [pic]

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения [pic] .

И [pic] [pic] [pic] меем систему уравнений [pic] [pic] [pic]

Т.к. а + в = 4, то [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

З [pic] начит: [pic] [pic] 9 – x = 8  х = 1. Ответ : х = 1.

1.1.2. Решите уравнение [pic] .

Введем обозначения: [pic] , [pic] ; [pic] , [pic] .

Значит: [pic]

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем [pic] .

И [pic] меем систему уравнений [pic]

а + в = 2, [pic] , [pic] , [pic] ,

[pic] .

В [pic] ернемся к системе уравнений: [pic]

[pic] , [pic] .

Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. [pic] , [pic] .).

[pic] [pic] Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ : нет решений.

1. 1. 3. Решите уравнение: [pic] .

Введем обозначение [pic] , где [pic] . Тогда [pic] , [pic] .

[pic] , [pic] ,

[pic] .

Рассмотрим три случая:

1) [pic] . 2) [pic] . 3) [pic] .

- а + 1 - а + 2 = 1, а - 1 - а + 2 = 1, а - 1 + а - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1 ). [ 1 ; 2 ). а = 2.

Решение: [ 1 ; 2 ].

Если [pic] , то [pic] , [pic] , [pic] .

Ответ: [pic] .

1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

[pic] [pic] , [pic] , то [pic]

1. 2. 3. Решите уравнение: [pic] .

ОДЗ: [pic] .

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию [pic] . Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).

Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть [pic] .

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию [pic] . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x  ( 2 ; 4 ).

[pic] .

[pic] при [pic] ,

[pic] ,

[pic] , x=3.

[pic] [pic] [pic] [pic] g` + -

[pic] [pic] 2 3 4

g

max

g(3) = 2.

Имеем, [pic] .

В [pic] результате [pic] , [pic] , то [pic]

Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :

[pic] [pic]

Решая первое уравнение системы , имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.

Ответ: х = 3.

1.3. Применение монотонности функции.

1.3.1. Решите уравнение : [pic]

О [pic] ДЗ : [pic] , т.к . [pic]  [pic] .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой [pic] возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.

Доказательство:

Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется

[pic] , т.к. х1 >1,

[pic] ,

[pic] ,

[pic] .

[pic] .Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

1.3.2. Решите уравнение: [pic]

О [pic] ДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к . [pic] т.е. [pic] .

Преобразуем уравнение [pic] ,

[pic] ,

[pic] .

Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка: [pic]

Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).

Ответ: х = 7.

2.Логарифмические уравнения.

2. 1. Метод оценки левой и правой частей.

2.1.1. Решите уравнение: log2 (2х - х² + 15 ) = х² - 2х + 5.

Дадим оценку левой части уравнения.

2х - х² + 15 = - (х² - 2х - 15 ) = - ( ( х² - 2х + 1 ) - 1 - 15 ) = - ( х - 1 ) ² + 16 16.

Тогда log2 (2х - х² + 15 )  4.

Оценим правую часть уравнения.

x² - 2х + 5 = (х² - 2х + 1 ) - 1 + 5 = (х - 1) ² + 4  4.

[pic] [pic]

Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.

[pic] [pic] [pic] значит [pic]

Ответ: х = 1.

Для самостоятельной работы.

2.1.2. log4 (6х - х ² + 7 ) = х² - 6х + 11 Отв.: х = 3.

2.1.3. log5 ( 8x - x ² + 9 ) = x² - 8x + 18 Отв.: х = 6.

2.1.4. log4 (2x - x ² + 3 ) = x ² - 2x + 2 Отв.: х = 1.

2.1.5. log2 ( 6x - x² - 5 ) = x ² - 6x + 11 Отв.: х = 3.

2.2. Использование монотонности функции, подбор корней.

2.2.1. Решите уравнение : log2 (2х - х² + 15 ) = х² - 2х + 5.

Выполним замену 2x - x ² + 15 = t, t>0. Тогда x² - 2x + 5 = 20 - t, значит

log2 t = 20 - t .

Функция y = log2 t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.

Решив уравнение 2х - х² + 15 = 16, находим, что х = 1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: х = 1.

2.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.

2.3.1. Решите уравнение [pic] .

ОДЗ: ( x - 15 ) cosx > 0.

Перейдем к уравнению

[pic] , [pic] , [pic] ,

[pic] .

Перейдем к равносильному уравнению

(x - 15) (cos² x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos² x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

x = 2 k, kZ . x =  + 2l, lZ.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если x = 15 , то (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, неверно.

x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если x = 2k, kZ, то (2 k - 15) l > 0,

2k > 15, заметим, что 15  5. Имеем

k > 2,5 , kZ,

k = 3, 4, 5, … .

3) если x =  + 2l, lZ, то ( + 2l - 15 ) ( - 1 ) > 0,

 + 2l < 15,

2l < 15 - , заметим, что 15  5 .

Имеем: l < 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Ответ: х = 2k (k = 3,4,5,6,…); х =  +21(1 = 1,0, -1,- 2,…).

3.Тригонометрические уравнения.

3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

4.1.1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.

Первый способ..

0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1, cos x + cos 5x = -2.

Поскольку cos x  - 1 , cos 5x  - 1, заключаем,­ что cos x + cos 5x > -2, отсюда

следует система уравнений

c [pic] os x = -1,

cos 5x = - 1.

Решив уравнение cos x = -1, получим х =  + 2к ,где kZ.

Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к.

cos 5x = cos 5 ( + 2k) = cos ( + 4 + 10k) = -1.

Таким образом , х =  + 2к , где kZ , - это все решения системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: х =  ( 2k + 1 ), kZ.

Второй способ.

Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем

[pic] [pic] cos 2x = - 1,

cos 3x = 1.

[pic] cos 2x = 1,

cos 3x = - 1.

Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.

Ответ: x = ( 2к + 1 ), kZ.

Для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2к, kZ.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х = /2 + к, kZ.

3.1.6. cos⁸ x + sin⁷ x = 1. Ответ: х = m, mZ; х = /2 + 2n, nZ.

3.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.

Поскольку  cos 3x   1 и cos 5x/2  1 , то данное уравнение равносильно системе

[pic] [pic] cos 3x = 1, x = 2n / 3,

cos 5x/2 = 1; x = 4k / 5.

Ответ: 4m, mZ.

3.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 - 2 = 0. Ответ: 8к, kZ .

3.1.9. cos²(2 x + /3 ) + cos²(  / 12 - x ) = 0. Ответ: 7/12 + к, kZ.