Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия» города Гурьевск Калининградской области

Методическое разработка занятия математического

кружка для учащихся 8 класса

«Диофантовы уравнения»

Автор: Тюрина О.Г,

учитель математики

2016 год

Пояснительная записка.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Наряду с решением основной задачи изучение математики на занятиях математического кружка предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей. Кроме того, ученики получают  дополнительную научную  информацию, которая существенно помогает им при освоении наук не только школьной программы, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях.

Цель кружка: создать условия для активизации учебно-познавательной деятельности учащихся.

Задачи кружка:

- пробуждать и развивать устойчивый интерес учащихся к математике;

- формировать аналитическое  и критическое мышление  в процессе решения задач;

- развивать их самостоятельность и творческую активность;

- научить детей переносить знания и умения в новую, нестандартную ситуацию;

- воспитать  целеустремленность и системность в учебной и трудовой деятельности.

Проблема, подтолкнувшая к созданию разработки темы « Диофантовы уравнения» состоит в том, что она не изучается в школьной программе, но часто встречается в олимпиадных задачах и на ЕГЭ.

Актуальность обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление диофантовых уравнений и необходимостью знания теории и методики их решения для получения хороших результатов на олимпиадах и экзаменах.

Ход занятия 1.

1.Вступительное слово

Школьный курс математики можно разделить на два уровня: основной, обязательный для всех учащихся, и повышенный, рассчитанный на удовлетворение интересов отдельных школьников. Неопределенные уравнения относятся ко второму уровню. Неопределенные уравнения интересны и до сих пор изучаются математиками (например, теорема Ферма). История диофантовых или неопределенных уравнений еще не написана. В общих курсах истории математики она выпадает из поля зрения.

Неопределенные уравнения встречаются лишь в олимпиадных заданиях и в заданиях ЕГЭ части С. Кроме того, решение некоторых видов неопределенных уравнений встречаются на практике. С помощью решения неопределенных уравнений можно отгадать дату рождения собеседника, оптимизировать многие процессы, найти остроумные и сравнительно простые решения «неразрешимых» задач. Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени. Значит, учащимся для успешной сдачи ЕГЭ и решения олимпиадных задач нужно знать и теорию, и методику решения неопределенных уравнений.

[pic]

2. Историческая справка

Диофантовыми  уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы   уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. 

Названы они так по имени древнегреческого учёного Диофанта (3 век до н.э.), в книге которого «Арифметика» впервые обстоятельно исследовались такие уравнения.

Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:  [pic]

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей. 
Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел.   До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта: полагают, что он жил в III в.н.э. В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:
Из решения уравнения х = х/6+х/12+х/7+5+х/2+4 (где х – количество лет, прожитых Диофантом) получаем, что Диофант женился в 33 года, стал отцом на 38-ом году, потерял сына на 80-ом году и умер в 84год

3.Виды диофантовых уравнений

Общего способа, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли диофантово уравнение в целых числах, быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные  неопределенные уравнения.

При исследовании неопределенных уравнений обычно ставятся следующие вопросы:

• имеет ли уравнение целочисленные решения;

• конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;

• решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;

• решить уравнение на множестве целых положительных чисел.

Виды диофантовых  уравнений

1.Диофантовы 2. Диофантовы

уравнения 1- ой степени уравнения 2-ой степени с двумя

(линейные) неизвестными

с  n неизвестными

[pic] [pic]

(где все неизвестные и (где a,b,c,d,e,f - целые числа)

коэффициенты - целые числа Пример:

и хотя бы один из коэффициентов 1 ах² + bху +с у²=0 - однородное;

отличен от нуля) 2. х² +у² =z²

Пример:

1. ax + by = 0 - однородное;

2. ax + by = 1;

3. ax + by = с;

4. ax + by + cz = d.

3.Диофантовы уравнения n-ой степени  с  2 неизвестными

[pic]

 где    [pic]   - целые числа и степень уравнения - больше или равна 3.

Раздел математики, занимающийся решением диофантовых уравнений, называется «диофантовым анализом», и он, в свою очередь, является частью интересного раздела современной математики – теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых (их ещё называют неопределёнными) уравнений.

Задача решения уравнений третьей степени с двумя неизвестными до сих пор не нашла полного решения. Отдельные типы таких уравнений, как и другие задачи неопределённого анализа, решили советские учёные Б.Н.Делоне, А. О. Гельфонд и другие. Вообще же, алгоритм, с помощью которого можно определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные решения, не найден и даже пока неизвестно, существует ли такой алгоритм.

4.Способы и методы решения

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев оставили неизгладимый след в этой интересной теории.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы и методы: 
1. Способ перебора вариантов. 
2. Метод остатков

3.Алгоритм Евклида 
4. Цепные дроби. 
5. Способ рассеивания.

6. Метод бесконечного спуска.

7. Метод разложения на множители. 

8. Использование четности.

1. Способ перебора вариантов 

Пример 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных? 
Решение. Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39. Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)∙8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Всего в аквариуме животных 3+3 =6

Ответ: 6 

2.Метод остатков

Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число. Рассмотрим пример, который раскрывает сущность данного метода.

Многие «математические фокусы» основаны на методах решения неопределенных уравнений. Например, фокус с угадыванием даты рождения. 

Пример1. Предложите вашему другу угадать его день рождения по сумме чисел равных произведению даты его рождения на 12 и номера месяца рождения на 31. 

Решение.

Для того чтобы угадать его день рождения нужно решить уравнение:

12х + 31y = с. Пусть вам назвали число 284, т.е. имеем уравнение 12х + 31y = 284. Для того, чтобы найти х и y можно рассуждать так: число

12х + 24y делится на 12, следовательно, по свойствам делимости, числа 7y и 284 должны иметь одинаковые остатки при делении на 12. Число 284 при делении на 12 дает остаток 8, следовательно, 7y при делении на 12 тоже должно давать в остатке 8, а так как y – это номер месяца, то 1 ≤ y ≤ 12, следовательно, y=8. Теперь нетрудно найти х=3. Таким образом, ваш друг

родился 3 августа.

Ответ: 3  августа.

3.Алгоритм Евклида.
Можно найти наибольший общий делитель натуральных чисел а и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее. Потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при  втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка (т.к. остатки убывают, то это на каком-то шаге случится). Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (а, b).
Решая диофантовы уравнения первой степени  ax + by = с, можно  применять следующие теоремы: 
Теорема1. Если  НОД (a, b) = 1, то уравнение ax + by = 1 имеет, по меньшей мере, одну пару (x, y) целого решения.
Теорема 2. Если НОД (a, b) = d > 1, и число с не делится на d, то уравнение    

 ах + by = с не имеет целого решения.
Теорема 3. Если НОД (a, b) = 1,то все целые решения уравнения ах + by = с определяются формулой: х= х0с + bt; y = y0c -  at.
Здесь (х0, y0) – целое решение уравнения ах + by = 1, а t – произвольное целое число.
Пример 1.  Решить в целых числах уравнение 54х + 37у = 1.
По алгоритму Евклида а = 54, b = 37. Подставляем данные под алгоритм и получаем: 54=37∙1+17, остаток от деления     17 = 54-37∙1
Далее, следуя алгоритму, получаем:  37 = 17∙2+3 ,    3 = 37-17∙2
17 = 3∙5+2 ,    2 = 17- 3∙5, 3 = 2∙1+1 ,    1 = 3 - 2∙1
После нахождения единицы выражаем через неё значения а и b:

 1 = 3 – (17-3∙5); 1 = 17- 3∙4;  1 = 17 - (37- 17∙2)  ∙4;                               

1 = 17 - 37∙4+17∙8; 1 = 17∙9 – 37∙4;     1 = (54- 37∙1)  [pic] 9 - 37∙4;
1 = 54∙9 - 37∙9 - 37∙4;          1 = 54∙9 - 37∙13; 1 = 54х + 37
Следовательно,  х0 = 9, у0 = -13. Значит, данное уравнение имеет следующее решение

х= 9+37t

у= -13- 54t   
Пример 2. Требуется найти целое решение уравнения 15x + 37y = 1.
1-й метод. Воспользуемся разложением единицы:
1 = 15∙5 + 37∙(-2). Ответ:  x = 5, y = -2.
2-й метод. Применяя алгоритм Евклида, имеем: 37 = 15∙2 + 7, 15 = 2∙7 + 1. Отсюда  1 = 15 – 2∙7 = 15 – 2(37 – 15∙2) = 15∙5 + (-2) ∙37. Тогда  xо = 5,yо = -2. Общее решение уравнения есть система 

х= 5+ 37t

y = -2- 15t

Пример 3. В уравнении 16x + 34y = 7, НОД (16, 34) = 2  и 7 не делится на 2,то нет целых решений.  
4.  Цепные дроби.Одним из применений алгоритма Евклида является представление дроби   в виде  

  [pic]

где q0 – целое число, а q1, … ,qn – натуральные числа. Такое выражение называется цепной (конечной непрерывной) дробью.

Уравнение: ах +bу=c с взаимно простыми коэффициентами a и b имеет решение 
х0 =(-1)ⁿ cQn-1 , у0 = (-1)ⁿ⁺¹ сPn-1 
где   - предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби , в которую раскладывается дробь  .
Пример1.   Для перевозки большого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полностью?
Решение: пусть х и у количество контейнеров по 170 и 190 кг соответственно, тогда имеем уравнение
170х+190у=3000;
17х+19у=300.

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби    в цепную дробь

[pic]
Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную
[pic]
Частное решение данного уравнения имеет вид
х0= (-1)⁴300∙9=2700,  у0=(-1)⁵300∙8= -2400,
а общее задается формулой 
х=2700-19k,       y= -2400+17k.
откуда получаем условие на параметр k
141< ≤ k ≤ <143
Т.е. k=142, x=2,  y=14.

5.Способ рассеивания (размельчения) впервые применил в начале VI в. индийский математик Ариабхатта. Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.
Продемонстрируем его на примере решения следующей задачи.

Пример1. Найти два числа, если разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13. 
Решение. Требуется решить уравнение 19х — 8у = 13
Перепишем его иначе: 8y=19x–13; 8y=16x+3x–13; у = 2х +   
и обозначим y1 = у — 2х.

В результате уравнение примет вид 8у1 = Зx — 13 или x= 2y1 + .
Если вновь произвести замену х1 = x — 2у1, то придем к уравнению 
3xl — 2у1 = 13. 
Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. Продолжим дальнейшее их уменьшение: так как y1 = xl + , то положим  у2 = у1 –х1.
В результате последнее уравнение преобразуется к виду х1 — 2у2 = 13. Здесь коэффициент при х1, равен 1, а поэтому при любом целом у2 = t число х1 тоже целое. 
Остается выразить исходные переменные через t: 
вначале выразим х1=2t+13, y1 = 3t+13; а затем x = 8t +39, y= 19 t + 91. 
Итак, получаем бесконечную последовательность (39 +8 t; 91 + 19 t) целочисленных решений.
Нетрудно заметить, что методы цепных дробей и рассеивания являются лишь другой формой применения алгоритма Евклида

6. Метод бесконечного спуска
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.
Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.
Пример 1. Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17 (1)
Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.
у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13  (2)
Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1  (3)
Из (2) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (3) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14 (4)  
Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (1) коэффициентами. Применим к (4) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= (1-4t1-z) + (1-t1-z)/3 
(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1  (5)
В (5) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z, x, y через t1 и t2.

z = -t 1 – 3t 2 + 1
x = 1 – 4t 1 + t 1 + 3t 2 = 1 +t 2 = -t 1 + 4t 2
y = 1 + 6t 1 – 8t 2 + 4t 1 + 12t 2 – 4 + t 1= 11t 1 + 4t 2 - 3
Итак,  x = -3t 1 + 4t 2
y = 11t 1 + 4t 2 – 3

z = -t 1 – 3t 2 + 1
t 1, t 2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (1)
7. Метод разложения на множители
Данный метод применяются к решению диофантовых уравнений первой и второй степени. 
Пример 1. Решите в целых числах ху = х+у

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде ху – х – у + 1 = 1. Левую часть данного уравнения разложим на множители, применяя способ группировки.      х(у – 1) – (у – 1) = 1; (у – 1)(х – 1) = 1. Следовательно,

у – 1 = 1                  у – 1 = -1                  

  х – 1 = 1 х – 1 = -1

  (2; 2)   (0; 0)

Ответ: (2; 2), (0; 0).

Пример 2 Решите уравнение в целых числах: x² - y² = 91.

Решение.

Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х–у)(х+у) = 91. Так как  91= 1 ∙ 91 =91 ∙ 1=(-1) ∙ (-91) = (-91) ∙ (- 1) = 7 ∙ 13 =

= 13 ∙ 7 = (-7) ∙ (-13) = (-13) ∙ (-7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:

1) x – y = 1       3)  х-у= -91            5) x – y = 7 7) х-у=13

x + y = 91 х+у=1 x + y = 13 х+у=7

    (46; 45)   (46; -45)  (10; 3) (10;-3)

2) x – y =- 1 4) х-у= -91 6) x – y = -7 8) х- у= -13

x + y =- 91     х+у=-1 x + y = -13 х+у= -7

(-46; -45)   (-46;45)  (-10; -3) (-10;3)   Ответ:  (46; 45),(46; - 45),(-46; -45),(-46; 45),(10; 3),(10; -3),(-10; -3),(-10; 3).

Пример 3.  Решите в натуральных числах  2х² + 5ху – 12у² = 28.

Решение.

Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде: 2х² - 3ху + 8ху – 12у² = 28.

Применяя способ группировки, получим (2х – 3у)(х + 4у) = 28. Так как х, у – натуральные числа, то (х + 4у)∈N и  х + 4у ≥ 4, тогда возможны следующие случаи:

1)  2х – 3у = 1 2) 2х – 3у = 4

  х + 4у = 28 х + 4у = 7

     (8; 5); решений в натуральных числах нет;

3)  2х – 3у = 1

  х + 4у = 28

решений в натуральных числах нет.

Ответ: (8; 5).

Пример 4.  Решите в целых числах   2ху = х² + 2у.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде   х² - 2ху + 2у = 0. Данное уравнение также решается методом разложения на множители, однако, с помощью формулы разности квадратов или способа группировки мы не сможем разложить на множители левую часть этого уравнения, поэтому целесообразнее использовать метод выделения полного квадрата.

(х² - 2ху + у²) - у² + 2у – 1 + 1 = 0,         (х – у)² - (у – 1)² =-1.

(х – у – у + 1)(х – у + у – 1) = -1,         (х – 2у + 1)(х – 1) = -1.

Решение этого уравнения сводится к решению следующих систем:

 х – 2у + 1= -1                 или                             х – 1= -1                              

 х – 1= 1                                                             х – 2у + 1= 1

(2; 2)                                                              решений в натуральных числах нет

Ответ: (2; 2).

 Пример 5. Решите в целых числах   3(х² + ху + у²)= х + 8у

Решение.

Рассмотрим    уравнение,    как    квадратное    относительно   х.              

3х ² + (3у - 1)х + 3у²  -  8у = 0.  Найдём дискриминант  уравнения    

D = =(3у – 1) ² - 4 ∙3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т. е. –27у² + 90 у + 1≥ 0

(-45 + √2052)/ (-27)  ≤  у ≤ (-45 -√2052)/ (-27).  (1)      

Так как у ∈ Z, то условию (1) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3. Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и

(1; 1).

Ответ. (0; 0), (1; 1).

8. Использование четности

 Пример 1.Решить в простых числах уравнение 

Так как y - простое число, то при t=1 y = 2. Отсюда  [pic]
b) Пусть x - четное число, х=2t. Так как x - простое число, то x = 2 при t=1 Следовательно, у=  ∈ N,  т. е. уравнение неразрешимо в простых числах. Следовательно, уравнение имеет в классе простых чисел единственное решение (3;2).   

Ход занятия 2.

1.Решение неопределенных уравнений разными способами (Урок решения одной задачи)

[pic]

Задача.  Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей. 

Решение.  Сказочнице, очевидно, потребуется  x+y  ночей, где x и y – натуральные корни диофантова уравнения 3х+5у=1001. Решим это уравнение различными способами.

1. С помощью алгоритма Евклида

НОД(3,5)=1, уравнение имеет целые решения.
5=3∙1+2

3=2∙1+1 ; 1=3-2∙1=3-(5-3∙1)∙1=3∙2+5∙(-1), х0=2, у0= -1

х=1001∙2+5t х=2002+5t

у=1001∙(-1)-3t; у= -1001-3t

2002+5t≥0 t ≥ -2002/5= -400,4

-1001-3t≥0 t ≤ -1001/3= -333 ; -400 ≤ t ≤ -334

Получаем, что всего 67 целых значений переменной t содержится в указанном промежутке.
Например, при t= –335, получим 
у = -1001 +1005 = 4; x =2002 – 1675 = 327, т. е. решение 327+4=331
2.Способ с использованием цепной дроби.

Обратимся к уравнению 3х + 5у = 1001. 
Решение.
Представим дробь 3/5 в виде конечной цепной дроби. 

[pic]
Запишем дробь в виде цепной дроби = [0;1, 1, 2]

Составим таблицу

Начальные условия

q0=0

q1=1

q2=1

q3=2

Pi

1

0

1

1

3

Qi

0

1

1

2

5

Запишем общее решение уравнения:

х=(-1)²∙1001∙2+5t х=2002+5t

у=(-1)³∙1001∙1-3t у= -1001-3t
Получили решение того же вида. С учетом условия, что корни уравнения натуральные, имеем те же значения для переменной t, что и в первом случае. Так, при t= – 335 получается пара (327; 4). 
3. Способ измельчения (рассеивания).

3х + 5у = 1001. 
Перепишем его иначе: x = – y +   и обозначим  xl = у + x
В результате уравнение примет вид  3х1 = 1001 – 2у или  у = –xl +  .
Если вновь произвести замену у1 = у + х1, то придем к уравнению 
x1 + 2у1 = 1001. Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. 
Здесь коэффициент при x1, равен 1, а поэтому при любом целом у1 = t число х1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t:  х1 = 1001 – 2 t, следовательно, у = – 1001 + 3 t , а x = 2002 – 5 t. Итак, получаем бесконечную последовательность (2002 – 5 t , – 1001 + 3 t) целочисленных решений. Внешний вид формул для нахождения значений переменных отличается от решений, полученных ранее, но с учетом условия задачи, корни получаются те же самые. Так, пара (327;4) получается при t = -335. 

2.Исторические задачи

[pic]

Задача 1. После кораблекрушения.  В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения», в которой есть эта задача, написано, что она «принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наименее поддающихся решению, диофантовых головоломок». Когда эта задача в 1926 году появилась в одной газете (без решения и ответа), то 20 лет после этого не прекращался поток писем в газету либо с просьбой сообщить ответ, либо с вариантами собственных решений.

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?
Решение.
Обозначим искомое число орехов через х. Выражая последовательные действия моряков уравнениями, получаем x=5а + 1; 4а = 5b + 1; 4b = 5c + 1;
4c = 5d + 1; 4d = 25y + 1.
Эта система сводится к одному неопределенному уравнению 
256х = 2101 + 15625у.
Ответ:  x = 3121  

Задача 2. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?
Решение.
Пусть x – число яиц. Так как (x – 1) делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, x имеет вид 60у + 1. 
Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7z, или 7z – 60у=1.
С помощью способа с использованием цепной дроби получаем, что целочисленные решения уравнения имеют вид у = -2 + 7t, z = -17 + 60t, где t – любое целое число. 
Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.
Ответ. Крестьянка несла на базар 301 яйцо.

Задача 3. (Опубликована в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 году Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен). «Разделили сто шеффелей (денежная единица) между 100 лицами так, чтобы каждый мужчина получил 3 шеффеля, каждая женщина 2, а каждое дитя  шеффеля. Сколько было мужчин, женщин и детей?»

Решение. Пусть х- мужчин, у-женщин и z-детей. Получим уравнения:

3х + 2у + z = 100 , 6х + 4у + z = 200 (1)
х + у + z = 100 (2).
Из (2): z = 100 – х – у (3).
(3) подставим в (1): 6х +4у+100 – х – у = 200, имеем 5х + 3у = 100.
Решим полученное уравнение. НОД(5;3) = 1. Чтобы записать линейное разложение 1 включим алгоритм Евклида:
5 = 3∙1 + 2
3 = 2∙1 + 1
2 = 2∙1, тогда 1= 3 – 2=3 – (5 – 3) = 3 – 5 + 3 = 3∙2 – 5 = 3∙2 + 5∙(-1) и u = -1,

v =2, следовательно
х0 = -100; у0 = 200. Получили решение уравнения х = -100 +3t, у=200 – 5t.
Учитывая, что х, у и z – натуральные числа, то задача имеет 6 решений.

Задача4 .Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причём петух стоит 5 монет, курица – 4, а 4 цыплёнка – одну монету?
Решение.
Пусть x – искомое число петухов, у – кур, а 4z – цыплят. Составим систему уравнений, которую надо решить в целых неотрицательных числах. 
х+у +4z=100

5х +4у +z =100

Умножив первое уравнение системы на  4 , а второе – на (-1) и, сложив результаты, придём к уравнению -x + 15z = 300 с целочисленными решениями x = -300 + 15t,  z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 - 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид 
x = -300 + 15t, y = 400 - 19t, z = t. 
Из условия задачи вытекает, что
-300+15t ≥0,

400 - 19 t ≥0

t ≥0 откуда 20 ≤ t≤ 21 т.е. t=20 или t=21

Ответ. На 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыплёнка.
Задача 5. (из древнего китайского сборника)
Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2 , при делении на 5 – остаток 3, а при делении на 7 – остаток 2.
Решение.
Рассмотрим решение этой задачи китайским математиком Сунь-цзы (III или IV вв.): «При делении на 3 остаток есть 2. Поэтому возьмём 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмём 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмём 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ».
Разберём решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 даёт остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берётся число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Очевидно, для числа 233 = 140 +63+ 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида n = 105l + 233. В свою очередь 233=2·105 + 23, поэтому все натуральные решения можно записать формулой n = 105k + 23, где k = 0, 1, … .
При k = 0 из неё получаем наименьшее натуральное решение, равное 23. 
Задача 6. Леонарда Пизанского (итальянский математик Л. Пизанский (1180-1240) по прозвищу Фибоначчи).

Некто купил 30 птиц за 30 монет (одного достоинства). За каждых три воробья уплачена одна монета, за каждых 2 снегиря – тоже одна монета, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждого вида?
Решение. Пусть х – количество воробьёв, у – снегирей, z – голубей. По условию задачи составим два уравнения:

х + у + z = 30 (1),  [pic]  +  [pic]  +2z = 30 (2). умножим на 6 и (2) – (1), получим х = 30 – у –z (3), х + 2у + 11z = 150 (4). В (4) вместо х подставим (3). Имеем 30 – у – z + 2у + 11z = 150 (5), преобразуем (5), тогда у + 10z = 120, у = 120 – 10z, а х,у,z - целые числа и 0
0<z<30, 0<у<30, 0<х<30, кроме этого у кратно 2, х кратно 3. Следовательно задача имеет единственное решение: z = 11, у = 120 – 110 = 10, х = 30 – 10 – 11 = 9. Воробьёв - 9, снегирей -10, голубей -11.

Задача7. Л.Эйлера.

Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?

Решение.21х+31y=1770

Заметим, что 31-21=10. Отсюда 21∙(-177)+31∙177=1770. То есть сразу имеем одно решение х0 = -177, у0=177.

Сделаем замену: x=u-177, y=v+177
и подставим в уравнение. В результате получим 21u=-31v
Так как 21 и 31 взаимно просты, то u делится нацело на 31: u=31∙t, для некоторого целого t. Подставив в 21u=-31v, получим v=-21∙t.
Таким образом, все целые решения уравнения у нас есть:
x=31∙t - 177,
y=-21∙t + 177.
Остается найти целое t, такое что 31∙t - 177>=0, -21∙t + 177>=0.
Отсюда 177/31 <= t <= 177/21. Этим неравенства удовлетворяются тремя вариантами: t=6, 7, 8. Им соответствуют три разных решения исходного уравнения. персон издержали вместе 88 марок, причём

Ответ: 9; 71 или 30;40 или 51;9.

Задача 8.  Некто покупает в магазине вещь стоимостью в 19 р. У него имеются лишь 15 трёхрублёвок, у кассира же – лишь 20 пятирублёвок. Можно ли расплатиться и как?

Решение.

3х – 5у = 19,

3у1 – 2у = 1,

у1 – 2у2 = 1, у1 = 2у2 + 1, откуда  х = 5у2 + 8,   у = 3у2 + 1.

Ввиду  того, что х и у должны быть положительными и учитывая условие задачи  у2 может принимать только два значения: 0; 1. Отсюда вытекают два возможных решения: (8; 1), (13; 4)

[pic]

Следующие задания предлагаются для самостоятельного решения.

Задача 9.Продажа кур (старинная задача)

Три сестры пошли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая – 16, третья – 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене они продавали кур до и после полудня? 

Задача10. Адама Ризе (16 век)

26 персон издержали вместе 88 марок, причем мужчины издержали по 6 марок, женщины - по 4, девушки – по 2.Сколько было мужчин, женщин и девушек?

Решить уравнения в целых числах.

(х +1)² + у² = 0; х² – 10х + 25 + у² =0 ; х² – 4х + у² + 2у + 5=0; х² +5у² +4ху + 2у + 1=0

Интернет ресурсы:

1. [link]

1. Фибоначчи

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв

породы?

1. 1. 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по 2 монеты и пара воробьёв по монете. Спрашивается, сколько птиц каждого вида.

2. Задача

цыплят.

3. Задача Адама Ризе (XVI век)

26

и девушек?

4. Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого

Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2

за штуку, уток - по копейке, а малых чирков - по два на копейку. Сколько гусей, уток и чирков купил работник?

5. *. Задача Л.Эйлера

Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка - 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?

1. Задачи Фибоначчи

   1. Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы - также 1 монета и, наконец, за каждого голубя - по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

   2. 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по 2 монеты и пара воробьёв по монете. Спрашивается, сколько птиц каждого вида.

цыплят.

2. Задача Адама Ризе (XVI век)

26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчины издержали по 6 марок, женщины - по 4, девушки - по 2. Сколько было мужчин, женщин и девушек?

3. Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого

Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку - по 1 алтыну, чирка же - по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил. (1 алтын=3 к., 1 деньга=0.5 к.

4. Старинная задача

Хозяин послал работника на базар купить 20 птиц: гусей, уток и малых чирков. Он дал работнику 16 алтын. Гусей велел покупать по 3 копейки за штуку, уток - по копейке, а малых чирков - по два на копейку. Сколько гусей, уток и чирков купил работник?

5. *. Задача Л.Эйлера

Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка - 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?