Поурочное планирование элективного курса
по математике для 9 классов
«Почему параметры – хитрые хамелеоны?»
выполнила: Кузьмина Н.К. учитель математики
МКОУ «Шумская средняя общеобразовательная школа»
с. Шум Кировского района Ленинградской области
Занятие № 1
Тема занятия: Что такое параметр? Что значит решить уравнение с параметром?
Цели: 1. Познакомить учащихся с понятием «параметр»;
2. Объяснить, зачем нужно уметь решать уравнения и неравенства с параметрами;
3.Сообщить учащимся, какие знания и умения они должны приобрести в ходе изучения данной темы;
4. На конкретных примерах показать, как решаются уравнения с одним параметром и как важно уметь правильно записывать ответ.
Ход занятия:
1. Вступительное слово.
Курс рассчитан на 13 часов. Задания с параметром часто встречаются на выпускных экзаменах в школе на уровень «5» ,а также на вступительных экзаменах в техникумы и ВУЗы, но в школьной программе практически не изучаются. Для усвоения этой темы достаточно базовых знаний по математике.
В конце изучения курса вы будете иметь представление о параметре, знать и владеть основными способами решения уравнений и неравенств с параметрами, уметь решать текстовые задачи с параметрами.
Т.е. изучение данного курса будет хорошей подготовкой к выпускным и вступительным экзаменам.
2. Изучение нового материала.
В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами: такие буквы не называют параметрами.
С понятием параметра вы уже встречались (начиная с 7 класса, но не употребляя этого слова).
№ 1:
При изучении линейных уравнений: ax=в, где х - переменная, а, в - числа, которые могут принимать различные значения.
Корень данного уравнения х = в/а
, если а ≠ 0, то 1 корень х = в/а
, если а = 0, в ≠ 0 уравнение имеет общий вид (0х = в), то нет корней
, если а = 0 = в уравнение имеет общий вид (0х = 0), то бесчисленное множество корней.
Ответ:
если а ≠ 0, то 1 корень х = в/а
если а = 0, в ≠ 0, то нет корней
Если а = 0 = в , то бесчисленное множество корней.
№ 2:
Квадратные уравнения, которые мы решали в 8 классе тоже с параметрами.
Общий вид. ах2 + вх + с = 0,где х – переменная, а,в,с – числа, которые выполняют роль параметров.
При различных значениях а,в,с уравнение принимает разный вид и имеет различные корни. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта (D).
D = в2 – 4ас,
Рассмотрим пример из экзаменационного сборника № 95.
При каких значениях параметра с у уравнения х2 + 2х + с = 0 а) нет корней; б) один корень; в) два корня?
Решение:
Если нет корней, то D < 0, т.е. 22 – 4*1*с < 0
4 – 4с < 0
-4с < -4
с > 1
Если 1 корень, то D = 0, т.е. 22 – 4*1*с = 0
4 – 4с = 0
-4с = -4
с = 1
Если 2 корня, то D > 0, т.е.22 – 4*1*с > 0
4 – 4с > 0
-4с > -4
с < 1
Ответ: 1) При с > 1 уравнение не имеет корней;
2) При с = 1 уравнение имеет 1 корень;
3) При с < 1 уравнение имеет 2 корня.
Мы видим, что при различных значениях с количество корней различно (так же, как и сами корни), т. е. значение параметра с меняется, приспосабливается к условию задачи(так же, как хамелеоны приспосабливаются к условиям среды обитания).
Теперь вам понятно, почему курс так назван?
Наша задача: распознать все значения параметров, научиться решать уравнения с одним параметром.
3. Закрепление.
№ 1:
Решить уравнение ах = 3 (х – переменная, а – параметр)
Решение:
Корень уравнения х = 3/а, ( х является неизвестным множителем).
при а ≠ 0 уравнение имеет 1 корень
при а = 0 нет корней (т.к. на 0 делить нельзя, или при а = 0 уравнение имеет вид 0х = 3)
Ответ: если а ≠ 0, то х = 3/а
если а = 0, то корней нет.
№ 2:
Решить уравнение (а – 2)*х = а – 2
Решение:
Выразим из уравнения х: х = [pic] ; х = 1, если а ≠ 2.
Если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 0 (подставляю а = 2 в исходное уравнение). Значит любое значение х превращает уравнение в верное равенство, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней.
Ответ: если а ≠ 2, то х = 1
если а = 2, то бесчисленное множество корней.
№ 3:
Решить уравнение (а2 – 9)*х = а + 3
Решение:
х = [pic] Попробуем упростить данную дробь: х = [pic] .
Сократим дробь на общий множитель (а + 3), при условии, что (а + 3) ≠ 0, т.е. а ≠ -3
Получим х = [pic]
Итак, 1) х = [pic] , если а ≠ -3 и а ≠ 3;
2) если а = -3, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.
3) если а = 3, то уравнение примет вид 0х = 6 (подставляю а = 3 в исходное уравнение), значит нет корней.
Ответ: если а ≠ ±3, то х = [pic] ; если а = 3, то нет корней; если а = -3, то бесчисленное множество корней.
Очень важно отметить, что ответ начинают записывать с найденных значений параметра.
4. Запись домашнего задания.
Решить уравнение (а + 5)(а – 3)*х = а2 – 25
Решение домашнего задания:
х = [pic] ; х = [pic] ; х = [pic] , если а ≠ 3 и а ≠ -5.
Если а = 3, то уравнение примет вид 0х = -16, значит нет корней.
Если а = -5, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.
Ответ: если а ≠ 3 и а ≠ -5, то х = [pic] ;
если а = 3, то нет корней;
если а = -5, то бесчисленное множество корней.
Занятие № 2
Тема занятия: Решение линейных уравнений с параметрами.
Цели: 1. Дать определение линейного уравнения с параметрами;
2. Разобрать способы решения линейных уравнений с параметрами;
3. Научиться правильно записывать ответ.
Ход занятия.
1. Подготовка к изучению нового материала.
№ 1:
Каким (линейным или квадратным) является уравнение 5в(в - 2)х2 + (5в - 2)х – 16 = 0 относительно х при: а) в = 1; б) в = 2; в) в = 0,4; г) в = 0.
Решение: подставим данные значения в исходное уравнение, получим:
а) -5х2 + 3х – 16 = 0 – квадратное;
б) 8х – 16 = 0 – линейное;
в) -3,2 х2 – 16 = 0 – неполное квадратное;
г) -2х – 16 = 0 – линейное.
Мы будем решать сегодня линейные уравнения с параметрами.
На прошлом уроке мы повторяли общий вид линейного уравнения ах = в, где х – переменная, а,в – числа. Вспомним, как решаются линейные уравнения, которые даны не в явном виде. Например: 7х – 8 = 12х + 18.
Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) 7х – 12х = 18 + 8;
Приводим подобные слагаемые -5х = 26;
Находим корень уравнения (х является неизвестным множителем) х = 26/(-5); х = -5,2;
Ответ: -5,2.
2. Изучение нового материала.
Точно такой же план решения и у линейного уравнения с параметром, только вычислив корень уравнения, мы должны подумать, всегда ли данная дробь имеет смысл, и рассмотреть все возможные значения параметра. В этом и состоит вся сложность.
Например: решить уравнение ах – 6 = х – 1.
Действуем по плану:
Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) ах –х = -1 + 6;
В левой части уравнения мы не можем привести подобные, т.к. не знаем значения а, поэтому вынесем х за скобку, получим х(а – 1) = 5. (Фактически, это то же самое приведение подобных слагаемых, т.к. в предыдущем уравнении 7х – 12х = х(7-12) = -5х по распределительному закону.);
Найдем х как неизвестный множитель: х = [pic] ; дробь имеет смысл при а ≠ 1; если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.
Ответ: если а ≠ 1, то х = [pic] ;
если а = 1, то нет корней.
3. Закрепление.
№ 1:
Решить уравнение ах - 3а = 2х
ах - 2х = 3а
х(а - 2) = 3а
х= [pic] ; при а ≠ 2;
если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 6, значит нет корней.
Ответ: если а ≠ 2;то корень х = [pic] ;
если а = 2,то нет корней.
№ 2:
Решить уравнение хв2-3в = 4х+12
хв2-4х = 12+3в
х(в2-4 ) = 12+3в
х = [pic]
х = [pic] ; дробь имеет смысл при в ≠ 2 и в ≠ -2;
если в = 2, то уравнение примет вид 0х =18, значит нет корней;
если в = -2, то уравнение примет вид 0х = 6. значит нет корней.
Ответ: если в ≠ 2 и в ≠- 2, то корень х = [pic] ;
если в = 2 и в = -2 , то нет корней.
№ 3:
При каких значениях параметра а уравнения ах = 12 и 3х = а имеют общие корни?
Решение: Найдём корень каждого уравнения.
ах = 12 и 3х = а
х = [pic] х = [pic] ;
Если у уравнений общие корни, то их нужно приравнять, т. е. [pic] = [pic] ; по свойству пропорции имеем а2 = 36. значит а = ±6.
Ответ: при а = ±6 эти уравнения имеют общие (или одинаковые) корни.
№ 4:
Решить уравнение (n2-4)х = n3 - 2n2 – n + 2.
Решение:
Выразим х: х = [pic] ;
Разложим на множители числитель и знаменатель способом группировки с помощью формулы разности квадратов: х = [pic] = [pic] = [pic]
Если n ≠ ±2, то х = [pic] ;
Если n = 2 , то уравнение примет вид 0х = 0 – бесчисленное множество корней;
Если n = -2, то уравнение примет вид 0х = 12 – нет корней.
Ответ: если n ≠ ±2, то 1 корень х = [pic] ;
если n = 2 , то бесчисленное множество корней;
если n = -2, то нет корней.
4. Запись домашнего задания.
Решить уравнение ах = 4х + 5
Решение: ах – 4х = 5
х(а – 4) = 5
х = [pic] , если а ≠ 4
если а = 4, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.
Ответ: если а ≠ 4, то 1 корень х = [pic] ;
если а = 4, то нет корней.
Занятие № 3
Тема занятия: Линейные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Повторить способ решения линейных уравнений с параметрами и закрепить его;
2.Разобрать более сложные линейные уравнения с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Изучение нового материала (разобрать уравнение с параметрами, где есть условие, что корнями уравнения могут быть только целые числа).
№ 1:
Решить уравнение вх – 1 = 0. При каком значении в € Z корнем уравнения является тоже целое число.
Решение:
вх = 1; х = [pic] , при в ≠ 0;
если в = 0, то уравнение примет вид 0х = 1, значит нет корней.
Корень уравнения является целым числом при в = ±1 [pic]
Ответ: если в ≠ 0, то х = [pic] ;
если в = 0, то нет корней;
если в = ±1, то х – целое.
№ 2:
В уравнении n(х + 5) = n2 + n + 4 известно, что n € N. Имеет ли уравнение целые корни и при каком n?
Решение:
nх + 5n = n2 + n + 4;
nх = n2 + n + 4 - 5n;
nх = n2 - 4n + 4;
х = [pic] ; выделим в этой дроби целую часть, т.е. разделим почленно числитель на знаменатель, получим: х = [pic] ;
х является целым числом, если дробь [pic] тоже целое, а это будет в том случае, если n = 1,2,4.
Ответ: при n = 1,2,4 уравнение имеет целые корни.
№ 3:
Решить уравнение х – ху + 5у = 7 в целых числах.
Решение:
Т.к. данное уравнение содержит две переменные, то одна из них является параметром. Примем за параметр любую из переменных, например, у. Получим:
х – ху = 7 – 5у;
х(1 – у) = 7 – 5у;
х = [pic] ; если бы нужно было просто решить уравнение, то ответ был бы следующий: если у ≠ 1, то корень х = [pic] ; если у = 1, то нет корней, т.к. уравнение примет вид 0х = 2. Но нам нужно указать все целые значения х, поэтому в дроби [pic] нужно выделить целую часть: [pic] = [pic] .
Итак, х = [pic] . Дробь [pic] должна быть целой, это произойдет если 1 – у является делителем числа 2. Это будет при у = 0; -1; 2; 3.
если у = 0, то х = 7;
если у = -1, то х = 6;
если у = 2, то х = 3;
если у = 3, то х = 4.
Ответ: целые решения ( 7; 0 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 4; 3 ).
3. Закрепление.
Решит № 3, но при условии, что х – параметр.
Решение:
х – ху + 5у = 7;
5у – ху = 7 – х;
у(5 – х) = 7 – х;
у = [pic] = [pic] = [pic] + [pic] =1 + [pic] ;
Итак, у = 1 + [pic] ; дробь [pic] должна быть целой, это произойдет если 5 – х является делителем числа 2. Это будет при х = 4; 6; 3; 7.
если х = 4, то у = 3;
если х = 6, то у = -1;
если х = 3, то у = 2;
если х = 7, то у = 0.
Ответ: целые решения ( 4; 3 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 7; 0 ). Получились те же самые ответы.
4. Запись домашнего задания.
При каком целом неотрицательном значении n уравнение [pic] - [pic] = 1 имеет только целые корни?
Решение:
Умножим на 9 обе части уравнения, чтобы избавиться от дроби, получим:
4n – 6 – 3(x – 2) = 9;
4n – 6 – 3x + 6 = 9;
4n – 3x = 9;
– 3x = 9 – 4n;
x = [pic] ; x = -3 + [pic] ; дробь [pic] должна быть целой, это произойдет если n = 0 и если n кратно 3, т.е n = 3k, где k € N.
Ответ: уравнение имеет целые корни при n = 0 и n = 3k, где k € N.
Занятие № 4
Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.
Цели: 1.Повторить определение линейного неравенства, его свойства и способы решения;
2.Узнать, что значит решить линейное неравенство с параметрами, научиться правильно записывать ответ.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Подготовка к изучению нового материала.
Сначала вспомним, что называется линейным неравенством.
Неравенство вида ах + в > 0; ах + в < 0; ах + в ≥ 0; ах + в ≤ 0, где х – переменная, а и в – любые числа, называется линейным. В данном случае а и в играют роль параметров. При решении линейных неравенств используются следующие свойства:
1. К обеим частям неравенства можно прибавлять и вычитать одно и то же любое число. При этом неравенство останется верным;
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то неравенство останется верным;
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом поменять знак неравенства, то неравенство останется верным;
4. Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак слагаемых на противоположный, при этом получается неравенство равносильное данному.
Разберем на примерах:
№ 1:
3х – 2 < 5х – 5;
3х –5х < -5 + 2;
-2х < -3;
х > -3/(-2);
х > 1,5.
Ответ: ( 1,5; + ∞ )
№ 2:
7х + 8 ≤ 2х – 1;
7х – 2х ≤ -1 – 8;
5х ≤ -9;
х ≤ -9/5;
х ≤ -1,8.
Ответ: ( - ∞; -1,8 ]
3.Изучение нового материала.
Те же свойства используются при решении линейных неравенств с параметрами.
№ 1:
Решить линейное неравенство с параметром ах < 2.
Решение:
В отличии от уравнений я не могу сразу выразить х, т.к. не знаю какое по знаку а.
1) если а > 0, то х < [pic] ;
2) если а < 0, то х > [pic] ;
3) если а = 0, то 0х < 2, отсюда следует 0 < 2.
Ответ: если а > 0, то х < [pic] ;
если а < 0, то х > [pic] ;
если а = 0, то х – любое число (бесчисленное множество решений).
№ 2: (самостоятельно)
Решить неравенство с параметром ах > 3.
Решение:
1) если а > 0, то х > [pic] ;
2) если а < 0, то х < [pic] ;
3) если а = 0, то 0х > 3, 0 > 3 – неверно.
Ответ: если а > 0, то х > [pic] ;
если а < 0, то х < [pic] ;
если а = 0, то нет решений. если а > 0, то х < [pic] ;
№ 3:
Решить неравенство с параметром 5х – а > ах – 3 .
Решение:
5х – ах > а – 3;
х(5 – а) > а – 3; решение неравенства зависит от скобки (5 – а).
1) если 5 – а > 0, (т.е. -а > -5; а < 5), то х > [pic] ;
2) если 5 – а < 0, (т.е. -а < -5; а > 5), то х < [pic] ;
3) если 5 – а = 0, (т.е. а = 5), то 0х > 5 – 3; 0 > 2 – неверно.
Ответ: если а < 5, то х > [pic] ;
если а > 5, то х < [pic] ;
если а = 5, то решений нет.
4. Закрепление.
№ 1:
Решить неравенство с параметром ха – х < а2 – 1 .
Решение:
х(а – 1) < (а – 1) (а + 1)
1) если а – 1 > 0 (т.е а > 1), то х < [pic] , значит х < а + 1;
2) если а – 1 < 0 (т.е. а < 1), то х > а + 1;
3) если а – 1 = 0 (т.е. а = 1), то 0х < 0; 0 < 0 – неверно.
Ответ: если а > 1, то х < а + 1;
если а < 1, то х > а + 1;
если а = 1, то нет решений.
№ 2:
Решить неравенство с параметром а(ах – 1) > 3(2ах - 3х + 1).
Решение:
а2х – а > 6ах – 9х + 3;
а2х – 6ах + 9х > а + 3;
х(а2 – 6а + 9) > а + 3;
х(а – 3)2> а + 3;
(а – 3)2 > 0 при а ≠ 3, а при а = 3 (а – 3)2 = 0;
при а ≠ 3 (а – 3)2 > 0, значит х > [pic] ;
при а = 3 0х > 6; 0 > 6 – неверно.
Ответ: при а ≠ 3 х > [pic] ; при а = 3 – нет решений.
5. Запись домашнего задания.
Решить неравенство с параметром рх – 3 < 2х + 5.
Решение:
рх – 2х < 5 + 3;
х(р – 2) < 8;
1) если р – 2 > 0 (т.е. р > 2), то х < [pic] ;
2) если р – 2 < 0 (т.е. р < 2), то х > [pic] ;
3) если р = 2, то 0х < 8 – бесчисленное множество корней.
Ответ: если р > 2, то х < [pic] ;
если р < 2, то х > [pic] ;
если р = 2, то бесчисленное множество корней.
Занятие № 5
Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.
Цели: 1.Закрепить способы решения линейного неравенства и уравнения;
2.Проверить, насколько прочно усвоена эта тема.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение неравенств и уравнений на повторение.
№ 1:
Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство ах > 2х + 5 не имеет решений?
Решение:
ах – 2х > 5;
х(а – 2) > 5;
если а – 2 > 0 (т.е. а > 2), то х > [pic] ;
если а – 2 < 0 (т.е. а < 2), то х < [pic] ;
если а – 2 = 0 (т.е. а = 2), то 0х > 5; 0 > 5 – неверно.
Ответ: при а > 2 х > [pic] ;
при а < 2 х < [pic] ;
при а = 2 у неравенства нет решений.
№ 2:
Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство в(х – в) ≤ 3х – 9 имеет бесконечное множество решений?
Решение:
вх – в2 ≤ 3х – 9;
вх – 3х ≤ в2 – 9;
х(в – 3) ≤ (в – 3)( в + 3);
если в – 3 > 0 (т.е. в > 3), то х ≤ [pic] ; х ≤ в + 3;
если в – 3 < 0 (т.е. в < 3), то х ≥ в + 3;
если в – 3 = 0 (т.е в = 3), то 0х ≤ 0 – верно при любом х.
Ответ: при в > 3 х ≤ в + 3;
при в < 3 х ≥ в + 3;
при в = 3 неравенство имеет бесконечное множество решений.
№ 3:
При каком значении параметра а корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) ?
Решение:
Найдем корень первого уравнения: х = [pic] ;
Найдем корень второго уравнения: -2х – 2 = 6 – 3х;
-2х + 3х = 6 + 2;
х = 8
Дробь [pic] в 3 раза меньше, чем 8, значит можно составить уравнение:
[pic] = 8 (сократим дробь на 3), получим: [pic] = 8.
По свойству пропорции имеем 8(а + 4) = 6а + 35;
8а + 32 = 6а + 35;
8а – 6а = 35 – 32; 2а = 3; а = 1,5.
Ответ: корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) при а = 1,5
3.Самостоятельная работа.
№ 1:
Решить уравнение в(в – 1)х = в2 + в – 2
Решение:
х = [pic] . Попытаемся сократить данную дробь. Разложим квадратный трехчлен на множители: в2 + в – 2 = 0; в1 = -2; в2 = 1 ( по теореме Виета).
в2 + в – 2 = (в + 2)( в – 1);
х = [pic] ;
1) х = [pic] , 1 корень, если в ≠ 0 и в ≠ 1;
2) если в = 0, то уравнение примет вид 0х = -2, значит нет корней;
3) если в = 1, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.
Ответ: если в ≠ 0 и в ≠ 1, то 1 корень х = [pic] ;
если в = 0, то нет корней;
если в = 1, то бесчисленное множество корней.
№ 2:
Решить неравенство а(ах – 1) > 3(2ах – 3х + 1).
Решение:
а2х – а > 6ах – 9х + 3;
а2х - 6ах + 9х > 3 + а;
х(а2 – 6а + 9) > 3 + а;
х(а – 3)2 > 3 + а, т.к. (а – 3)2 > 0 при любом а ≠ 3, то х > [pic] при а ≠ 3.
если а = 3, то неравенство примет вид 0х > 3 + 3, т.е. 0 > 6 – неверно, значит нет решений.
Ответ: если а ≠ 3, то х > [pic] ;
если а = 3, то нет решений.
4.Запись домашнего задания.
Повторить определения, виды и способы решения квадратных уравнений.
Занятие № 6
Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Дать определение квадратного уравнения с параметрами;
2.Разобрать на примерах способы решения квадратных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Повторение и подготовка к изучению нового материала.
ах2+вх+с=0- квадратное уравнение, где х- переменная, а, в, с,- числа; если одно из них не указано, то это и есть параметр. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта Д = в2- 4ас.
2. Изучение нового материала
№ 1:
Решить уравнение х2 – вх + 4 = 0
Решение:
Если D > 0 – 2 корня; D < 0 – нет корней; D = 0 – 1 корень.
D = в2 – 4ас = (-в)2 – 4*1*4 = в2 – 16
1) если D > 0 (т.е в2 – 16 > 0), то х1,2 = [pic] , отсюда следует: в < -4 или в > 4;
2) если D = 0 (т.е. в2 – 16 = 0), то 1 корень х = [pic] ;
3) если D < 0 (т.е. в2 – 16 < 0), то -4 < в < 4 – нет корней.
Ответ: если в < -4 или в > 4, то х1,2 = [pic] ;
если в = ±4, то х = [pic] ;
если -4 < в < 4, то нет корней.
3.Закрепление.
№97 (Из экзаменационного сборника)
При каких значениях параметра с уравнение [pic] х2 + сх + 11 = 0 имеет два корня? Приведите пример отрицательного значения с, удовлетворяющего этому условию.
Решение:
Уравнение [pic] х2 + сх + 11 = 0 имеет два корня, если D > 0; т. е. D = с2 – 4* [pic] *11= с2 – 11;
с2 – 11> 0, т.е [pic] (с + [pic] ) > 0
[pic] ≈ 3,4
[pic] (с + [pic] )= 0.если (с + [pic] )= 0 или с- [pic] = 0, т. е. с = ± [pic]
При с < - [pic] или с > [pic] уравнение имеет два корня, например при с = 4 .
Ответ: при с < - [pic] или с > [pic] уравнение имеет два корня, например при с = 4.
№ 98(из экзаменационного сборника)
При каких значениях параметра а уравнение ах2+х+2 = 0 имеет два корня? Из чисел
- [pic] ; [pic] ;- [pic] ; [pic] выберите те, которые удовлетворяют этому условию.
Решение:
Данное уравнение будет квадратным при условии, что, а ≠ 0, т. к. если а = 0, то уравнение будет линейным х+2 = 0 и корень будет один.
Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0.
Значит, D = 12 – 4а2 = 1 – 8а
1 – 8а > 0;
-8а > -1;
а < [pic] ;
Числа, которые меньше [pic] это [pic] ; [pic] ; [pic] , а [pic] > [pic] , значит, оно не подходит.
Ответ: при а < 0 и 0 < а < [pic] уравнение имеет два корня.
4.Запись домашнего задания.
№ 96. (из экзаменационного сборника)
При каких значения в уравнение 16х2 + вх + 1 = 0 не имеет корней? Имеет ли уравнение корни при в = 0,03, при в = -20,4?
Решение:
Квадратное уравнение 16х2 + вх + 1 = 0 не имеет корней если D < 0, т.е.:
D = в2 – 4*16*1 = в2 – 64;
в2 – 64 < 0;
(в – 8)( в + 8) < 0;
(в – 8)( в + 8) = 0 если в – 8 = 0 (т.е. в = 8) или в + 8 = 0 (т.е. в = -8);
Значит -8 < в < 8. Число 0,03 удовлетворяет данному условию, т.е. при в = 0,03 уравнение не имеет корней, а число -20,4 < -8, значит при в = -20,4 уравнение имеет корни.
Ответ: при -8 < в < 8 уравнение не имеет корней.
Занятие № 7
Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Повторить способ решения квадратных уравнений.
2.Разобрать более сложные примеры решения квадратных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение более сложных уравнений.
№ 1:
Решить уравнение (а + 1)х2 – 2х + 1 – а = 0
Решение:
D = в2 – 4ас = (-2)2 – 4(а + 1)(1 – а) = 4 – 4(1 – а2) = 4 – 4 + 4а2 = 4а2;
х1,2 = [pic] = [pic] , если а > 0, то [pic] = 2а
если а < 0, то [pic] = -2а
х1 = [pic] = [pic] = 1; х2 = [pic] = [pic] = [pic] , если а ≠ -1
А если а = -1, то подставляем в исходное уравнение данное значение параметра а и получим: -2х + 1 – (-1) = 0;
-2х + 2 = 0;
-2х = -2;
х = 1.
Ответ: если а ≠ -1, то х = 1 и х = [pic] ;
если а = -1, то х = 1.
№ 2:
Решить уравнение ах2 + (2а2 – 1)х – 2а = 0.
Решение:
D = (2а2 – 1)2 – 4а(-2а) = 4а4 – 4а2 + 1 + 8а2 = 4а4 + 4а2 + 1 = ((2а2 + 1)2;
х1,2 = [pic] , ( [pic] = [pic] = 2а2 + 1, т.к а2 ≥ 0 при любом а.)
х1 = [pic] = [pic] = [pic] ;
х2 = [pic] = [pic] = -2а; если а ≠ 0.
А если а = 0, то -1х = 0; х = 0.
Ответ: если а ≠ 0, то х = [pic] и х = -2а;
если а = 0, то х = 0.
№ 3:
Решить уравнение а2х2 + ах = 0.
Решение:
Это неполное квадратное уравнение.
ах(ах + 1) = 0;
ах = 0 или ах = -1, х = - [pic] ;
1) если а ≠ 0, то х = 0 или х = - [pic] ;
2) если а = 0, то 0х = 0 – бесчисленное множество корней.
Ответ: если а ≠ 0, то х = 0 или х = - [pic] ; если а = 0, то х – любое число.
№ 4:
При каких значениях в уравнение вх2 – 6х + в = 0 имеет два корня? Запишите пример такого уравнения.
Решение:
1) в ≠ 0, т.к. при в = 0 уравнение примет вид -6х = 0, х = 0 и не будет являться квадратным;
2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:
D = (-6)2 - 4вв = 36 – 4в2;
36 – 4в2 > 0;
36 – 4в2 = 0;
-4в2 = -36;
в2 = 9
в1,2 = ± 3
Ответ: -3 < в < 0 или 0 < в < 3;
Например, в = 2,5, тогда 2,5х2 – 6х + 2,5 = 0;
в = -1, тогда –х2 – 6х – 1 = 0.
3.Запись домашнего задания.
При каких значениях а уравнение ах2 + х – 3 = 0 имеет два корня? Из чисел [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] выберите те, которые удовлетворяют этому условию.
Решение:
1) а ≠ 0, т.к если а = 0, то уравнение примет вид х – 3 = 0, т.е. будет линейным и будет иметь один корень;
2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:
D = 1 – 4а(-3) = 1 + 12а;
1 + 12а > 0;
12а > -1;
а > [pic] .
Числа, которые больше [pic] это [pic] ; [pic] ; [pic] , а [pic] < [pic] , значит не подходит.
Ответ: при [pic] < а < 0 и а > 0 уравнение имеет два корня; этому условию удовлетворяют числа [pic] ; [pic] ; [pic] .
Занятие № 8
Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Закрепить способ решения квадратных уравнений.
2.Проверить насколько прочно усвоена тема.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение уравнений.
№ 1:
При каких значениях параметра а уравнение х2 + (а – 3)х + а = 0 имеет два положительных корня?
Решение:
1) уравнение имеет два корня, если D > 0:
D = в2 – 4ас = (а – 3)2 – 4а = а2 – 6а +9 – 4а = а2 – 10а + 9;
а2 – 10а + 9 > 0;
2) если корни положительные, то их произведение х1* х2 = а, где а > 0, а сумма х1 + х2 = -(а – 3) = 3 – а; значит а – 3 < 0;
3 [pic] ) решим систему неравенств а2 – 10а + 9 > 0
а > 0
а – 3 < 0
а2 – 10а + 9 = 0;
D´ = 25 – 9 = 16;
а1,2 = 5 ± [pic] = 5 ± 4;
а1 = 9; а2 = 1
Получим а < 1 или а > 9 и 0 < а < 3
Ответ: при 0 < а < 1 уравнение будет иметь два положительных корня.
№ 2:
При каком в корни уравнения х2 – 2(в – 2)х + в = 0 будут равными?
Решение:
Т.к. уравнение квадратное, то корни уравнения будут равными в том случае если D = 0, т.е два одинаковых корня или одно число. Т.к. второй коэффициент равен 2(в – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. D´ = (в – 2)2 – в = в2 – 4в + 4 – в = в2 – 5в + 4;
в2 – 5в + 4 = 0;
в1 = 4, в2 = 1 ( по теореме Виета)
Ответ: при в1 = 4, в2 = 1 корни уравнения будут равными.
№ 3:
При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х2 + 2(а – 2)х + 2 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
Квадратное уравнение не имеет действительных (т.е. рациональных и иррациональных) корней, если D < 0. Т.к. второй коэффициент равен 2(а – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. D´ = (а – 2)2 - 2(а – 2) = а2 – 4а + 4 – 2а + 4 = а2 – 6а + 8;
а2 – 6а + 8 < 0;
а2 – 6а + 8 = 0;
а1 = 4, а2 = 2 ( по теореме Виета);
Проверим какой вид имеет уравнение при а = 4, получим 2х2 + 4х + 2 = 0; D = 16 – 4*2*2 = = 16 – 16 = 0; значит при а = 4 уравнение имеет один корень.
Проверим какой вид имеет уравнение при а = 2, получим 0х2 + 0х + 2 = 0, т.е 2 = 0 – неверно, значит при а = 2 уравнение тоже не имеет действительных корней.
Ответ: при 2 ≤ а < 4 данное уравнение не имеет действительных корней.
3.Самостоятельная работа.
№ 1:
При каких значениях в уравнение х2 + вх + 9 = 0 имеет корни? Имеет ли уравнение корни при в = -10,5; при в = 0,7?
Решение:
Уравнение имеет два корня если D > 0, т.е. D = в2 – 4*9 = в2 – 36;
в2 – 36 > 0;
(в – 6) (в + 6) > 0;
(в – 6) (в + 6) = 0
в – 6 = 0 (т.е. в = 6) или в + 6 = 0 (т.е. в = -6).
Ответ: при в < -6 или в > 6 уравнение имеет два корня.
№ 2:
При каких значениях в уравнение вх2 – 5х + [pic] в = 0 имеет один корень?
Решение:
1) уравнение имеет один корень если в = 0, т.к. тогда уравнение примет вид -5х = 0 – линейное, и будет иметь один корень х = 0;
2) если в ≠ 0, то квадратное уравнение имеет один корень при D = 0, т.е.
D = 52 – 4в [pic] = 25 – в2;
25 – в2 = 0;
в2 = 25;
в = ± 5
Ответ: при в = ± 5 и при в = 0 данное уравнение имеет один корень.
4.Запись домашнего задания.
Повторить определение и способы решения дробно рациональных уравнений.
Занятие № 9
Тема занятия: Дробно рациональные уравнения с параметрами.
Цели: 1.Повторить определение дробно рационального уравнения и способ решения.
2.Разобрать способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.(устно)
2.Подготовка к изучению нового материала.
№ 1:
Решить уравнение [pic] + [pic] - [pic] = 0
Решение:
[pic] = 0;
[pic] = 0;
ОДЗ: у ≠ 5; у ≠ -5.
у2 + 3у – 10 = 0;
D = 9 – 4*(-10) = 49;
у1 = [pic] = 2; у2 = [pic] = -5 – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ.
Ответ: у = 2.
3.Изучение нового материала.
№ 2:
Решить уравнение [pic] = 1 + [pic] .
Решение:
[pic] - 1 - [pic] = 0;
[pic] = 0;
[pic] = 0;
ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ 2.
2х – ах + 2а =0;
2х – ах = -2а;
х(2 – а) = -2а;
х = [pic] ; если а ≠ 2; если а = 2, то уравнение имеет вид 0х = -4, т.е нет корней;
Сложность решения дробно рациональных уравнений с параметрами состоит в том, что нужно еще обязательно проверить при каком значении а корень уравнения х принимает значение, не входящее в ОДЗ.
Выясним, при каком а х = 0 и х = 2:
х = 0, т.е [pic] = 0, если 2а = 0, то а = 0 (значит а = 0 нужно тоже исключить);
х = 2, т.е [pic] = 2, если (а – 2)2 = 2а; 2а – 4 = 2а; -4 = 0 – неверно, значит х не может быть равен 2 ни при каком а.
Ответ: если а ≠ 2 и а ≠ 0, то х = [pic] ;
если а = 0 и а = 2, то корней нет.
4.Закрепление.
№ 3:
Решить уравнение [pic] - [pic] = [pic] .
Решение:
[pic] - [pic] - [pic] = 0;
[pic] = 0;
ОДЗ: х ≠ а; х ≠ -а;
х2 – 2ах + 2х + а2 – 2а = 0;
х2 + х(2 – 2а) + (а2 – 2а) = 0 – приведенное квадратное уравнение, т.к. первый коэффициент равен 1, второй коэффициент четный 2 – 2а = 2(1 – а), свободный член а2 – 2а. Поэтому можно решать по второй формуле нахождения корней.
D´= (1 – а)2 – (а2 – 2а) = 1 – 2а + а2 – а2 + 2а = 1.
х1,2 = а – 1 ± 1; х1 = а – 1 + 1 = а – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ; х2 = а – 1 – 1 = а – 2.
Выясним при каком а х = ±а:
х = а, т.е а – 2 = а; 0 = 2 – неверно, значит х не может быть равен а ни при каком значении параметра а;
х = -а, т.е. а – 2 = -а; 2а = 2; а = 1 (значит а = 1 нужно исключить).
Ответ: если а ≠ 1, то х = а – 2;
если а = 1, то нет корней.
5.Запись домашнего задания.
Решить уравнение [pic] - [pic] = [pic] .
Решение:
[pic] - [pic] - [pic] = 0;
[pic] = 0;
ОДЗ: х ≠ -2; х2 – 2х + 4 ≠ 0, при любом х, т.к. уравнение х2 – 2х + 4 = 0 не имеет корней.
х2 – 2х + 4 – 2вх + х – 4в + 2 – 6 + 4в = 0;
х2 – х– 2вх = 0;
х2 – х(2в + 1) = 0 – неполное квадратное уравнение, т.к. свободный член равен нулю.
х(х – 2в – 1) = 0;
х = 0 или х – 2в – 1 = 0
х = 2в + 1
Выясним, при каком значении параметра в х = -2, т.е. 2в + 1 = -2; 2в = -3; в = -1,5 (значит в = -1,5 нужно исключить).
Ответ: если в ≠ -1,5, то уравнение имеет два корня х = 0 и х = 2в + 1;
если в = -1,5 , то уравнение имеет только один корень х = 0.
Занятие № 10
Тема занятия: Решение дробно рациональных уравнений с параметрами.
Цели: 1.Разобрать более сложные дробно рациональные уравнения с параметрами с дополнительным условием.
2. Проверить, насколько прочно усвоен способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Решение с классом.
№ 1.
Найти все целые корни уравнения [pic] = [pic] , если а € N.
Решение:
[pic] - [pic] = 0;
[pic] = 0; ОДЗ: х – 3 ≠ 0; ах + 3 ≠ 0
х ≠ 3; ах ≠ -3; х ≠ [pic] ;
х2 – ах2 – а2х – 6х – ах = 0;
х2(1 – а) – х(а2 + а + 6) = 0 – неполное квадратное уравнение;
х((1 – а)х – а2 – а – 6) = 0; х = 0 или (1 – а)х – а2 – а – 6) = 0;
(1 – а)х = а2 + а + 6;
х = [pic] , если а ≠ 1;
если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 8 – неверно.
Выясним, при каком а х = 3 и х = [pic] :
[pic] = 3;
3 – 3а = а2 + а + 6;
а2 + а + 6 + 3а – 3 = 0;
а2 + 4а + 3 = 0;
а1 = -3, а2 = -1 – не принадлежат к натуральным числам;
[pic] = [pic] ;
а3 + а2 + 6а = -3 + 3а;
а3 + а2 + 6а + 3 – 3а = 0;
а3 + а2 + 3а + 3 = 0;
а2(а + 1) + 3(а + 1) = 0;
(а + 1)(а2 + 3) = 0;
а + 1 = 0; а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;
а2 + 3 = 0 – нет корней.
Т.е. ни при каком натуральном а корень уравнения не равен 3 и [pic] .
Итак: х = [pic] . Выделим из этой дроби целую часть:
(а2 + а + 6)/(-(а – 1) = [pic] = [pic] = [pic] =
= [pic] + [pic] = -(а + 2) + [pic] = -а – 2 - [pic] ;
Дробь - [pic] или [pic] - целая, если знаменатель 1 – а является делителем числа 8, т.е.:
1 – а = 4, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = 2, отсюда а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = -4, отсюда а = 5, значит х = -9;
1 – а = -2, отсюда а = 3, значит х = -9;
1 – а = 8, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = -8, отсюда а = 9, значит х = -12;
1 – а = 1, отсюда а = 0 – не принадлежит к натуральным числам;
1 – а = -1, отсюда а = 2, значит х = -12.
Ответ: целые решения уравнения – х = 0; -9; -12.
3.Решение самостоятельно.
№ 2:
Решить уравнение [pic] + [pic] = [pic] .
Решение:
[pic] + [pic] - [pic] = 0; ОДЗ: у ≠ 0; у ≠ а;
[pic] = 0;
5у – 3а – 4 = 0;
5у = 3а + 4;
у = [pic] ;
Выясним, при каком а у = 0: [pic] = 0, 3а = 4, а = [pic] ;
при каком а у = а: [pic] = а, 3а + 4 = 5а, 3а – 5а = -4, -2а = -4, а = 2.
Ответ: 1) если а ≠ [pic] и а ≠ 2, то уравнение имеет 1 корень у = [pic] ;
если а = [pic] и а = 2, то уравнение корней не имеет.
4.Запись домашнего задания.
Исследовать и решить уравнение с параметром [pic] - [pic] = [pic] .
Решение:
ОДЗ: х ≠ ±2а;
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, получаем:
х(х - 2а) – (2а + х)2 = -16а2;
х2 – 2ах – 4а2 – 4ах – х2 = -16а2;
6ах = 12а2; 6а(х – 2а) = 0.
1) если а ≠ 0, то х = 2а – не удовлетворяет ОДЗ;
2) если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0 – бесконечное множество корней;
Ответ: 1) при а ≠ 0 – нет решений;
2) при а = 0, х – любое.
Занятие № 11
Тема занятия: Решение задач с параметрами..
Цели: 1.Разобрать решение текстовых задач с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Подготовка к изучению нового материала.
При решении задач с параметрами приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи. Например, если вопрос задачи: «Сколько времени турист в пути?», то понятно, что в ответе должны получиться положительные числа; или «Сколько страниц в книге?» - в ответе только натуральные числа.
3.Изучение нового материала.
Задача № 1:
В седьмом, восьмом и девятом классах учится 105 учащихся. В восьмом классе учащихся на n больше, чем в седьмом, а в девятом на 3 меньше, чем в седьмом. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30 человек?
Р [pic] ешение:
в [pic] [pic] [pic] [pic] 7 классе – ? (х)
в 8 классе – на n больше (х + n) 105 учащихся.
в [pic] 9 классе – на 3 меньше (х – 3)
Составим уравнение: х + х + n + х – 3 = 105;
3х = 105 + 3 – n ;
3х = 108 – n;
х = [pic] ;
х = 36 – [pic] - учащихся в 7 классе;
36 – [pic] + n = 36 – [pic] + [pic] = 36 + [pic] - учащихся в 8 классе;
36 – [pic] – 3 = 33 – [pic] - учащихся в 9 классе;
Меньше всего учащихся в 7 или 9 классе, значит:
36 – [pic] ≥ 30; и 33 – [pic] ≥ 30;
- [pic] ≥ 30 – 36; - [pic] ≥ -3;
- [pic] ≥ -6; n ≤ 9.
n ≤ 18.
Т.к. количество учащихся является натуральным числом, то n кратно 3, т.е. n = 3 ;6; 9.
если n = 3, то в 7 классе 36 – [pic] = 35 учащихся;
в 8 классе 36 + 2 = 38 учащихся;
в 9 классе 33 – 1 = 32 учащихся;
если n = 6, то в 7 классе 36 – [pic] = 34 учащихся;
в 8 классе 36 + 4 = 40 учащихся;
в 9 классе 33 – 2 = 31 учащихся;
если n = 9, то в 7 классе 36 – [pic] = 33 учащихся;
в 8 классе 36 + 6 = 42 учащихся;
в 9 классе 33 – 3 = 30 учащихся;
Ответ: в 7, 8, 9 классах соответственно 35, 38, 32 ученика, или 34, 40, 31 ученик, или 33, 42, 30 учеников.
4.Закрепление. ( у доски)
Задача № 2:
На нашей улице 24 дома, которые имеют 12, 16, 17 этажей. Известно, что 17-ти этажных домов в два раза больше, чем 16-ти этажных, а 12-ти этажных домов на n меньше, чем 16-ти этажных. Сколько домов каждого вида?
1 [pic] [pic] 7-ти этаж. в 2 раза больше (2х)
1 [pic] 6-ти этаж. (х) 24 дома
1 [pic] [pic] 2-ти этаж. на n меньше (х – n)
Составим уравнение: 2х + х + х – n = 24;
4х = 24 +n;
х = [pic] ;
х = 6 + [pic] - 16-ти этажных домов;
(6 + [pic] )*2 = 12 + [pic] - 17-ти этажных домов;
6 + [pic] - n = 6 + [pic] - [pic] = 6 – [pic] - 12-ти этажных домов;
Т.к. n является натуральным числом, то n кратно 4, т.е. n = 4, 8, 12, …
По смыслу задачи количество домов должно быть больше 0, т.е 6 – [pic] > 0; - [pic] > -6; 3n < 24; n < 8, отсюда следует n = 4.
если n = 4, то 6 + [pic] = 7 – 16-ти этажных домов;
12 + [pic] = 14 – 17-ти этажных домов;
6 – [pic] = 3 – 12-ти этажных дома.
Ответ: 7 домов в 16 этажей; 14 домов в 17 этажей; 3 дома в 12 этажей.
5.Запись домашнего задания.
Задача:
Сумму денег в а рублей выплатили пятирублевыми и десятирублевыми монетами, причем тех и других выдали поровну. Сколько было выдано пятирублевых монет?
Решение:
5 [pic] -ти рублевые монеты х штук (5х)
а рублей
10-ти рублевые монеты х штук (10х)
Составим уравнение: 10х + 5х = а;
15х = а;
х = [pic] штук 5-ти рублевых и столько же 10-ти рублевых монет.
Т.к. х является натуральным числом, то а кратно 15,т.е. а = 15; 30; 45; 60;…
если а = 15, то х = 1;
если а = 30, то х = 2;
и. т. д.
Ответ: х = [pic] , где а { 15; 30; 45; 60;…}, т.е а = 15n, где n € N.
Занятие № 12
Тема занятия: Решение задач с параметрами.
Цели: 1.Закрепить способ решения текстовых задач с параметрами.
2. Разобрать задачи на движение с параметрами.
Ход занятия.
1.Проверка домашнего задания.
2.Подготовка к изучению нового материала.
Решить задачу:
Расстояние от посёлка до города 72 км. Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 12 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста.
Решение: Ошибочно думать, что средняя скорость равна среднему арифметическому чисел 18 и 12; vср. = s/t (причём, s-весь путь, а t-всё время, за которое этот путь пройден).
Время на первой половине пути t1=36/18=2 часа, время на второй половине пути t2=36/12=3часа. Всё время 3+2=5 часов, значит vср. =72/5=14,4 км/ч. (А среднее арифметическое чисел 18 и 12 равно (18+12)/2=15)
Ответ: 14,4 км/ч.
3.Изучение нового материала.
При решении некоторых задач бывает целесообразно обозначать неизвестные величины буквами, которые выполняют роль параметра, а в процессе решения эти буквы исключаются.
Задача № 1:
Половину пути поезд шел с некоторой постоянной скоростью, а другую половину пути со скоростью на 30 км/ч большей. Найти скорость на первой половине пути, если известно, что средняя скорость пути была 72 км/ч.
Решение:
Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой половине пути, тогда х + 30 км/ч будет скорость на второй половине пути.
Пусть S – весь путь; переменная S играет роль параметра.
Составим таблицу:
-
пути
[pic]
х
[pic]
II половина
пути
[pic]
х + 30
[pic]
V ср. = [pic] = 72;
V ср. = S : [pic] = 72;
S : [pic] = 72;
[pic] = 72; [pic] = 72;
[pic] = 72; [pic] = 72;
[pic] - 72 = 0; [pic] = 0 (ОДЗ: х ≠ -15);
х2 + 30х – 72х – 1080 = 0; х2 – 42х – 1080 = 0;
D' = 441 + 1080 = 1521;
х1,2 = 21 ± 39; х1 = 60, х2 = -18 – не подходит к условию задачи. Отсюда следует х = 60 км/ч.
Ответ: скорость на первой половине пути равна 60 км/ч.
( Ещё легче было бы решить данную задачу, если бы весь путь обозначить за 2S)
4. Закрепление
Решить задачу:
Первую треть пути автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а остальной путь - со скоростью, на 20 км/ч меньше первоначальной. Какой была первоначальная скорость автомобиля, если его средняя скорость на всём пути была 45 км/ч?
Решение:
Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой трети пути, тогда (х – 20) км/ч скорость на остальном пути, т. е. на 2/3 части пути. Пусть 3S – весь путь; переменная S играет роль параметра, тогда треть пути S, а 2/3 части пути будет 2S.
Составим таблицу:
-
пути
S
х
[pic]
остальной
путь
2S
х -20
[pic]
V ср. = 45 км/ч, а также V ср. = 3S/( [pic] + [pic] ).
Составим уравнение:
3S/( [pic] + [pic] )=45; [pic] = 45; [pic] = 45; [pic] = 45;
[pic] – [pic] = 0; 3х2 – 60х – 135х + 900 =0; 3х2 – 195х + 900 =0;
х2 – 65х + 300 =0; х1 = 60 км/ч – первоначальная скорость автомобиля;
х2 = 5 – не подходит к условию задачи.
Ответ: первоначальная скорость автомобиля равна 60 км/ч.
5.Запись домашнего задания
Решите задачу:
Отец старше сына в n раз, а его дочь моложе брата в 2 раза. Сколько лет отцу, сыну и дочери, если отец старше дочери на 28 лет?
Решение:
О [pic] тец ? в n раз больше (2хn), больше на 28 лет
С [pic] [pic] [pic] ын ? (2х)
Д [pic] очь ? (х) меньше в 2 раза
Решение:
Пусть х лет будет дочери, тогда сыну 2х лет, а отцу 2хn лет.
Составим уравнение:
2хn-х = 28
х(2n-1) = 28
х= [pic] ( лет ) дочери;
[pic] = [pic] (лет) сыну;
[pic] (лет) отцу;
если n = 1,5, то [pic] = 14 лет дочери; 28 лет сыну; 42 года отцу – не реально!
если n = 2,5, то [pic] = 7 лет дочери; 14 лет сыну; 35 лет отцу;
если n = 4, то [pic] = 4 года дочери; 8 лет сыну; 32 года отцу;
если n = 14,5, то 1 год дочери; 2 года сыну; 29 лет отцу.
Ответ: дочери 7 лет, сыну 14 лет, отцу 35 лет;
дочери 4 года, сыну 8 лет, отцу 32 года;
дочери 1 год, сыну 2 года, отцу 29 лет.
Занятие № 13
Тема занятия: Зачетная работа.
Вариант – 1. Вариант – 2.
№ 1.
Решить линейное уравнение с параметром:
а2(х – 5) = 25(х – а);
а2х – 5а2 = 25х – 25а;
а2х – 25х = 5а2 – 25а;
х(а2 – 25) = 5а(а – 5);
х = [pic] ;
х = [pic] = [pic] ;
если а ≠ 5; а ≠ -5;
если а = 5, то 0х = 0 – бесконечное множество корней;
если а = -5, то 0х = -250 – нет корней.
Ответ: если а ≠ ±5, то 1 корень х = [pic] ;
если а = 5, то х – любое;
если а = -5, то нет решений.
№ 2.
Квадратное уравнение с параметром.
При каких значениях параметра m уравнение имеет 2 корня?
5х2 + mх + 5 = 0;
Уравнение имеет 2 корня, если D > 0.
D = m2 – 4*5*5 = m2 – 100;
m2 – 100 > 0;
(m – 10)(m + 10) > 0;
Ответ: (- ∞; -10) U ( 10; +∞)
№3
Решить неравенство с параметром.
b2x + 6bх > b -3 – 9х;
b2x + 6bх- 9х > b - 3;
х(b2 + 6b + 9) > b – 3;
х(b + 3)2 > b – 3;
при любом b ≠ -3 выражение (b + 3)2 > 0,
значит х > [pic] ;
если b = -3, то получим неравенство 0 > -6 – неверно, значит нет решений;
Ответ: если b ≠ -3, то х > [pic] ;
если b = -3, то нет решений.
.
а2х = а(х + 2) – 2;
а2х = ах + 2а – 2;
(а2 – а)х = 2а – 2;
х = [pic] = [pic] = [pic] ;
если а ≠ 0, а ≠ 1;
если а = 0, то 0х = -2 – нет решений;
если а = 1, то 0х = 0 – бесконечное множество решений;
Ответ: если а ≠ 0, а ≠ 1, то 1 корень х = [pic] ;
если а = 0, то нет корней;
если а = 1, то х – любое.
При каких значениях t уравнение не имеет корней?
6х2 + tх + 6 = 0;
Уравнение не имеет корней, если D < 0.
D = t 2- 4*6*6 = t 2-144;
t 2-144 < 0;
(t – 12)(t + 12) < 0;
Ответ: (-12;12)
а – 4х > -2 – ах;
ах – 4х > -2 – а;
х(а – 4) > -2 – а;
если а – 4 > 0,т.е. а > 4, то х > [pic] ;
если а – 4 < 0,т.е. а < 4, то х < [pic] ;
если а = 4, то 0 > -6 – верно при любом х бесчисленное множество решений.
Ответ: если а < 4, то х < [pic] ;
если а > 4, то х > [pic] ;
если а = 4, то бесчисленное множество решений.
№ 4.
Решить задачу:
В автобусе ехал 51 пассажир. Причем женщин было в b раз больше, чем мужчин, а детей на b меньше, чем мужчин. Сколько женщин, мужчин и детей ехало в автобусе?
Решение:
ж [pic] [pic] енщин в b раз больше (bх)
м [pic] ужчин (х) 51 пасс.
д [pic] [pic] етей на b меньше (х – b)
Пусть в автобусе было х мужчин.
bх + х + х – b = 51;
2х + bх = 51 + b;
х(2 + b) = 51 + b;
х = [pic] = [pic] = [pic] + 1 (мужчин);
х € N, значит 49 кратно 2 + b; 49 делится на 1; на 7; на 49, если 2 + b = 1, то b = -1 – не подходит;
если 2 + b = 49, то b = 47, х = 2, bх = 94 – это больше 51, значит не подходит;
т.е. 2 + b = 7, b = 5,
х = [pic] + 1 = 8 (мужчин);
8*5 = 40 (женщин);
8 – 5 = 3 (ребенка).
Ответ: в автобусе ехало 40 женщин, 8 мужчин и 3 ребенка.
На элективные курсы по математике ходят 30 учащихся из 9-х классов. Известно, что из 9-в учащихся в 2 раза больше, чем из 9-а, из 9-б курсы посещают на b учеников меньше, чем из 9-в. Сколько учеников из каждого класса посещают данные курсы?
Р [pic] ешение:
9 [pic] [pic] -а (х)
9 [pic] -б на b меньше (2х – b) 30 чел.
9 [pic] -в в 2 раза больше 2х
Пусть в 9-а х учеников посещают курсы.
х + 2х – b + 2х = 30;
5х – b = 30;
5х = 30 + b;
х = [pic] = [pic] (учеников) в 9-а классе;
х € N, значит b кратно 5, т.е b = 5; 10; 15; 20…
если b = 5, то х = 6 + 1 = 7 (ч-к)– в 9-а;
7 * 2 = 14 (ч-к)– в 9-в;
14 – 5 = 9 (ч-к)– в 9-б;
если b = 10, то 8 (ч-к) – в 9-а; 16 (ч-к) – в 9-в; 6 (ч-к). – в 9-б;
если b = 15, то 9 (ч-к) – в 9-а; 18 (ч-к) – в 9-в; 3 (ч-к) – в 9-б;
если b = 20, то 10 (ч-к) – в 9-а; 20 (ч-к) – в 9-в; а в 9-б никто не ходит, значит b = 20 не подходит.
Ответ: на элективные курсы из 9-а, 9-б, 9-в классов ходят соответственно 7, 9, 14 человек; или 8, 6, 16 человек; или 9, 3, 18 человек.
