Занятие 1
Задачи для разминки.
№ 1. На двух полках 25 книг, причём на одной из полок книг на 3 больше чем на другой. Сколько книг на каждой из полок?
№ 2. В отряде 51 ученик. Правда ли, что найдутся 5 человек, которые справляют свой день рождения в один месяц?
№ 3. В корпусе летают 1000 рыжих и серых комаров. Рыжих – 700, голодных – 500, а голодных рыжих -300. Сколько в корпусе сытых серых комаров?
№ 4. В книжке интересных задач в три раза больше, чем скучных. Какой процент скучных задач содержит книжка? На какое число гарантированно делится общее количество задач? На какое число гарантированно делится количество задач, если интересных задач в 4 раза больше, чем скучных?
№ 5. Из города А в город Б можно доехать по 5-ти дорогам, а из города Б в город В по 6-ти дорогам. Сколькими способами можно добраться из города А в город В, проехав через город Б?
№ 6. После 7-ми стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла?
№ 7. У Вити сестёр на две больше, чем братьев. На сколько в этой семье девочек больше, чем мальчиков?
№ 8. Два карандаша и ластик стоят столько же, сколько один карандаш и четыре ластика. Во сколько раз карандаш дороже ластика?
№ 9. Метрострой нанял двух кротов рыть туннель. Один из кротов роет быстрее, а едят они одинаково. Что выгоднее (в смысле затрат продуктов) для метростроя: совместная работа кротов с двух сторон до встречи, или поручить каждому кроту вырыть половину туннеля? (Кто не работает, тот не ест!)
Аналогия и обоснование.
Задача о боксёрах. Сколько боёв нужно провести по олимпийской системе (проигравший выбывает), чтобы выявить победителя. А) для 8 боксёров. Б) для 16 боксёров. В) для 13 боксёров. Г) для n боксёров ?
Чётность. Основные свойства чётных и нечётных чисел. Запись чётных и нечётных чисел в общем виде: 2n и 2n + 1.
№10. Чётной или нечётной будет сумма, если среди слагаемых: а) 3 нечётных и 5 чётных? Б) 2001 нечётных и 25 чётных? В) 2000 нечётных и 55 чётных?
№ 11. Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 20112011?
№ 12. Петя купил в магазине 6 карандашей, 2 линейки, 10 тетрадей, несколько шариковых ручек по 5,2 рубля за штуку, 3 резинки по 15 копеек и пенал за 1,2 рубля. За все покупки с него взяли 9, 26 рубля. Докажите, что расчёт произведён неправильно.
№ 13. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел? (В магическом квадрате все суммы чисел по строкам и столбцам равны между собой.)
Чередование.
№ 14. Учитель написал на листке бумаги число 20. Тридцать три ученика передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 10?
№ 15. Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
Разбиение на пары.
№ 16. Можно ли стороны и диагонали правильного 13-тиугодьника раскрасить в 12 цветов так, чтобы в любой вершине сходились все цвета?
№ 17. Можно ли на шахматной доске расставить 9 ферзей так, чтобы каждый из них бил ровно одного ферзя?
№ 18. Расставьте между указанными числами знаки + и – так, чтобы получился нуль:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Домашнее задание.
№ 1. Можно ли доску размером 5х5 заполнить костяшками домино размером 1х2?
№ 2. Директор школы в своём отчёте указал, что в школе 3600 учащихся, причём мальчиков на 373 больше чем девочек. Но умный инспектор, сразу понял, что в отчёте допущена ошибка. Как он догадался?
№ 3. Петя купил общую тетрадь объёмом в 96 листов и пронумеровал все страницы по порядку числами от 1 до 192. Хулиган Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2000?
Решения и ответы к занятию 1.
Задачи для разминки.
№1. 11 и 14
№ 2. да, правда. Если бы в каждом месяце родились не более 4-х человек, то всего было бы не больше 4х12=48 человек.
№ 3. 1000- 500=500 (комаров) – сытых, а сытых рыжих 700- 300=400(комаров), тогда сытых серых комаров: 500-400=100.
№ 4. Пусть в книжке Х скучных задач, тогда интересных 3Х, всего Х+3Х=4Х задач. Один из множителей 4 – это означает, что число таких задач гарантированно делится на 4. Скучные задачи составляют Х/4Х = 1/4= 25% от общего числа задач. Если интересных задач больше в 4 раза, то Х+4Х=5Х, их число гарантированно делится на 5.
№ 5. 5х6=30
№ 6. Одновременно вдвое уменьшились длина, ширина и высота куска мыла, тогда весь кусок мыла уменьшился в 2х2х2=8 раз. За семь стирок использовано 7/8 куска, осталась 1/8 часть куска, её хватит на одну стирку.
№ 7. на 1.
№ 8. 2К + 1Л = 1К + 4Л, 2К + 1Л – 1К = 4 Л, 1К+1Л=4Л, 1К=4Л-1Л, 1К=3Л, значит карандаш дороже в три раза.
№ 9. В первом случае кроты быстрее выроют этот участок, значит потребуется меньше еды.
Аналогия и обоснование.
Задача о боксёрах.- После каждого боя количество участников уменьшается на одного, в конце должен остаться один участник, значит боёв должно быть на один меньше исходного количества участников. А)7, б) 15, в)12, г) n- 1.
Чётность. Основные свойства чётных и нечётных чисел. Запись чётных и нечётных чисел в общем виде: 2n и 2n + 1.
№ 10. а) нечётной, б) нечётной, в) чётной.
№ 11. Нет, не могло. Пусть ХУ(Х+У) = 20112011. Справа нечётное число, значит слева все множители Х, У и (Х+У) должны быть нечётными. Если Х и У нечётные, то (Х+У) – чётное число.
№ 12. Карандашей, линеек и тетрадей чётное количество, поэтому за них отдали чётное число копеек. Шариковые ручки и пенал стоят чётное число копеек. Резинки стоят нечётное число копеек. Общая сумма будет нечётным числом. 9,26 – чётное число, значит расчёт произведён неправильно.
№ 13. Среди первых 36-ти простых чисел ровно одно чётное, это число 2. В той строке, где стоит число 2 – имеется 5 нечётных и одно чётное число, то есть сумма чисел в этой строке – нечётная. В остальных строках шесть нечётных чисел, то есть сумма чисел в таких строках – чётна. Значит суммы чисел во всех строках не могут быть равны.
Чередование.
№ 14. Каждый ученик прибавляя или вычитая 1 – меняет чётность числа 20(чётного числа). Так как учеников 33, то на листе должно получиться нечётное число. Число 10 не может получиться.
№ 15. Конь ходит с белых клеток на чёрные, а с черных на белые. На клетке такого цвета, с которого он вышел, конь может оказаться только через чётное число ходов.
Разбиение на пары.
№ 16. Из каждой вершины 13-тиугольника выходит 12 отрезков. Пусть из каждой вершины выходит отрезок цвета № 1., тогда вершины должны разбиться на пары, соединённых отрезком цвета №1. но 13 – нечётное число и это невозможно.
№ 17. Нет. Если бы это было возможно, то ферзи должны были бы разбиться на пары бьющих друг друга. Число 9 нечётно и разбиться на пары невозможно.
№ 18. Среди написанных чисел: 7 нечётных и 6 чётных чисел. При любой расстановке знаков получим нечётное число.
