1. Пояснительная записка

1.1. Нормативные документы, обеспечивающие реализацию программы

1.2. Общая характеристика учебного предмета

Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точные названия блоков): арифметика; алгебра; геометрия; элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики. В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей стране, учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком и практически значимом материале. Эти содержательные компоненты, развиваясь на протяжении всех лет обучения, естественным образом переплетаются и взаимодействуют в учебных курсах.

Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Практическая значимость школьного курса алгебры обусловлена тем, что для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей необходима хорошая математическая подготовка.

Алгебра является одним из опорных предметов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин. В первую очередь это относится к предметам естественно-научного цикла, в частности к физике, информатике, химии. Развитие логического мышления и логической интуиции учащихся при обучении, умение аргументировать и обосновывать свои выводы и умозаключения, приводить чёткие определения, способствует также лучшему усвоению предметов гуманитарного цикла. Тем самым алгебра занимает ведущее место в формировании научно-теоретического мышления школьников.

Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.

Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности развитого воображения, алгебра развивает нравственные черты личности (настойчивость, целеустремлённость, творческую активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления) и умение аргументированно отстаивать свои взгляды и убеждения, а также способность самостоятельно принимать решения.

При обучении алгебры формируются умения и навыки умственного труда – планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическая оценка результатов.

1.1.3. Основные цели и задачи

Главной целью школьного математического образования обучающихся 8 классов является развитие компетентной личности путем включения его в различные виды ценностной человеческой деятельности: учеба, познание, профессионально-трудовой выбор, личностное саморазвитие, ценностные ориентации, поиск смыслов жизнедеятельности. С этих позиций обучение рассматривается как процесс овладения не только определенной суммой знаний и системой соответствующих умений и навыков, но и как процесс овладения компетенциями. Это определило цели обучения математики:

• Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин (физика, химия, информатика и другие), продолжения образования.

• Интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей.

• Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов.

• Воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

На основании требований Государственного образовательного стандарта в содержании предполагается реализовать актуальные в настоящее время компетентностный, личностно-ориентированный, деятельностный подходы, которые определяют задачи обучения:

• сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

• овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;

• изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

• развить логическое мышление и речь — умение логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

1.4. Характеристика класса

Приложение № 1

1.5. Место предмета в учебном плане

Согласно действующему в школе учебному плану на изучение алгебры в 8 классе отводится 3 учебных часа в неделю, всего 102 урока.

Из них:

- повторение на начало года – 3 часа;

- повторение – 6 часов,

- контрольные работы - 13 часов.

1.6. Используемый УМК

1. Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс: в 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений ФГОС/ А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2007.

2. Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс: в 2 ч. Ч. 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ФГОС/А. Г. Мордкович [и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс: метод, пособие для учителя / А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2010.

4. Александрова, Л. А. Алгебра. 8 класс: самостоятельные работы / Л. А. Александрова; под ред. А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2011.

5. Александрова, Л. А. Алгебра. 8 класс: контрольные работы / Л. А. Александрова; под ред. А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2011.

6. Мордкович, А. Г. Алгебра. 7-9 кл. тесты / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. - М.: Мнемозина, 2011.

2. Содержание учебного предмета, курса

2.1. Структура курса

Тема раздела

Кол-во часов

Алгебраические дроби

21

Функция у = . Свойства квадратного корня

18

Квадратичная функция. Функция у =

18

Квадратные уравнения

21

Неравенства

15

Повторение

9

2.2. Содержание учебного материала

1. Алгебраические дроби (21 час)

Понятие алгебраической дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение алгебраических дробей.

Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень.

Рациональное выражение. Рациональное уравнение. Решение рациональных уравнений (первые представления).

Степень с отрицательным целым показателем.

Основная цель — выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

2. Функция у = . Свойства квадратного корня (18 часов)

Рациональные числа. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Иррациональные числа. Множество действительных чисел.

Функция у = , её свойства и график. Выпуклость функции. Область значений функции.

Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Модуль действительного числа. График функции у = |х|. Формула .

Основная цель — систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие о числе; выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

3. Квадратичная функция. Функция у = (18 часов)

Функция у = ax², её график, свойства.

Функция у = , её свойства, график. Гипербола. Асимптота.

Построение графиков функций у = f(x + l), у = f(x) + m, у = f(x + l) + m, у = − f(x) по известному график функции у = f(x).

Квадратный трехчлен. Квадратичная функция, её свойства и график. Понятие ограниченной функции. Построение и чтение графиков кусочных функций, составленных из функций у = С, y = kx + m, у = , y = ax² + bx + c, у = , у = |х|.

Графическое решение квадратных уравнений.

Основная цель — расширить сведения о свойствах функций, ознакомить учащихся со свойствами и графиком квадратичной функции и функции обратной пропорциональности.

4. Квадратичные уравнения (21 час)

Квадратное уравнение. Приведенное (неприведенное) квадратное уравнение. Полное (неполное) квадратное уравнение. Корень квадратного уравнения. Решение квадратного уравнения методом разложения на множители, методом выделения полного квадрата.

Дискриминант. Формулы корней квадратного уравнения. Параметр. Уравнение с параметром (начальные представления).

Алгоритм решения рационального уравнения. Биквадратное уравнение. Метод введения новой переменной.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Частные случаи формулы корней квадратного уравнения.

Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Иррациональное уравнение. Метод возведения в квадрат. Первые представления о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнения. Посторонние корни. Проверка корней.

Основная цель — выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

5. Неравенства (15 часов)

Свойства числовых неравенств.

Неравенство с переменной. Решение неравенств с переменной. Линейное неравенство. Равносильные неравенства. Равносильное преобразование неравенства.

Квадратное неравенство. Алгоритм решения квадратного неравенства.

Возрастающая функция. Убывающая функция. Исследование функций на монотонность (с использованием свойств числовых неравенств).

Приближенные значения действительных чисел, погрешность приближения, приближение по недостатку и избытку. Стандартный вид числа.

Основная цель — ознакомить учащихся с применением неравенств для оценки значений выражений, выработать умение решать линейные и квадратичные неравенства с одной переменной.

3. Основные требования к уровню подготовки учащихся

Глава 1. Алгебраические дроби

ЗНАТЬ: Понятие алгебраической дроби; основное свойство дроби; описание словами правил умножения и деления алгебраических дробей, возведения алгебраической дроби в степень, сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями; понятие общего знаменателя нескольких дробей; описание словами правила отыскания общего знаменателя нескольких дробей и правило сложения дробей с разными знаменателями.

УМЕТЬ: Находить значение алгебраической дроби, находить допустимые и недопустимые значения переменной для данной алгебраической дроби; применять основное свойство алгебраической дроби; применять основное свойство алгебраической дроби для сокращения дробей, для приведения дробей к общему знаменателю; преобразовывать рациональные выражения с использованием правил арифметических операций над алгебраическими дробями; решать уравнения вида , где q(x) – многочлен, и уравнения, сводящиеся к указанному виду; решать соответствующие текстовые задачи.

Глава 2. Функция у = . Свойства квадратного корня

ЗНАТЬ: Понятие квадратного корня з неотрицательного числа; свойства квадратных корней для неотрицательных подкоренных выражений; график функции , описание с помощью графика свойств этой функции.

УМЕТЬ: Вычислять конкретные значения и строить графики функций , , и функций, заданных различными формулами на различных промежутках; графически решать уравнения вида = g(x), где у = g(x) – одна из ранее изученных функций; находить наибольшее и наименьшее значение функции на заданных промежутках; читать график; решать задачи на функциональную символику.

Глава 3. Квадратичная функция. Функция у =

ЗНАТЬ: Графики функций , , описание с помощью графиков свойств этих функций; алгоритм построения графиков функций у = f(x + l), у = f(x) + m, у = f(x + l) + m, у = ax² + bx + c, у = −f(x); уравнения оси симметрии параболы, служащей графиком квадратичной функции; описывать словами процесс графического решения уравнения и процесс построения графика кусочной функции; понимать смысл записи у = f(x).

УМЕТЬ: Вычислять конкретные значения функций , , у = ax² + bx + c и функций, заданных различными формулами на различных промежутках; строить графики функций с помощью параллельного переноса известных графиков; составлять уравнение оси параболы у = ax² + bx + c, находить координаты вершины параболы, отвечать на вопрос о направлении ветвей параболы в зависимости от знака старшего коэффициента; отвечать на вопрос о расположении гиперболы в зависимости от знака коэффициента k; графически решать уравнения вида f(x) = g(x), где f(x) и g(x) – известные из курса функции; находит наибольшее и наименьшее значение упомянутых выше функций на заданных промежутках; читать графики; решать задачи на функциональную символику.

Глава 4. Квадратные уравнения

ЗНАТЬ: Понятие квадратного уравнения и его видов (полное, неполное, приведенное, неприведенное); дискриминант квадратного уравнения и его связь с числом действительных корней уравнения; формулы корней квадратного уравнения; теорему Виета; разложение на множители квадратного трехчлена; понятие равносильности уравнений, о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений.

УМЕТЬ: Применять различные формулы корней для решения квадратного уравнения; решать рациональные (в частности, биквадратные) уравнения, решать несложные иррациональные уравнения; отсеивать посторонние корни (достаточно простые случаи); четко выделять три этапа математического моделирования при решении текстовых задач.

Глава 5. Неравенства

ЗНАТЬ: Свойства числовых неравенств; первые представления о равносильности неравенств, о равносильных преобразованиях неравенств; понятие возрастания и убывания функции, исследовать на монотонность функции y =kx + m, , , у = ax² + bx + c, , у = |х|.

УМЕТЬ: Применять свойства числовых неравенств для доказательства неравенств, для решения линейных неравенств; применять алгоритм решения квадратных неравенств.

Действительные числа

ЗНАТЬ: Представление о рациональных, иррациональных, действительных числах; истолкование рационального числа как обыкновенной дроби и как бесконечной десятичной периодической дроби; числовую прямую как геометрическую модель множества действительных чисел; модуль действительного числа, его свойства и геометрический смысл; функцию у = |х|, её свойства и график; тождество ; определение и свойства степени с любым целым показателем; понятие стандартного вида числа.

УМЕТЬ: Использовать новые символы математического языка N, Z, Q, R; приводить примеры рациональных и иррациональных чисел; сравнивать действительные числа по величине и располагать их в порядке возрастания на числовой прямой; находить модуль любого действительного числа и использовать геометрический смысл модуля для решения простейших уравнений с модулями; использовать в несложных случаях формулу ; находить приближенное значение действительного числа с заданной точностью; вычислять aⁿ для любых действительных чисел а ≠ 0 и любых целых значений n; использовать свойства степени с целым показателем для вычисления значений арифметических и алгебраических выражений, для преобразования алгебраических выражений, для доказательства тождеств.

4. Система оценивания

Оценка устных ответов обучающихся

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

• изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

• показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

• продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость использованных при ответе умений и навыков;

• отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна – две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворен в основном требованиям на отметку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математического содержания ответа, исправленные по замечанию учителя.

• допущены ошибки или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»).

• имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий и, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

• при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;

• обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Оценка письменных работ обучающихся

Отметка «5» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью.

• в логических рассуждениях и обоснованиях нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала);

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умения обосновывать рассуждения не являлись специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки);

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух- трех недочетов в выкладках, чертежах или графика, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными знаниями по данной теме в полной мере.

Общая классификация ошибок

При оценке знаний, умений и навыков учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

• незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

• незнание наименований единиц измерения;

• неумение выделить в ответе главное;

• неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

• неумение делать выводы и обобщения;

• неумение читать и строить графики;

• неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

• потеря корня или сохранение постороннего корня;

• отбрасывание без объяснений одного из них;

• равнозначные им ошибки;

• вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

• логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести

• неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

• неточность графика;

• нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

• нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

• неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

• нерациональные приемы вычислений и преобразований;

• небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

5. Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение

Для проведения уроков математики имеется кабинет математики.

Оснащение процесса обучения математике обеспечивается библиотечным фондом, печатными пособиями, а также информационно-коммуникативными средствами, техническими средствами обучения.

1. 1. Библиотечный фонд (книгопечатная продукция)

• Нормативные документы: Примерная программа основного общего образования по математике, Планируемые результаты освоения программы основного общего образования по математике, стандарт основного общего образования, Федеральный государственный стандарт основного общего образования (проект).

• Авторские программы по курсу алгебры в 7-9 классах.

• Учебник и задачник по алгебре для 8 класса.

• Учебные пособия: дидактические материалы, сборники контрольных работ по алгебре для 7-9 классов.

• Научная, научно-популярная, историческая литература.

• Справочные пособия (энциклопедии, справочники по математике).

• Методические пособия для учителя.

5.2. Печатные пособия

• Таблицы по алгебре для 7-9 классов.

• Портреты выдающихся деятелей математики.

5.3. Технические средства обучения

• Компьютер • Колонки

• Проектор

5.4. Учебно-практическое оборудование

• Комплект чертёжных инструментов классных: линейка, транспортир, угольник, циркуль.

5.5. Оборудование кабинета математики

• Столы ученические -15 шт. • Стол учительский - 1шт.

• Стулья ученические – 30 шт. • Доски классные - 1 шт.

• Тумбочка

• Шкафы книжные - 2 шт.

5.6. Информационные ресурсы

1. [link]
   

   Творческое задание № 1

   Найдите a и b из тождества:

   а) ; б) ; в) ; г)

   Ответы: а) а = 1; b = −1; б) а = − 0,5; b = 0,5 (предварительно убедитесь, что х² + 2х – 3 = (х + 3)(х – 1)); в) а = , b = −; г) а = 1, b = −1 (предварительно убедитесь, что х² − х – 6 = (х − 3)(х + 2));

   
   

   Творческое задание № 2

   1. Найти допустимые значения переменной и упростить дробь:

   а) ; б) ; в) ; г) .

   
   

   2. Известно, что . Найдите:

   
   

   а) ; б) ; в) ; г) .

   
   

   3. Известно, что Найдите:

   
   

   а); б) ; в) ; г) .

   
   

   
   

   Творческое задание № 3

   1. Для данной функции найдите обратную. Постройте графики этих функций.

   а) у = 2х – 1; б) у = 2 – 3х; в) у = ; г) у = − .

   2. При каких значениях a и b функция у = ax + b совпадает с обратной функцией?

   
   

   Творческое задание № 4

   1. 1. Найдите наибольшее значение выражения. При каком значении а оно достигается?

   а) ; б) .

   
   

   1. 2. Найдите наименьшее значение выражения. При каком значении а оно достигается? (Указание: избавьтесь от иррациональности в знаменателе).

   а) ; б) .

   
   

   1. 3. Найдите величину , если (Указание: возвести в квадрат равенство )

      4. Найти сумму , если разность . (Указание: Умножить равенство на выражение ).

      5. Упростите выражение:

   а) ; б) ;

   в) г) ;

   
   

   Творческое задание № 5

   1. При каких значениях а уравнение является квадратным? Напишите это уравнение.

   а) (а-1)х³ + 3ах² +2х 5а = 0; б) (2а – 4)х³ – (а – 2)х² + ах – 3 = 0;

   в) (2а + 4)х³ – 2ах² + ах – 7 = 0; г) (3а + 6)х³ + (а + 2)х² + 2х + а = 0;

   
   

   2. При каких значениях а уравнение является квадратным? При каких значениях а уравнение будет линейным? Напишите эти уравнения и решите их.

   а) (а – 2)х² + 2ах – 5 = 0; б) (а – 1)(а + 2)х² + ах – 3а + 1 = 0;

   в) (2а + 2)х² – 3ах + а – 2 = 0; г) (а² – 9)х² + 2ах + 2а – 5 = 0.

   3. При каких значениях а уравнение является неполным квадратным? Напишите это уравнение и решите его.

   а) 2х² – (а – 3)х – 5а = 0; б) 3х² – (2а + 4)х + 2а = 0;

   в) (а – 1)х² + (а + 2)х – 3а = 0; г) (3а + 6)х² + (а – 1)х + 2а – 6 = 0.

   
   

   Творческое задание № 6

   1. Докажите, что при всех значениях параметра а квадратное уравнение имеет два различных корня:

   а) 3х² – 4ах – 2 = 0; б) 2х² + 5ах – 3 = 0;

   в) 2х² + 3ах – а² – 1 = 0; г) 4х² – 5ах – 2а² – 3 = 0.

   Указание: найдите дискриминант уравнения и сравните его с нулем.

   2. Решите уравнение при всех значениях параметра а:

   а) х² – 5ах + 6а² = 0; б) х² + ах – 2а² = 0;

   в) 6х² + ах – а² = 0; г) 8х² – 2ах – а² = 0;

   д) х² + (а – 1)х – а = 0; е) х² – (2а + 3)х + 6а = 0;

   3. Решите уравнение:

   а) х² + 6|x| − 7 = 0; б) x² − |x| − 6 = 0;

   в) |x² – 5x + 4| = 4; г) |x² + 3x + 2| = 2;

   д) |x² + x – 3| = x; е) |x² – x – 8| = − x;

   ж) |x² + 4x + 3| = |x + 1|; з) |x² – 4x + 10| = |x + 4|.

   
   

   
   

   Творческое задание № 7

   1. Решите уравнение:

   а) б) в) ; г) ;

   
   

   д) е) ; ж) ; з) .

   2. При всех значениях параметра а решите уравнение:

   а) б) ; в) ; г) ;

   д) ; е) ; ж) ; з)

   
   

   
   

   Творческое задание № 8

   1. Квадратное уравнение 3х² – 5х + 1 = 0 имеет корни х1 и х2. Напишите квадратное равнение, корни которого равны:

   а) – х1 и – х2; б) 3х1 и 3х2; в) х1 + 1 и х2 + 1; г) и .

   2. Пусть корни квадратного уравнения 6х2 – 5х – 2 = 0 равны х1 и х2. Не решая уравнения, найдите:

   а) х1 + х2; б) х1х2; в) + ; г) ; д) .

   
   

   Творческое задание № 9

   1. Докажите неравенства (используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим):

   а) а² + b² ≥ 2|ab|; б) (a, b – числа одного знака); в) (a, b – числа одного знака); г) (a ≥ 0);

   д) (a ≥ 0); б) (a³ + b)(a + b³) ≥ 4a²b² (a, b ≥ 0); в) (a + 1)(b + 1)(ab + 1) ≥ 8ab (a, b ≥ 0); г) (a + b)(ab + 9) ≥ 12ab (a, b ≥ 0).

   2. Найдите:

   а) наименьшее значение выражения х + у, если ху = 16 и х > 0;

   б) наименьшее значение выражения 3х + у, если ху = 12 и у > 0;

   в) наибольшее значение выражения ху, если х + у = 8 и х, у > 0;

   г) наибольшее значение выражения ху, если 3х + 5у = 30 и х, у > 0.

   
   

   
   

   21