Подборка материала к занятиям по внеурочной деятельности
“ Занимательная математика”
Занятие 1 Тема: Решение логических задач. (Числа).
Цель: Начинаем с решения простых задач. Постепенно научимся решать сложные задачи, чтобы развивать математическую логику.
Задачи: 1. Для развития быстрого счета каждое занятие будем начинать с устного счета.
2. Работу будем проводить в парах, чтобы была возможность рассуждать, обсуждать и записывать каждый ход решения задачи. Научиться правильному письменному выражению своих мыслей.
План: 1. Организационный момент.
2. Устный счет.
3. Показать решение одной задачи.
4. В парах выполнить решение аналогичной задачи.
5. Итог работы.
Ход:
Установите закономерность в ряды чисел: 186,345,***,713. Найдите третье число.
Может ли число, составленное из одних четверок, делится на число, составленное из одних троек? А наоборот?
Сколько чисел существует от единицы до тысяча, неделимых на два и пять?
В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите эти числа.
В законопослушной семье возраст папы представляет собой точный квадрат, а произведение цифр его возраста равно возрасту мамы. Возраст дочери и сына соответственно равны сумме цифр возраста папы и мамы. Сколько лет каждому члену семьи?
Расставьте цифры 1,2,3,4,5,6,7 в кружки так, чтобы каждая сумма тройки чисел на прямых была одинаковой.
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на три, и на четыре. Придумайте код, открывающий сейф.
В ряд выписали 11 натуральных чисел так, что сумма любых трех соседних чисел равно 21. На первом месте стоит число семь, а на девятом – 6. Какое число стоит на втором месте?
Пятизначное число умножили на девять. При этом получили данное число с обратным порядком цифр. Найти это число.
Таня в 6 раз моложе своего прадедушки. Кроме того, она заметила, что если между цифрами ее возраста поставить ноль, то получится возраст прадедушки. Сколько ей лет?
Задача 1. 186,345,***,713.
Решение: В разряде сотых: 1,3,*,7 – последовательность нечетных чисел, * = 5.
В разряде десятых: 8,4,*,1. 8 : 2 = 4, 4 : 2 = 2, 2 : 2 = 1. * = 2.
В разряде единиц: 6,5,*,3. – убывание. * = 4.
Ответ: Третье число равно 524.
Задача 2. 444444…:33333….=? или 3333…: 4444….=?
Решение: 1. 4 : 3 = 1. 3 : 4 =
2. 44 : 33 = 2. 33 : 44 =
Задача 3. От 1 до 1000 не делимых на 2 и на 5.
Решение: На два делятся четные числа, на 5 числа, которые оканчиваются на 0 и на 5.
Из 1000 500 – четных и 500 – нечетных.
Из 500 на 5 оканчиваются 50 чисел.
Ответ:
Задача 4. В два раза больше единиц, чем десятков.
Решение: Составим такие числа: 12,24,39,48.
12 + 36 = 48 (не подходит), 24 + 36 = 60, 39 + 36 = 75, 48 + 36 = 84.
Ответ: Число 48.
Задача 5. Точный квадрат – возраст папы.
Произведение цифр возраста папы – возраст мамы.
Сумма цифр возраста папы – возраст дочери.
Сумма цифр возраста мамы – возраст сына.
Решение: 4,9,16,25,36,49,64,81…
Для возраста папы подходят числа: 25,36,49,64,81.
Для возраста мамы: 18,36,24.
Составим закономерность возрастов и получаем, что подходят числа: 49 и 36, тогда 13 – возраст дочери, 9 – возраст сына.
Ответ: 49,36,13,9.
Задача 6. 4
2 3 7
6 5 1
Задача 7. * * * * * * * - код сейфа. Состоит из двоек и троек, причем количество двоек больше, чем количество троек и полученное число делится и на три, и на четыре.
Решение: (* +*+*+*+*+*+*) : 3 и ******2 : 4. Пусть двоек будет четыре: 2+2+2+2+3+3+3=17 (не делится на три), если пять, то 2+2+2+2+2+3+3=16 (не делится на три), тогда шесть: 2+2+2+2+2+2+3 = 15.
Ответ: Код сейфа: 2222232.
Задача 8. 7*******6**, 7?******6**.
Решение: 7 + 6 = 13 и 13 + 8 = 21. Это будут числа 6,7,8. 76876876876 – не подходит. 78678678678.
Ответ: На втором месте стоит число восемь.
Задача 9. АБВГД*9 = ДГВБА.
Ответ: 10989*9 = 98901.
Задача 10. Двузначное число. 10*6 = 60, 11*6 =66, 12*6 =72, 13*6 = 78, 14*6 = 84, 15*6 = 90, 16*6 = 96, 17*6 = 102, 18*6 = 108.
Ответ: Тане 18 лет.
Занятие 2. Тема: Решение задач с помощью таблиц.
1. Четыре ученицы – Света, Зоя, Маша, Олеся – участвовали на лыжных соревнованиях и заняли 4 первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:
а) Света заняла 1-е место, Маша – 2 –е.
б) Света – 2-е, Олеся – 3-е.
в) Зоя – 2-е, Олеся – 4-е.
2. У Гали, Иры, Кати и Даши было три пары туфель черного цвета и одна пара белого. Какого цвета туфли были у каждой девочки, если известно, что у Иры и Кати туфли были одинакового цвета, а у Кати и Гали – разного?
Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места. На вопрос: «Какие места они заняли?», трое из них ответили:
Коля ни первое, ни четвертое;
Боря второе;
Вова не был последним;
Какое место занял каждый мальчик?
В соревнованиях по шахматам участвовали три спортсмена: Игрок А выиграл партию у игрока Б и сыграли в ничью с игроком В. Если за выигрыш запишем 1 очко, за равенство очка и за проигрыш 0. Определите, кто из них какое место занял?
На соревнованиях по шахматам А занял I место, Б – II –е, В – III – е, Г – IV – е, Д – V –е место.
А: не было ни с кем ничьи.
Б: ни кому не проиграл.
Г: ни кого не выиграл.
Как сыграли между собой В и Д ?
Решение задач с помощью таблицы.
Ответ:
Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: В выиграл Д.
Занятие 3. Тема: Занимательные задачи.
Мороженщик продал 20 порций сливочного и 18 порций фруктового мороженого. Сколько человек он обслужил, если 8 человек купили по 2 порции (1 сливочного и 1 фруктового мороженого), а все остальные лишь по одной порции.
В классе 18 лыжников, 8 борцов, 11 легкоатлетов. Как известно, каждый ученик занимается или одним, или тремя видами. Известно, что тремя видами спорта занимаются пятеро. Сколько всего в классе учеников?
Трое смелых путешественников должны переправиться через речку. Их лодка может выдержать только 100кг груза. Вес путников известен, так как они недавно взвешивались: вес Алеши – 52 кг, Андрея – 42 кг, а дядя Алеши Михаил весит 98кг. Каким образом они могут переправиться на другой берег с наименьшим количеством переправ?
В отчете об изучении иностранных языков студентами полицейской академии говорилось, что из ста человек 5 изучают английский, немецкий и французский языки, 10 – английский и немецкий, 8 – французский и английский, 20 – немецкий и французский, 30 – английский, 23 – немецкий, 50 – французский. Составителям отчета было указано на ошибки. Почему?
В городе Якутске провели опрос у 800 граждан. Газету «Сахаада» читают 430 человек, «Кэскил» читают 220 человек. Газеты «Сахаада» и «Кэскил» читают 180 человек. Из 800, сколько человек не читают ни «Кэскил», ни «Сахааду»?
В комнате сидели мужчины – все родственники. Двое имеют внуков, трое имеют сыновей, у троих есть деды. Четверо имеют отца. Сколько мужчин сидело в комнате?
Алеша и Боря вместе весят 82 кг, Алеша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Боря и Вова?
Решение:
20 – сливочное
18 – фруктовое
8 человек по 2 порции, (1 – сливочное, 1 – фруктовое).
Сколько человек обслужил мороженщик?
Решение: 1. 20-8=12
2. 18-8=10
3. 12+10+8=30
Ответ: 30 человек.
18 лыжников.
8 борцов.
11 легкоатлетов.
1 или 3 вида.
3 вида – 5 учащихся.
Решение: 18 – 5 = 13, 8 -5 = 3, 11 – 5 = 6, 13 + 3 + 6 = 22, 22 + 5 = 27.
Ответ: В классе 27 учащихся.
Алеша – 52 кг.
Андрей – 48 кг.
Михаил – 98 кг. Ответ: 5 переправ.
5 – английский, немецкий, французский.
10 – английский, немецкий.
8 - французский, английский.
20 - немецкий, французский.
30 – английский.
23 – немецкий.
50 - французский.
Всего – 100 студентов.
«Сахаада» - 430.
«Кэскил» - 220.
«Сахаада», «Кэскил» - 180.
Сколько не читают ни «Сахаада», ни «Кэскил»?
Всего 800 граждан.
Решение: 430 -180 = 250, 220 -180 = 40, 180 + 250 + 40 = 480, 800 – 480 = 320.
Ответ: 320 граждан.
А и В – имеют внуков.
А,В и С – имеют сыновей.
В,С и Д – имеют отца.
С,Д и Е – имеют деда. Ответ: В комнате сидели 5 родственников.
Алеша и Боря – 82 кг.
Алеша и Вова – 83 кг.
Боря и Вова – 85 кг.
Сколько весят Алеша, Боря и Вова вместе?
Решение: А + Б = 82 А + Б + А + В + Б + В = 82 + 83 + 85.
А + В = 83 2А + 2Б + 2В = 250
Б + В = 85 А + Б + В = 250 : 2 = 125.
Ответ: Вместе весят 125 кг.
Занятие 4. Тема: Знакомство с графами.
Цель: Научиться использовать графы при решении задач.
Что такое теория графов?
Графовые задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей. Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации: коммуникационные сети, схемы электрических и электронных приборов, химические молекулы и т.д.
План занятий:
1. Ознакомить с графами.
Занимательные и провоцирующие задачи на смекалку.
Соответствия, отношения и их описание графами.
Определение графа и подграфа.
Полные графы.
Лемма о рукопожатиях.
Связные графы и компоненты.
Двудольные графы.
Ход занятий:
Рисунки. Например: Пятиконечная звезда, конверт и т.д.
Провоцирующие задачи обладают высоким развивающим потенциалом. Они способствуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления, критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации, ее разносторонней оценке, повышают интерес школьников к занятиям математикой. Представляют интерес и задачи, в которых нужно сделать простой, но неожиданный ход, выйти за рамки стандартного мышления.
При решении задач с помощью графов элементы множеств обозначаются точками, установленное соответствие – сплошной линией, отсутствие соответствия – пунктирной. Полученные схемы называются графами.
Графом называется множество точек, изображенных на плоскости (листе бумаги, доске), некоторые пары из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, линии ребрами. Степенью вершины называется число ребер, выходящих из вершины.
Задача1: Красный, синий, желтый, и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. Какой коробке лежит каждый карандаш?
Решение: Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф:
карандаши коробки карандаши коробки
к - - - - - - - к к - - - - -- - - к
с - - - - - - - с с - - - - - - -- - с
з - - - - - - - з з - - - - - - --- з
ж - - - - - - - ж ж - - - - - - - - ж
Задача 2: Известно, что в компании из 20 человек каждый знаком не менее чем с 10. докажите, что можно выбрать из компании 4 человек и рассадить их за круглым столом так, что каждый будет сидеть рядом со своим знакомым.
Задача 3: В праздник Оля, Катя и Наташа решили поздравить друг друга. Оля подарила Кате и Наташе по 2 подарка и один общий. Катя подарила Оле и Наташе по одному подарку и один общий. Наташа подарила Оле и Кате по 3 подарка и один общий. Сколько подарков было всего, сколько подарили каждой девочке?
Задача 4: В одной компании при встрече каждый пожал руку каждому. Всего было сделано 15 рукопожатий. Сколько человек в компании?
Число ребер m в полном графе с n вершинами равно m = .
Определение: полным графом называется такой граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром.
Лемма: В любом графе сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер.
Следствие из леммы: В любом графе число вершин нечетной степени четное.
Литература для учащихся:
Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления.– М: Дрофа, 2003.
Дорофеев Г.Ф. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. М.:Дрофа,2000.
Для учителя.
Дорофеев Г.В. и др. Избранные вопросы математики./Математика в школе №10,2003.
