Итоговый урок по теме
«Уравнения и неравенства с одной переменной»
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; подготовить учащихся к написанию контрольной работы.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений и неравенств и методах их решения. Для этого нужно со-ставить классификацию уравнений и неравенств, изобразив ее на плакате или на доске. Учащиеся должны занести в тетрадь соответствующие схемы.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1-й степени
(линейные)
Р е ш е н и е:
привести
к виду ах = b
х = [pic]
2-й степени
(квадратные)
Р е ш е н и е:
D = b2 – 4ac
x1, 2 = [pic]
Выше 2-й
степени
Решаемые
по алгоритму
Решаемые
методом
замены
[pic] [pic]
Решаемые
методом
замены
Решаемые
разложением
на множители
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1-й степени
(линейные)
Р е ш е н и е:
привести
к виду
ах < > b
2-й степени
(квадратные)
Р е ш е н и е:
графически
с помощью
параболы
Выше 2-й
степени
Р е ш е н и е:
метод
интервалов
Решаются методом
интервалов
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств. В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. Решите уравнение:
а) [pic] ; в) х4 + 3х2 – 4 = 0;
б) х3 – 25х = 0; г) [pic] = 1.
2. Решите неравенство:
а) 2х – [pic] ≤ [pic] ; в) 1 – х2 0;
б) х2 + 2х > 0; г) (х – 3) (х + 5) < 0.
2-я г р у п п а.
1. Решите уравнение:
а) х = [pic] ;
б) х6 – х4 + 5х2 – 5 = 0;
в) (х2 + х)2 – 5х2 – 5х + 6 = 0;
г) [pic] .
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
3. Решите неравенство:
а) х (7 – х) (1 + х) ≥ 0; б) [pic] ≤ 0.
3-я г р у п п а.
1. Решите уравнение:
а) (х2 – 7х + 13)2 – (х – 3) (х – 4) = 1;
б) х2 + 1 = (3х2 – х – 2)2 – 2х;
в) [pic] = 0.
2. Решите неравенство:
а) [pic] < 0; б) [pic] ≤ 0.
3. При каких значениях параметра а корни уравнения х2 – 2ах +
+ (а + 1) (а – 1) = 0 принадлежат промежутку [–5; 5]?
Р е ш е н и е
Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Найдем его:
D1 = а2 – (а + 1) (а – 1) = 1.
Получаем, что уравнение при любом а имеет два корня: х1 = а + 1 и х2 = а – 1.
Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них должен быть не меньше –5, а больший – не больше 5. Получим систему:
[pic]
О т в е т: [–4; 4].
4. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 2(а + 1) х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?
Р е ш е н и е
Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:
D1 = (а + 1)2 – 9 = а2 + 2а – 8;
а2 + 2а – 8 > 0.
Решая это неравенство, получим, что а [pic] (–∞; –4) [pic] (2; +∞).
По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.
Пусть х1 и х2 – корни уравнения, тогда, по теореме Виета, х1 + х2 =
= –2 (а + 1). Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие:
–2 (а + 1) > 0;
а + 1 < 0;
а < –1.
С учетом выявленного выше условия получим, что а [pic] (–∞; –4).
О т в е т: (–∞; –4).
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– На какие два вида делятся рациональные уравнения?
– Какими методами решаются целые уравнения выше второй степени?
– Как решаются дробно-рациональные уравнения?
– На какие два вида делятся неравенства?
– Как решаются целые неравенства с одной переменной?
– Как решаются дробно-рациональные неравенства?
Домашнее задание: № 353 (а), № 354 (в), № 364 (б), № 377 (а), № 393 (в, д).
